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1、复变函数第1讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3 留数在定积分计算上的应用21.形如 的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则dz=ieiqdq,3其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.4例1 计算 的值.解 由于0p1,被积函数的分母在0qp内不为零,因而积分是有意义的.由于cos2q=(e2
2、iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此56在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.789取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx10此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.111213143.形如 的积分当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有15因此,在半径R充分大
3、的CR上,有16注:在半圆CR上的曲线积分,半圆曲线的参数方程为:因此17不等式,当 时的图示yqOpy=sinq1181920例4 计算积分 的值解 因为 是偶函数,所以上式右端的积分与例3中所计算的积分类似,故可从eiz/z沿某条闭曲线的积分来计算上式右端的积分.但是,z=0是eiz/z的一级极点,它在实轴上.21为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.由柯西-古萨基本定理,有CrCRyxO-rrR-R22令x=-t,则有即23因此,要算出所求积分的值,只需求出极限(5.3.3)下面将证明24由于所以(5.3.4)25j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,由于而在r充分小时,26从而有因此得到(5.3.5)所以由(5.3.3),(5.3.4)与(5.3.5)就可求得即2728xARORBDy29xARORBDy30或当R时,上式右端第一个积分为31而第二个积分的绝对值:因此令两端的实部与虚部分别相等,得32作业:第184页第13题33