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1、离散时间随机信号 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望本章我们把随机过程作为离散时间信号的模型来讨论，前提是读者已经熟悉如随机变量、概率分布和平均等概率论中的基本概念。在实际信号处理的应用中利用随机过程模型时，我们总是把一个具体的序列当做全部序列中的一个样本。若给定一个离散时间信号，相对应的随机过程的统计规律通常是未知的，必须设法从中推导出来。我们可以对该过程的构成做出合理的假设，或者从一个典型样本序列段中估计出某一随机过程的性质。8.1离散时间随机过程
2、通常一个随机过程由一组带有序号的随机变量Xn表示，随机变量组的特性由一组概率分布函数来描述，该分布函数往往可能是序号n的函数。对于离散时间信号，我们认为它的每一个样本值xn都是由服从某种概率论定律的过程所产生的。随机变量Xn可以用如下的概率分布函数来描述 8.1离散时间随机过程一个随机过程的两个随机变量Xn和Xm之间的相互关联性随机变量的统计独立一个随机过程的完整描述需要逐一给出全部可能的联合概率密度分布。正如我们已经指出的，这些概率分布函数可能都是时间序号n的函数。如果所有的这些概率函数对于时间起始点的平移均独立，那么这个随机过程通常被称为是平稳的。8.1离散时间随机过程一个随机过程的平均或
3、均值定义为其中E表示数学期望。通常，均值（期望值）可以与n有关。类似可以得出随机变量函数的均值8.2时间平均定义离散随机变量的均值数学期望算子是线性算子统计独立与不相关（线性独立）：统计独立的随机过程也是线性独立的，但是线性独立的随机过程并不意味着是统计独立的。平稳过程的均值8.2时间平均需要注意的问题均方值方差自相关序列自协方差序列8.2时间平均常用和重要的统计量遍历过程在实际中常常假设已知的序列是遍历随机过程的一个样本序列，所以可以由某一单个序列来计算平均量。样本均值和方差自相关的估计8.2时间平均时间平均与估计例8.1计算零均值过程的相关序列和协方差序列。（Matlab上机实验）程序代码
4、如下:%clc,clearN=1e4;x=randn(1,N);figure;subplot(211)plot(x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(零均值随机过程);grid;subplot(223)r1,lags=xcorr(x,length(x)/2,unbiased);plot(lags,r1);xlabel(n);ylabel(R_x(n);title(随机过程的自相关序列);grid;subplot(224)r2,lags=xcov(x,length(x)/2,unbiased);plot(lags,r2);xlabel(n);ylabel(Cov_x(n)
5、;title(随机过程的协方差序列);grid;例8.2 已知序列x(n)为一长度为N104的高斯随机噪声，计算它的样本均值、样本方差。（Matlab上机实验）程序代码如下：%clc,clearN=1e4;x=randn(1,N);%产生随机信号disp(样本均值);xmean=mean(x)disp(样本方差);xd=var(x)8.3相关序列和协方差序列的性质定义相关序列和协方差序列的离散傅里叶变换它的面积正比于信号的平均功率。事实上，正如所讨论的，它在一个频段上的积分正比于那个频段内信号的功率。正是由于这个原因，函数 称为功率密度谱，或简称功率谱。类似定义互功率密度谱理想低通滤波器的噪声
6、功率输出8.4功率谱随机信号的傅里叶变换表示采用Z变换的主要好处是当Ryy(m)为有理函数时，随机信号的平均功率可以容易地计算出来当LTI系统输入是随机信号时，Z变换在确定其 输出自协方差和平均功率时也是很有用的。LTI系统输出的自协方差8.4功率谱利用Z变换计算平均功率当线性差分方程的输入是一个平均功率为 定值的 零均值白噪声信号时，在需要计算平均输出功率的量化噪声分析中以上结果特别有用。输出的自协方差正比于LTI系统冲激响应的自协方差。由此可得 8.4功率谱利用Z变换计算平均功率考虑一个稳定的因果系统的特殊例子，其系统函数为有理函数这样一个系统函数可以说明一个内部舍入噪声源于一个定点运算系
7、统的输出之间的关系。8.4功率谱利用Z变换计算平均功率对于这样的有理函数，可以证明部分分式展开式为自协方差函数为可求得平均功率8.4功率谱利用Z变换计算平均功率研究一个系统，其脉冲响应为系统函数为输出自协方差的Z变换为8.4功率谱二阶IIR滤波器的噪声功率输出合并简化得可以计算出表达式以上的简单结果对计算平均功率公式的部分分式方法进行了有力的说明8.4功率谱二阶IIR滤波器的噪声功率输出 在第二章讨论了确定性数字序列通过线性非移变系统特点。这里我们将讨论随机信号通过线性非移变系统时，系统所产生的响应问题。随机信号是遍历性平稳随机过程的取样序列，它的数字特征参数有均值、方差、自相关序列和功率谱等
8、，讨论数字特征参数的输出与输入之间的关系。8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 设线性非移变系统的单位取样响应为h(n),对系统输入一个平稳随机过程（输入随机过程）的离散随机信号x(n)，系统产生的输出信号y(n)也是一个离散随机信号，把它看成是另外一个随机过程的一个取样序列。对线性非移变系统，无论输入信号x(n)是确定性的还是随机性信号，系统的单位取样响应、输入信号和输出响应之间总是存在着下列关系：8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输出随机过程的均值mx 由于输入随机过程是平稳随机过程，故上式中的 ，于是上式化为 系统的输出响应y(n)是输出随
9、机过程yn的一个取样 序列，根据遍历性假设，可以由y(n)求出yn的均值为【例8.3】随机信号经过线性非移变系统后的均值（Matlab上机实验）。设滤波器的单位脉冲响应h(n)是由下式所给出的离散衰减余弦信号的前61个值所决定：h(n)=(0.95)ncos(0.1n),输入信号为均值为3、方差为1的Gauss白噪声序列x(n)。该序列通过滤波器后，得到输出序列y(n)。验证式(8.4.22)。代码如下：%clc,clearN=1e5;sigma=1;x=3+sigma*randn(1,N);n=0:60;h=0.95.n.*cos(0.1*n*pi);y=filter(h,1,x);disp
10、(输出信号的均值m_y);mean(y)disp(式(8.4.22)计算得到的m_y);mean(x)*sum(h)8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输出随机过程的自相关序列 可见输出随机过程的自相关序列只与时间差m有关，与序列的时间起点的选取（即n的选取）无关，故可将Ryy(n,n+m)表示成为Ryy(m)，则上式变为 8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输出随机过程的功率谱假设输入随机过程的均值，因此输出随机过程的均值。这样输入和输出随机过程的协方差序列都分别与它们的自相关序列相等。（8.77）8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输出随机过程的功率谱对式（8.76）左右两边进
11、行z变换，可得 式中，分别是输出和输入的功率谱，它们分别等于的z 变换，而 设h(n)是实序列，则有 8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输出随机过程的功率谱式（8.79）中，H(z)是系统函数。若 h(n)是复序列，则在为实序列的情况下，将式（8.79）代入（8.78）,有【例8.4】线性非移变系统单位脉冲响应的估计。（Matlab上机实验）滤波器的单位脉冲响应h(n)由下式所给出的离散衰减余弦信号的前61个值所决定：h(n)=(0.95)ncos(0.1n),为利用互相关序列求该滤波器的单位脉冲响应，首先产生1000个均值为零、方差为1的Gauss白噪声序列w(n)。该序列通过滤波器后
12、，得到输出序列y(n)。然后通过下式计算互相关函数的估计 其中N=1000，m0,1,60。根据式(8.4.28)，可以得到 系统脉冲响应h(n)的估计值，它和真实值分别以实线和 点线绘于下图。代码如下：%clc,clearN=1e3;sigma_sq=1;w=sigma_sq*randn(1,N);n=0:60;h=0.95.n.*cos(0.1*n*pi);y=filter(h,1,w);R_wy=xcorr(w,y,60,unbiased);h_est=R_wy/sigma_sq;figure;plot(h,.);hold on;plot(h_est(60:120);8.5 离散随机信号
13、通过线性非移变系统 输入随机过程与输出随机过程的互相关序列 式（8.84）说明，系统的输入信号与输出信号之间的互相关序列，等于输入信号自相关序列与系统单位取样的线性卷积。8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输入随机过程与输出随机过程的互相关序列 式(8.77）定义了系统单位取样响应的自相关序列，实际上它就是的线性卷积 对其z变换 8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输出随机过程的方差根据均值定义，输出随机过程的均方值为式中的积分围线可选择为单位圆。直接计算上式比较复杂，可采用部分分式展开来计算逆z变换。将展开成部分分式 8.5 离散随机信号通过线性非移变系统 输出随机过程的方差式中，|i|1是单位圆外的极点，N 和M 分别是单位圆内、外极点的数目。如果只有一阶极点，则括号中只有第一项存在，依此类推。由式（8.90）得到本章小结 本章重点讨论了离散随机信号的定义、表示方法和性质；对离散随机过程、时间平均、功率谱和离散随机信号通过线性非移变系统进行了讨论。本章内容是学习现代数字信号处理的重要理论基础。