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1、复变函数第4讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望有关二元函数的一些高等数学的知识2一，二元函数的极限和连续性定义定义 设函数z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点,如果对于任意给定的正数e,总存在正数d,使得对于适合不等式的一切点P(x,y)D,都有|f(x,y)-A|0,存在d(e)0,使得当0|z|0,相应地有一个d0,使得当0|z|0,有f(z+z)-f(z)=f(z)z+r(z)z,其中31f(z+z)-f(z)=f(z)
2、z+r(z)z,在上式中令f(z+z)-f(z)=u+iv,f(z)=a+ib,r(z)=r1+ir2.上式写为u+iv=(a+ib)(x+iy)+(r1+ir2)(x+iy)=(ax-by+r1x-r2y)+i(bx+ay+r2x+r1y).从而就有u=ax-by+r1x-r2y,v=bx+ay+r2x+r1y.且当z0,即x0,y0时,r(z)0,即有r10,r20.32 f(z)=a+ib f(z+z)-f(z)=u+iv u=ax-by+r1x-r2y,v=bx+ay+r2x+r1y.因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微,而且满足方程33方程(2.2.1)称为柯西-黎曼(
3、Cauchy-Riemann)方程.34定理一 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内,而f(z)在D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程 35证 条件的必要性已经证明,现证充分性,由于f(z+z)-f(z)=u(x+x,y+y)-u(x,y)+iv(x+x,y+y)-v(x,y)=u+iv,又因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微,可知x,y0时,ek0,(k=1,2,3,4)36根据柯西-黎曼方程所以因此37或因为故当z趋于零时,上式最后两项都趋于零,
4、因此即函数f(z)在点z=x+iy处可导.证毕.38由定理一证明的未尾及柯西-黎曼方程,立即可以得到函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处的导数公式:39根据函数在区域内解析的定义及定理一,就得到了判断函数在区域D内解析的一个充要条件.定理二 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足柯西-黎曼方程(2.2.1).40例1 判断下列函数在何处可导,在何处解析:解 1)因为u=x,v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足,所以 w=z 在复平面内处处不可导,处处不解析412)因为u=excos y,v=ex
5、sin y,柯西-黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据(2.2.2)式有f(z)=ex(cos y+isin y)=f(z)今后将知道这个函数就是指数函数ez.423)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.43例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).问常数a,b,c,d取何值时,f(z)在复平面内处处解析?解 由于 ux=2x+ay,uy=ax+2by,v
6、x=2cx+dy,vy=dx+2y从而要使ux=vy,uy=-vx,只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.因此,当a=2,b=-1,c=-1,d=2时,此函数在复平面内处处解析,这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z244例3 如果f(z)在区域D处处为零,则f(z)在D内为一常数.证 因为所以u=常数,v=常数,因而f(z)在D内是常数.45例4 如果f(z)=u+iv为一解析函数,且f(z)0,则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交,其中c1,c2为常数.证证 由于f(z)=-iuy+vy0,故uy与vy不全为零.如果在曲线的交点处uy与vy都不为零,由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为k1=-ux/uy和k2=-vx/vy,利用柯西-黎曼方程得k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1因此,二曲线族互相正交.如果uy与vy其中有一个为零,则另一个必不为零,此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交.46作业 第二章习题,第66页开始第1,2,3,4题47