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1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第三第三 讲讲主讲教师：程维虎教授主讲教师：程维虎教授北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院 在实际问题中在实际问题中,除了要考虑某事件除了要考虑某事件A的概率的概率P(A)外，有时还要考虑在外，有时还要考虑在“事件事件B已经发生已经发生”的条件下，事件的条件下，事件A发生的概率。发生的概率。1.4.1 条件概率条件概率I.条件概率的概念条件概率的概念 通常记事件通常记事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A发生发生的概率为的概率为 P(A|B)。一般情况下，一般情况下，P(A|B)P(A)。1.4 条件概率条件概率例例1：100件件产产品品中中有
2、有5件件不不合合格格品品，而而5件件不不合合格格品品中中又又有有3件件是是次次品品，2件件是是废废品品。现现从从100件件产产品品中中任任意意抽抽取取一一件件，假假定定每每件件产产品品被被抽抽到到的可能性都相同的可能性都相同，求，求(1).(1).抽到的产品是次品的概率抽到的产品是次品的概率；(2).(2).在抽到的产品是不合格品条件下在抽到的产品是不合格品条件下,产品是产品是 次品的概率次品的概率。解：解：设 A=抽到的产品是次品，B=抽到的产品是不合格品。(1).(1).按古典概型计算公式，有 可见，可见，P(A)P(A|B)。(2).由于由于5件不合格品中有件不合格品中有3件是次品件是次
3、品，故可，故可得得 虽然虽然 P(A)与与 P(A|B)不同，但二者之间存不同，但二者之间存在什么关系呢在什么关系呢?先来计算先来计算P(B)和和P(AB)。因为因为100件产品中有件产品中有5件是不合格品，所以件是不合格品，所以P(B)=5/100。P(AB)=3/100。而而P(AB)表示事件表示事件“抽到的产品是不合格品、抽到的产品是不合格品、又是次品又是次品”的概率，再由的概率，再由100件产品中只有件产品中只有3件件即是不合格品又是次品，得即是不合格品又是次品，得通过简单运算，得通过简单运算，得有有P(A)=1/6，又又如：如：掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=
4、掷出偶数点掷出偶数点，求求P(A|B)。已知事件已知事件B发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是B。于是，于是，P(A|B)=1/3。B中共有中共有3个元素，每个元素出现个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有是等可能的，且其中只有1个个(2点点)在集合在集合A中。中。可以得到：可以得到：受此启发，对条件概率进行受此启发，对条件概率进行 如下定义。如下定义。若事件若事件B已发生已发生,则为使则为使 A也也发生发生,试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点,即即此点必属于此点必属于AB。由于我们已由于我们已经知道经知
5、道B已发生已发生,故故B就就变成变成了新的样本空间了新的样本空间,于是于是 就有就有(1)。II.条件概率定义条件概率定义为在事件为在事件B发生条件下，事件发生条件下，事件A的条件概率。的条件概率。定义定义1:设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0，称，称III.条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,则则1.对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1;2.P(|P(|B)=1)=1；而且，前面对概率所证明的一切性质，也都而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。适用于条件概率。3.设设A1,A2,互斥，则互斥，则例例2 2：有外观相同的三极管
6、有外观相同的三极管6 6只，按电流放大系只，按电流放大系数分类数分类,4,4只属甲类只属甲类,两只属乙类。不放回地抽两只属乙类。不放回地抽取三极管两次取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下到是甲类三极管的条件下,第二次又抽到甲类第二次又抽到甲类三极管的概率。三极管的概率。解解:记记Ai=第第 i 次抽到的是甲类三极管次抽到的是甲类三极管,i=1,2,A1A2=两次抽到的都是甲类三极管两次抽到的都是甲类三极管,由第由第2讲中的例讲中的例1.3.3，可知，可知再由再由P(A1)=4/6=2/3，得，得由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P
7、(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B),(2)而而 P(AB)=P(BA)，1.4.2 乘法公式乘法公式在已知在已知P(B),P(A|B)时时,可反解出可反解出P(AB)。将将 A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0，则，则P(AB)=P(A)P(B|A)。(3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)，(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。当当 P(A1A2An-1)0 时，有时，有 P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).多个事件乘
8、法公式的推广多个事件乘法公式的推广:例例 3:一批灯泡共一批灯泡共100100只，其中只，其中1010只是次品，其只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求:第三次才取到正品的概率。第三次才取到正品的概率。解：解：设设 Ai=第第 i 次取到正品次取到正品,i=1,2,3=1,2,3。A=第三次才取到正品第三次才取到正品。则。则:例例4：袋中有同型号小球袋中有同型号小球b+r个，其中个，其中b个是黑个是黑球，球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球并再放入同颜色，同
9、型号的小球c 个。若个。若 B=第一、第三次取到红球第一、第三次取到红球,第二次取第二次取到黑球到黑球，求，求P(P(B)。解解:设设Ai i=第第 i 次取到红球次取到红球,i=1,2,3,1,2,3,则则 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。式和乘法公式的综合运用。综合运用综合运用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式例例5:
10、有三个箱子有三个箱子,分别编号分别编号1,2,3。1号箱装号箱装有有1红球红球,4白球白球;2号箱装有号箱装有2红球红球,3白球白球;3号箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱红球。某人从三箱中任取一箱,再再从箱中任取一球，求取到红球的概率。从箱中任取一球，求取到红球的概率。解解：记记 Ai=球球取取自自 i 号号箱箱,i=1,2,3;B=取取得得红红球球。即即 B=A1BA2BA3B，且且 A1B、A2B、A3B两两互斥。两两互斥。B发生总是伴随着发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生，之一同时发生，于是，于是，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式运用加法
11、公式将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式。全概率公式。对和式中的各项对和式中的各项运用乘法公式得运用乘法公式得 设设A1,A2,An是是两两两两互互斥斥的的事事件件，且且P(Ai)0,i=1,2,n;另另有有一一事事件件B,它它总总是是与与A1,A2,An 之一同时发生，则之一同时发生，则 全概率公式全概率公式 在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai,使使B伴随着某个伴随着某个Ai 的出现而出现，且每个的
12、出现而出现，且每个 P(Ai B)容易计算。可用所有容易计算。可用所有 P(Ai B)之和计算之和计算 P(B)。由公式由公式“全部概率全部概率”P(B)，可分成多，可分成多个个“部分概率部分概率”P(Ai B)之和。之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:不难看出不难看出:某某一一事事件件B的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因Ai(i=1,2,n)，如如果果B是是由由原原因因Ai所所引引起起，则则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的发生的概率是各原因引起概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概发生概率的总和，即全概率公
13、式。率公式。P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。由此可以形象地把全概率公式看成是：由此可以形象地把全概率公式看成是：由由原原因因推推结结果果，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关。全全概概率率公公式表达了因果之间的关系式表达了因果之间的关系。诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果实际中还有下面一类问题：实际中还有下面一类问题：已知结果求原因。已知结果求原因。这一类问题在实际中常见，它所求的是条这一
14、类问题在实际中常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。的可能性大小。接上例，考虑如下问题：接上例，考虑如下问题：或者问：或者问：“该球取自各箱的可能性大小该球取自各箱的可能性大小”。某人从任意一箱中任意摸出一球，某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是发现是红球，求该球是取自红球，求该球是取自1号箱的概率号箱的概率。考虑上边例子：考虑上边例子：记记 Ai=球取自球取自 i 号箱号箱，i=1,2,3;B=取得红球取得红球。所求所求为为 P(A1|B)。运用全概率公式运用全概率公式 计算计算P(B)将上述公式一般化，就得贝叶斯公式
15、。将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯(BayesBayes)给出。给出。它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致B发生的每个原因的概率。发生的每个原因的概率。贝叶斯公式贝叶斯公式 设设A1,A2,An是是两两两两互互斥斥的的事事件件，且且P(Ai)0，i=1,2,n;另另有有一一事事件件B,它它总总是是与与A1,A2,An 之一同时发生，则之一同时发生，则 例例6:某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对，患者对一种试验反应是阳性的概率为一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人
16、对，正常人对这种试验反应是阳性的概率为这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”。解：解：设设 A=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症,B=试验结果是阳性试验结果是阳性。求求 P(A|B)。已知已知:现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义：代入数据计算，得代入数据计算，得 P(A|B)=0.1066。(2).检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?(1).该该试验对于诊断一个人是否患有癌有试验对于诊断一个人是
17、否患有癌有无无 意义？意义？由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得 如果不做试验，抽查一人如果不做试验，抽查一人,他是癌症患他是癌症患者的概率者的概率 P(A)=0.005。患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.950.95，若试验后，若试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为是癌症患者的概率为 P(A|B)=0.1066。说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。概率从概率从0.005增加到增加到0.1066,约约增加了增加了2121倍。倍。(1).该试验对于诊断一个人是否患有癌症有该试验对于诊
18、断一个人是否患有癌症有无无 意义？意义？(2).检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066。即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，平均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医，此时医生常要通过其他试验来确认生常要通过其他试验来确认。贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前
19、概率和和验后概率验后概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步的信是在没有进一步的信息息(不知道事件不知道事件B是否发生是否发生)的情况下，人们的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。对诸事件发生可能性大小的认识。当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生)，人们对诸事，人们对诸事件发生可能性大小件发生可能性大小 P(Ai|B)有了新的认识。有了新的认识。例例7 7：8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为；用未校准的枪射击时
20、，中靶概率为0.3。现从现从8 8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。求：所用的枪是校准过的概率。解：解：设设 A=射击时中靶射击时中靶，B1 1=枪校准过枪校准过,B2 2=枪未校准枪未校准，则则 B1 1,B2 2 是是一个划分，由贝叶斯公式，得一个划分，由贝叶斯公式，得例例8 8：一一批批同同型型号号的的螺螺钉钉由由编编号号为为I,II,IIII,II,III的的三三台台机机器器共共同同生生产产。各各台台机机器器生生产产的的螺螺钉钉占占这这批批螺螺钉钉的的比比例例分分别别为为35%35%,40%,40%,25%25%。各各台台机
21、机器器生生产产的的螺螺钉钉的的次次品品率率分分别别为为3%,3%,2%2%和和1%1%。现现从从该该批批螺螺钉钉中中抽抽到到一一颗颗次次品品。求求:这这颗颗螺螺钉钉由由I,II,IIII,II,III号机器生产的概率各为多少号机器生产的概率各为多少?解：解：设设 A=螺钉是次品螺钉是次品,B1 1=螺钉由螺钉由I I号机器生产号机器生产,B2 2=螺钉由螺钉由IIII号机器生产号机器生产,B3 3=螺钉由螺钉由IIIIII号机器生产号机器生产。则则由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。小结小结 本节首先介绍条件概率的定义与计算；本节首先介绍条件概率的定义与计算；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式的理论意义、各方面分析、讲解了上述公式的理论意义、实际意义及应用范围。实际意义及应用范围。