统计学第3章概率与概率分布.ppt

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1、工程工程统计学统计学31工程工程统计学统计学第 3 章 概率与概率分布 3.1 3.1 随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其概率 3.2 3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 3.3 3.3 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理32工程工程统计学统计学S学习目标学习目标1.理解随机事件的概念、了解事件之间的关系理解随机事件的概念、了解事件之间的关系2.理解概率的三种定义，掌握概率运算的法则理解概率的三种定义，掌握概率运算的法则3.理解随机变量及其概率分布的概念理解随机

2、变量及其概率分布的概念4.掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背景、均值和方差及其应用景、均值和方差及其应用5.掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀分布的应用分布的应用6.理解大数定律和中心极限定理的重要意义理解大数定律和中心极限定理的重要意义3工程工程统计学统计学3.1 随机事件及其概率随机事件及其概率 一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件 二、随机事件的概率二、随机事件的概率二、随机事件的概率二、随机事件的概率 三、概率的运算法则三、概率的运算法则三、概率的运算

3、法则三、概率的运算法则34工程工程统计学统计学一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件3.1 随机事件及其概率35工程工程统计学统计学S必然现象与随机现象必然现象与随机现象必然现象（确定性现象）必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定个别观察的结果完全是偶然的、随

4、机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性大量观察的结果会呈现出某种规律性 （随机性中寓含着规律性）（随机性中寓含着规律性）统计规律性统计规律性6工程工程统计学统计学S随机试验随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。（或实验）。实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，实际应用中多数试验不能

5、同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。常常从广义角度来理解。7工程工程统计学统计学S随机事件（事件）随机事件（事件）随机事件（简称事件）随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母常用大写英文字母A、B、来表示、来表示基本事件（样本点）基本事件（样本点）试验中每一种可能出现的结果试验中每一种可能出现的结果不可能再分成为两个或更多事件的事件不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（样本空间（S或或）基本事件的全体（全集）基本事件的全体（全集）8工程工程统计学统计学S随机事件（续）随机事件（续）复合事件复合事件由某些基本事件组合而成的事件由某些基本事件组

6、合而成的事件样本空间中的子集样本空间中的子集随机事件的两种特例随机事件的两种特例必然事件必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间只有样本空间 才是必然事件才是必然事件 不可能事件不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（不可能事件是一个空集（）9工程工程统计学统计学二、随机事件的概率二、随机事件的概率3.1 随机事件及其概率 1.1.古典概率古典概率古典概率古典概率 2.2.统计概率统计概率统计概率统计概率 3.3.主观概率主观概率主观概率主观概率 4.4.概率的基

7、本性质概率的基本性质概率的基本性质概率的基本性质 310工程工程统计学统计学S随机事件的概率随机事件的概率概率概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数用来度量随机事件发生的可能性大小的数值值必然事件的概率为必然事件的概率为1，表示为，表示为P()=1不可能事件发生的可能性是零，不可能事件发生的可能性是零，P()=0随机事件随机事件A的概率介于的概率介于0和和1之间，之间，0P(A)1,显然显然P(AB)P(A)P(B)因为因为A和和B存在共同部分存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在在P(A)+P(B)中中P(AB)被重复计算了。被重复计算了。正确计算是：正确计算是：P(AB)5/

8、106/103/108/100.828工程工程统计学统计学S2.乘法公式乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。用于计算两个事件同时发生的概率。也即也即“A发生且发生且B发生发生”的概率的概率 P(AB)先关注事件是否相互独立先关注事件是否相互独立 29工程工程统计学统计学S（1）条件概率）条件概率条件概率条件概率在某些附加条件下计算的概率在某些附加条件下计算的概率在已知事件在已知事件B已经发生的条件下已经发生的条件下A发生的条发生的条件概率件概率P(A|B)条件概率的一般公式：条件概率的一般公式：其中 P(B)0 30工程工程统计学统计学S【例【例3-5】某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产

9、某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一件，其中一级品为级品为280件；乙厂生产件；乙厂生产600件，其中一级品有件，其中一级品有360件。若件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：已知抽出已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；已知抽已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设解：设A“甲厂产品甲厂产品”，B“一级品一级品”，则：，则：P(A)0.4，P(B)0.64，P(AB)0.28 所求概率为事件所求概率为事件B发生条件下

10、发生条件下A发生的条件概率发生的条件概率 P(A|B)0.28/0.64所求概率为事件所求概率为事件A发生条件下发生条件下B发生的条件概率发生的条件概率 P(B|A)0.28/0.431工程工程统计学统计学SP(A|B)在在B发生的所有可能结果中发生的所有可能结果中AB发生发生的概率的概率即在样本空间即在样本空间中考虑的条件概率中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间就变成在新的样本空间B中计算事件中计算事件AB的概的概率问题了率问题了（1）条件概率（续）条件概率（续）一旦事件B已发生ABABBAB32工程工程统计学统计学S乘法公式的一般形式：乘法公式的一般形式：P(AB)P(A)P

11、(B|A)或或 P(AB)P(B)P(A|B)【例【例3-6】对例】对例3-1中的问题（从这中的问题（从这50件中任取件中任取2件件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）不放回抽样）解：解：A1第一次抽到合格品，第一次抽到合格品，A2第二次抽到第二次抽到合格品，合格品，A1A2抽到两件产品均为合格品抽到两件产品均为合格品P(A1 A2)P(A1)P(A2|A1)33工程工程统计学统计学S事件的独立性事件的独立性两个事件独立两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率件发生的概率P(A|

12、B)P(A)，或，或 P(B|A)P(B)独立事件的乘法公式：独立事件的乘法公式：P(AB)P(A)P(B)推广到推广到n n 个独立事件，有：个独立事件，有：P P P P(A A A A1 1A A A An n)P P P P(A A A A1 1)P P P P(A A A A2 2)P P P P(A A A An n)34工程工程统计学统计学S3.全概率公式全概率公式完备事件组完备事件组事件事件A1、A2、An互不相容，互不相容，AA2An且且P(Ai)0（i=1、2、.、n）对任一事件对任一事件B，它总是与完备事件组，它总是与完备事件组A1、A2、An之一同时发生，则有求之一同时

13、发生，则有求P(B)的的全概率公式全概率公式：35工程工程统计学统计学S【例例3-7】有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取一球，问此球是红球的概率？取一球，问此球是红球的概率？甲乙36工程工程统计学统计学S37工程工程统计学统计学S全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式 全概率公式的直观意义：全概率公式的直观意义：全概率公式的直观意义：全概率公式的直观意义：每一个每

14、一个每一个每一个A Ai i的发生都可能导致的发生都可能导致的发生都可能导致的发生都可能导致B B出现，每一个出现，每一个出现，每一个出现，每一个A Ai i 导致导致导致导致B B发生的概率为发生的概率为发生的概率为发生的概率为 ，因此作为结果的事件，因此作为结果的事件，因此作为结果的事件，因此作为结果的事件B B发生的发生的发生的发生的概率是各个概率是各个概率是各个概率是各个“原因原因原因原因”A Ai i 引发的概率的总和引发的概率的总和引发的概率的总和引发的概率的总和 相反，在观察到事件相反，在观察到事件相反，在观察到事件相反，在观察到事件B B已经发生的条件下，确定已经发生的条件下，

15、确定已经发生的条件下，确定已经发生的条件下，确定导致导致导致导致B B发生的各个原因发生的各个原因发生的各个原因发生的各个原因A Ai i的概率的概率的概率的概率贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式（逆概率公式）（逆概率公式）（逆概率公式）（逆概率公式）（后验概率公式）（后验概率公式）（后验概率公式）（后验概率公式）38工程工程统计学统计学S贝叶斯公式贝叶斯公式若若A1、A2、An为完备事件组，则对为完备事件组，则对于任意随机事件于任意随机事件B，有：，有：计算事件计算事件Ai在给定在给定B条件下的条件概率公式。条件下的条件概率公式。公式中，公式中，P(Ai)称为事件称为事件Ai的先验概率

16、的先验概率P(Ai|B)称为事件称为事件Ai的后验概率的后验概率 39工程工程统计学统计学S40工程工程统计学统计学3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 一、随机变量的概念一、随机变量的概念一、随机变量的概念一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布四、常见的离散型概率分布四、常见的离散型概率分布四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布五、常见的连续型概率分布五、常见的连续型概率分布五、常见的

17、连续型概率分布341工程工程统计学统计学一、随机变量的概念一、随机变量的概念3.2 随机变量及其概率分布342工程工程统计学统计学S一、随机变量的概念一、随机变量的概念随机变量随机变量表示随机试验结果的变量表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值来表示，具体取值则用相应的小写字母如则用相应的小写字母如x、y、z来表示来表示 根据取值特点的不同，可分为根据取值特点的不同，可分为：离散型离散型随机变量随机变量取值可以一一列举

18、取值可以一一列举连续型连续型随机变量随机变量取值不能一一列举取值不能一一列举43工程工程统计学统计学二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布3.2 随机变量及其概率分布 1.1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 2.2.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 3.3.分布函数分布函数分布函数分布函数344工程工程统计学统计学S1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布X的的概率分布概率分布X的有限个可能取值为的有限个可能取值为xi与其概率与其概率 pi（i=1

19、，2，3，n）之间）之间的对应关系。的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi0，i=1,2,n；（2）45工程工程统计学统计学S离散型离散型概率分布的表示：概率分布的表示：概率函数：概率函数：P(X=xi)=pi分布列：分布列：分布图分布图X=xix1x2xnP(X=xi)=pip1p2pn0.60.300 1 2 xP(x)46工程工程统计学统计学S2.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的概率分布只能表示为：连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数数学函数概率密度函数概率密度函数f(x)和分布函数和分布函数F(x)图图

20、 形形概率密度曲线和分布函数曲线概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数概率密度函数f(x)的函数值不是概率。的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率只能计算随机变量落在一定区间内的概率由由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示轴以上、概率密度曲线下方面积来表示47工程工程统计学统计学S概率密度概率密度f(x)的性质的性质（1）f(x)0。概率密度是非负函数。概率密度是非负函数。（2）所有区域上取值的概率总和为所有区域上取值的概率总和为1。随机随机变变量量X在一定区在一定区间间（a，b）上的概率：上的概率：f

21、f(x x)xab48工程工程统计学统计学S3.分布函数分布函数适用于两类随机变量概率分布的描述适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：分布函数的定义：F(x)PXx连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 F(x)f f(x x)xx0F F(x x0 0 )分布函数分布函数与与概率密度概率密度49工程工程统计学统计学三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征3.2 随机变量及其概率分布 1.1.随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望 2.2.随机变量的方差和标准差随机变量的方差和标准差随机变

22、量的方差和标准差随机变量的方差和标准差 3.3.两个随机变量的协方差和相关系数两个随机变量的协方差和相关系数两个随机变量的协方差和相关系数两个随机变量的协方差和相关系数350工程工程统计学统计学S1.随机变量的数学期望随机变量的数学期望又称均值又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量离散型随机变量 X的数学期望的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量连续型随机变量X 的数学期望：的数学期望：51工程工程统计学统计学S数学期望的主要数学性质数学期望的主要数学性质若若k是一常数，则是

23、一常数，则 E(k X)k E(X)对于任意两个随机变量对于任意两个随机变量X、Y，有，有 E(X+Y)E(X)E(Y)若两个随机变量若两个随机变量X、Y相互独立，则相互独立，则 E(XY)E(X)E(Y)52工程工程统计学统计学S2.随机变量的方差随机变量的方差方差是它的各个可能取值偏离其均值的方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为离差平方的均值，记为D(x)或或2公式：公式：离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：53工程工程统计学统计学S方差和标准差方差和标准差（续）（续）标准差标准差方差的平方根方差的平方根方差和标准差都反

24、映随机变量取值的分散方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：方差的主要数学性质：若若k是一常数，则是一常数，则 D(k)0；D(kX)k2 D(X)若两个随机变量若两个随机变量X、Y相互独立，则相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y)54工程工程统计学统计学S【例例】看看图图识识方方差差（与与标标准准差差）。下下画画出出四四个个分分布布列列的的线线条条图图，其其中中垂垂线线高高度度就就是是相相应应的的概概率率。现现要问这四个分布列中哪个方差大，哪个方差小。要

25、问这四个分布列中哪个方差大，哪个方差小。(A)E(X)1 2 3 4 5 6 7 8 9(B)(C)(D)若方差若方差Var(X)较小，小，则和式中每个乘和式中每个乘积项都要很小，都要很小，这必必导致如下情况：致如下情况：（1）偏差）偏差xi-E(x)小，相小，相应概率概率p(xi)可以大一点；可以大一点；（2）偏差）偏差xi-E(x)大，相大，相应概率概率p(xi)必定小。必定小。这表明：离均表明：离均值E（X）愈近的）愈近的值xi的的发生可能性愈大，而生可能性愈大，而远离离E（X）的）的值xi的的发生可能性愈小。此种随机生可能性愈小。此种随机变量在量在E（X）附近取）附近取值的可能性很大，

26、的可能性很大，故其取故其取值的波的波动就不会很大。就不会很大。55工程工程统计学统计学S【例】【例】试求优质品件数的数学期望、方差和标试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。准差。解：解：0.6xi012pi0.10.60.356工程工程统计学统计学S3.两个随机变量的协方差和相关系数两个随机变量的协方差和相关系数协方差的定义协方差的定义 如果如果X,Y独立（不相关），则独立（不相关），则 Cov(X,Y)0 即即 E(XY)E(X)E(Y)协方差在一定程度上反映了协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。协方差受两个变量本身量纲的影响。57工程工程

27、统计学统计学S相关系数相关系数相关系数相关系数具有如下的性质：具有如下的性质：相关系数相关系数是一个无量纲的值是一个无量纲的值 0|0当当=0，两个变量不相关，两个变量不相关（不存在线（不存在线性相关）性相关）当当|=1，两个变量完全线性相关，两个变量完全线性相关 58工程工程统计学统计学 四、常见离散型随机变量的四、常见离散型随机变量的概率分布概率分布3.2 随机变量及其概率分布 1.1.二项分布二项分布二项分布二项分布 2.2.泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布 3.3.超几何分布超几何分布超几何分布超几何分布359工程工程统计学统计学S1.二项分布二项分布（背景）（背景）（背景）（背景）n

28、重贝努里试验：重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果一次试验只有两种可能结果用用“成功成功”代表所关心的结果，相代表所关心的结果，相反的结果为反的结果为“失败失败”每次试验中每次试验中“成功成功”的概率都是的概率都是 p n 次试验相互独立。次试验相互独立。一次试验只有两种结果的一次试验只有两种结果的试验称为试验称为Bernoulli试验试验60工程工程统计学统计学S1.二项分布二项分布在在n重贝努里试验中，重贝努里试验中，“成功成功”的次数的次数X服从参数为服从参数为n、p的二项分布，的二项分布，记为记为 X B(n,p)二项分布的概率函数：二项分布的概率函数：二项分布的数学期望和方差：二项

29、分布的数学期望和方差：n1时，二项分布就成了二点分布（时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）分布）61工程工程统计学统计学S二项分布图形二项分布图形p0.5时，二项分布是以均值为中心对称时，二项分布是以均值为中心对称p0.5时，二项分布总是非对称的时，二项分布总是非对称的p0.5时峰值在中心的右侧（负偏、左偏）时峰值在中心的右侧（负偏、左偏）随着随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布无限增大，二项分布趋近于正态分布p=0.3p=0.5p=0.7二项分布图示二项分布图示62工程工程统计学统计学S【例【例3-11】某单位有某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至辆汽车，假设每辆车在一年中至多只发生

30、一次损失且损失的概率为多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求。试求在一年内该单位：（在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失）没有汽车发生损失的概率；（的概率；（2）有）有1辆汽车发生损失的概率；辆汽车发生损失的概率；（3）发生损失的汽车不超过）发生损失的汽车不超过2辆的概率。辆的概率。解：解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且每辆汽车是否发生损失相互独立的，且损失的概率相同，因此，据题意，在损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽辆汽车中发生损失的汽车数车中发生损失的汽车数X B(4,0.1)。63工程工程统计学统计学S2.泊松分布泊松分布 X 服从泊松分布，记为服从泊松分布，记为XP(）:

31、E(X)=D(X)=当当 很小时，泊松分布呈偏态，并随着很小时，泊松分布呈偏态，并随着增增大而趋于对称大而趋于对称64工程工程统计学统计学S泊松分布（应用背景）泊松分布（应用背景）通常是作为稀有事件发生次数通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模的概率分布模型。型。一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数一匹布上发现的疵点个数一匹布上发现的疵点个数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数.服从泊松分布的现象的共同特征服从泊松分布的现象的

32、共同特征在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的；是相互独立的；各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关；间起点无关；在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计概率可以忽略不计65工程工程统计学统计学S【例【例3-12】设某种报刊的每版上错别字个数服从设某种报刊的每版上错别字个数服从 =2的泊松分布。随机翻看一版，求：的泊松分布。随机翻看一版，求：（1）没有错别字的概率；）没有错别字的概率；（2）至多有）至多有5个错

33、别字的概率。个错别字的概率。解：解：设设X每版上错别字个数，则所求概每版上错别字个数，则所求概率为：率为：66工程工程统计学统计学S二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似【前提】【前提】当当n很大而很大而 p又很小时，二项分布可用又很小时，二项分布可用参数参数np 的泊松分布近似的泊松分布近似【例【例3-13】一工厂有某种设备一工厂有某种设备80台，配备了台，配备了3个个维修工。假设每台设备的维修只需要一个维修维修工。假设每台设备的维修只需要一个维修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障而。求设

34、备发生故障而不能及时维修的概率是多少？不能及时维修的概率是多少？解：解：XB(n=80，p=0.01)，由于，由于np=0.8很小，可很小，可以用以用0.8的泊松分布来近似计算其概率的泊松分布来近似计算其概率:67工程工程统计学统计学S3.超几何分布超几何分布N个单位的有限总体中有个单位的有限总体中有M个单位具有某特个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单个单位，样本中具有某种特征的单位数位，样本中具有某种特征的单位数X服从超服从超几何分布，记为几何分布，记为XH(n,N,M)数学期望和方差数学期望和方差:N很大而很大而n相对很小时，趋于二项分布相对

35、很小时，趋于二项分布(p=M/N)68工程工程统计学统计学S五、常见的连续型概率分布五、常见的连续型概率分布1.均匀分布均匀分布X只在一有限区间只在一有限区间 a，b 上取值上取值且概率密度是一个常数且概率密度是一个常数其概率密度为：其概率密度为：X 落在子区间落在子区间 c，d 内的内的概率与该子区间的长度成正概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关比，与具体位置无关f(x)a c d b xP(cXd)69工程工程统计学统计学S2.正态分布正态分布XN(、2)，其概率密度为：，其概率密度为：正态分布的均值和标准差正态分布的均值和标准差 均值均值 E(X)=方差方差 D(X)=2 -x 7

36、20)P(Z1.38)1P(Z1.38)10.91620.0838 77工程工程统计学统计学S用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布的用正态分布近似二项分布的前提前提n很大，很大，p不能太接近不能太接近 0 或或 1（否则二项分布太偏）（否则二项分布太偏）一般要求一般要求np和和np(1-p)都要大于都要大于5如果如果np或或np(1-p)小于小于5，二项分布可以用，二项分布可以用泊松分布来近似泊松分布来近似 78工程工程统计学统计学3.3 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 一、大数定律一、大数定律一、大数定律一、大数定律 二、中心极限定理二、中心极限定

37、理二、中心极限定理二、中心极限定理379工程工程统计学统计学 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律1.1.切比雪夫不等式切比雪夫不等式2.2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律3.3.贝努力大数定律贝努力大数定律4.4.辛钦大数定律辛钦大数定律三、中心极限定理三、中心极限定理1.1.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理2.Lyapunov中心极限定理中心极限定理3.De-Moivere-Laplace中心极限定理中心极限定理一、背景一、背景380工程工程统计学统计学S 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理一、背景一、背景 1.1.为何能以某事件发生

38、的频率作为该事件的概率的为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？估计？2.2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.4.大样本统计推断的理论基础是什么？大样本统计推断的理论基础是什么？81工程工程统计学统计学S大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律1.1.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)=,方差方差D(X)=2,则则对任意的正数对任意的正数，不等式，不等式或或成立成立.82工程工程

39、统计学统计学S大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律2.2.切比雪夫切比雪夫大数定理大数定理 若若X1，X2，Xn，为独为独立同分布随机变量序列立同分布随机变量序列,E(Xk)=D(Xk)=2(k=1,2,)=1,2,)，则对任意，则对任意的正数的正数 0,0,有有或或83工程工程统计学统计学S证证 根据已知条件根据已知条件由切比雪夫不等式，有由切比雪夫不等式，有又又所以所以84工程工程统计学统计学S大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律3.3.伯努例伯努例大数定理大数定理 设设nA为为 是是 n次次独独立立重重复复试试验验中中事事

40、件件 A发发生生的的次次数数,p是是事事件件 A在在 每每次次试试验验中中发发生生的的概概率率,则则对对任任意意的的正数正数 0,0,有有或或85工程工程统计学统计学S证证 设设那么那么 相互独立，且服从参数为相互独立，且服从参数为p的的0101分分布，布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-(1-p).).由切比雪夫大数定理由切比雪夫大数定理,有有即即86工程工程统计学统计学S大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律4.4.辛钦大数定理辛钦大数定理 若若X1，X2，Xn，为独为独立同分布随机变量序列立同分布随机变量序列,E(Xk)=(k=1,2,)=1,2,)，则

41、对任意的正数，则对任意的正数 0,0,有有或或87工程工程统计学统计学S 定义定义1 1 设设Y1，Y2，Yn，,是一随机变量序列，是一随机变量序列，a为一常数为一常数.若对任意给定正数若对任意给定正数 0,0,有有则称随机变量序列则称随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于依概率收敛于a 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律 定定 义义 2 2 设设X1，X2，Xn，是是一一随随机机变变量量序序列列 .若若 存存 在在 常常 数数 列列 an 使使 对对 任任 意意 给给 定定 的的 正正 数数 ，恒恒 有有 ,则则称称随随机机变变量量序序列列 Yn服从大数

42、定律服从大数定律88工程工程统计学统计学S 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理三、中心极限定理三、中心极限定理1.1.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理 若若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序为独立同分布随机变量序列列,E(Xk)=D(Xk)=2(k=1,2,)=1,2,)，则随机变量标，则随机变量标准化量准化量的分布函数的分布函数Fn(x)对于任意对于任意x满足满足89工程工程统计学统计学S90工程工程统计学统计学S 例例1 1 一个加法器同时收到一个加法器同时收到2020个噪声电压个噪声电压Vk,(,(k=1,2,=1,2,20),20),设他们是相互独立的随机变

43、量设他们是相互独立的随机变量,且都在区间且都在区间(0,10)(0,10)内服从均匀分布内服从均匀分布.记记 ，求，求 .解解 由题意由题意随机变量随机变量于是于是91工程工程统计学统计学S所以所以92工程工程统计学统计学S 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理三、中心极限定理三、中心极限定理2.2.李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理 若若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序为独立同分布随机变量序列列,，若存在正数若存在正数，使当，使当 时，时，则随机变量标准化量则随机变量标准化量Zn的分布函数的分布函数Fn(x)对于任意对于任意x满足满足93工程工程统计学统计学S 说说

44、明明：无无论论各各随随机机变变量量 Xk(k=1 1,2 2,)服服从从什什么么分分布布，只只要要满满足足定定理理的的条条件件，那那么么他他们们的的和和当当 n很很大大时时，就就近近似似服服从从正正态态分分布布，这这就就是是为为什什么么正正态态随随机机变变量量在在概概率论中占有非常重要地位的一个基本原因率论中占有非常重要地位的一个基本原因.94工程工程统计学统计学S 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理三、中心极限定理三、中心极限定理3.3.棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 设随机变量服设随机变量服 从参数为从参数为n,p的二项分布，的二项分布，则则对任对任意意x，

45、有，有95工程工程统计学统计学S 证证 设设Xk(k=1,2,=1,2,)服从参数为服从参数为p的的0-10-1分布，那么分布，那么于是由独立同分布中心极限定理，得于是由独立同分布中心极限定理，得96工程工程统计学统计学S 分分析析 我我们们将将每每使使用用一一部部电电话话分分机机看看作作是是一一次次试试验验，那那 么么 2 26 60 0部部电电话话分分机机同同时时使使用用外外线线通通话话的的分分机机数数记记 X,则则X是是一一个个随随机机变变量量，且且有有 X服服从从参参数数为为 2 26 60 0，0 0.0 04 4的的二二项项分分 布布.总总 机机 需需 备备 m条条 外外 线线 才

46、才 能能 9 95 5%满满 足足 每每 部部 分分 机机 在在使用外线时不用等候使用外线时不用等候,即即PX m 0.95.例例2 2 某某单单位位内内部部有有 2 26 60 0部部电电话话分分机机，每每部部分分机机有有 4 4%的的时时间间使使用用外外线线与与外外界界通通话话，可可以以认认为为每每部部电电话话分分机机使使用用不不同同的的外外线线是是相相互互独独立立的的，问问总总机机需需备备多多少少条条外外线线才才能能95%95%满足每部分机在使用外线时不用等候满足每部分机在使用外线时不用等候?97工程工程统计学统计学S 例例2 2 某某单单位位内内部部有有 2 26 60 0部部电电话话

47、分分机机，每每部部分分机机有有 4 4%的的时时间间使使用用外外线线与与外外界界通通话话，可可以以认认为为每每部部电电话话分分机机使使用用不不同同的的外外线线是是相相互互独独立立的的，问问总总机机需需备备多多少少条条外外线线才才能能95%95%满足每部分机在使用外线时不用等候满足每部分机在使用外线时不用等候?解解 设设2 26 60 0部部电电话话分分机机同同时时使使用用外外线线通通话话的的分分机机数数为为X,则则X服服从从参参数数为为 2 26 60 0，0 0.0 04 4的的二二项项分分布布.总总机机需需备备 m条条外外线线才才能能 9 95 5%满满足足每每部部分分机机在在使使用用外外

48、线线时时不不用用等等候候.由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有98工程工程统计学统计学S查表查表 .不妨取不妨取这就是说，总机至少需备这就是说，总机至少需备1616条外线才能条外线才能95%95%满足每部分机满足每部分机在使用外线时不用等候在使用外线时不用等候.99工程工程统计学统计学S 例例3 3 对对于于一一个个学学生生而而言言，来来参参加加家家长长会会的的家家长长人人数数是是一一个个随随机机变变量量，设设一一个个学学生生无无家家长长、1 1名名家家长长、2 2名名 家家长长来来参参加加会会议议的的概概率率分分别别为为 0 0.0 05 5、0 0.8

49、8、0 0.1 15 5.若若学学校校共共有有4 40 00 0名名学学生生，设设各各学学生生参参加加会会议议的的家家长长数数相相互互独独立立，且且服服从从统统一一分分布布.(1 1)求求参参加加会会议议的的家家长长人人数数 X超超 过过 4 45 50 0的的 概概率率；(2 2)求求 有有 1 1名名家家长长来来参参加加会会议议的的学学生生人人数数不不多多于于 3 34 40 0的概率的概率.100工程工程统计学统计学S 解解 (1)(1)以以Xk记第记第k个学生来参加会议的家长人数，个学生来参加会议的家长人数，则由已知条件则由已知条件Xk的分布率为的分布率为Xk012P0.050.80.

50、15可以计算可以计算E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1，2，400.由由独立同分布中心极限定理，得独立同分布中心极限定理，得101工程工程统计学统计学S 解解 (2)(2)以以Y记由一名家长参加会议的学生人数，则记由一名家长参加会议的学生人数，则Y Y服从参数为服从参数为400400，0.80.8的二项分布的二项分布.于是由于是由棣莫弗棣莫弗拉拉普拉斯中心极限定理，得普拉斯中心极限定理，得从而有从而有1 1名家长来参加会议的学生人数不多于名家长来参加会议的学生人数不多于340340的概率的概率约为约为0.9938.0.9938.102工程工程统计学统计学S 例例4 4 某某车车间