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1、复变函数复变函数第第16讲讲1分式线性映射公式:2现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况.根据前面的讨论可知:(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域;(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.3x1-ii-1C1C2y(z)O4解 所设的两个圆弧的交点为-i与i,且相互正交.交点-i映射成无穷远点,i映射成原点.因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于p/2.此点在第三象限的
2、分角线C1上.由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.5映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)6例2 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0,arg w(2i)=0的分式线性映射.解 由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.2)得因为故有13从而得所求的映射为14例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射.x1y(z)OOuv(w)1a15解 设z平面上单位圆|
3、z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0.这时与16由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1上的点z=1代入上式,得所以|k|=1,即k=eij.这里j是任意实数.17因此,将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是反之,形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq(q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射.解 由条件w(1/2)=
4、0知,所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w-2i|2且满足条件w(2i)=2i,arg w(2i)=-p/2的分式线性映射.解 容易看出,映射z=(w-2i)/2将|w-2i|2映射成|z|0映射成|z|1且满足z(2i)=0的映射易知为212i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)22234 几个初等函数所构成的映射241.幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处共形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍25O(z)q0O(w)nq0w=
5、zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn26例1 求把角形域0arg zp/4映射成单位圆|w|1的一个映射.解 z=z4将所给角形域0arg z0.又从上节的例2知,映射27(z)OO(z)1(w)z=z428例2 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii29aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii130解 先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=,并使月牙域映射成角形域0argzp;再把这角形域通过映射w=exp(ij0)z转过一角度j0,即得把所给月牙域映射成所给
6、角形域的映射.将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:其中k为待定的复常数.3132例3 求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a-h a a+hBCD33xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a-h a a+hBCDO(z1)CB Dih-h2CO BD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a34解 不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在
7、原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先,把上半z平面向左作一个距离为a的平移:z1=z-a.第二,再应用映射z2=z12,便得到一个具有割痕-h2Re(z2)+,Im(z2)=0的z2平面.第三,把z2平面向右作一距离为h2的平移:z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的z3平面.35362.指数函数 w=ez 由于在z平面内w=(ez)=ez0所以,由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射.设z=x+iy,w=reij,则r=ex,j=y,(6.4.2)由此可知:z平面上的直线x=常数,被映射成w平面上的圆周r=常数;而直线y=常数,被映射成射线j=常数.
8、带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa.特别是带形域0Im(z)2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2p.它们间的点是一一对应的.37aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw38由指数函数w=ez所构成的映射的特点是:把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa.因此,如果要把带形域映射成角形域,常常利用指数函数.39例4 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|0.而根据(6.3.4)又知:40例5 求把带形域aRe(z)0的一个映射.解 带形域aRe(z)b经过映射后可映射成带形域0Im(z)p.再用映射w=ez,就可把带形域0Im(z)0.因此所求映射为41O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ez42