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1、复变函数第12讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2 留数21.留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的邻域内解析,那末根据柯西-古萨基本定理但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.3因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.后,两端沿C
2、逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2pic-1外,其余各项积分都等于零,所以其中c-1就称为f(z)在z0的留数,记作Resf(z),z0,即4定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC5证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有6求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0
3、是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0,因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式.如果z0是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.72.留数的计算规则规则1 如果z0为f(z)的一级极点,则规则2 如果z0为f(z)的m级极点,则8事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-
4、1)!就是Resf(z),z0,因此即得(5.2.5),当m=1时就是(5.2.4)91011令zz0,即得(5.2.6)1213由规则1,得14我们也可以用规则III来求留数:这比用规则1要简单些.1516171819有时死套公式也不一定很方便.例如欲求函数在z=0处的留数.为了要用公式,先应定出极点z=0的级数.由于因此z=0是z-sin z的三级零点,也就是f(z)的三级极点.20应用公式 得由此可见,计算过程将十分繁杂.(5.2.5)21而这时用洛朗展开式求c-1就比较方便,因为所以22观察公式 的推导过程,不难发现,如果函数f(z)的极点z0的级数不是m,它的实际级数要比m低,这时表
5、达式(5.2.5)的系数c-m,c-m+1,中可能有一个或几个等于零,显然公式仍然有效.一般说来,在应用公式(5.2.5)时,为了计算方便不要将m取得比实际的级数高.23243.在无穷远点的留数 设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作积分路线的方向是负的.25由于f(z)在R|z|+内解析,所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,C为R|z|+内绕原点任何一条简单正向闭曲线26从(5.1.5)式中的n=-1的情况因此,由(5.2.7),得Resf(z),=-c-1,(5.2.8)这就是说,f(z)在点的留数等
6、于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号.27定理二 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证 除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有282930所以 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.(5.2.9)313233由于-i与1在C内部,所以从上式,留数定理与规则IV得到34作业 第184页开始第8题 1),2),3)小题第9题 1),2)小题第11题第12题 1),2)小题35