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1、第第2 2章章 极限与连续极限与连续【学习目标】l理解数列和函数极限定义的思想及其几何意义。l掌握函数极限的四则运算和性质，并能用它们求函数的极限。l了解函数极限与数列极限的关系。l掌握无穷大量与无穷小量的阶的含义，利用等价无穷小量求极限。l理解连续函数的定义，掌握连续函数的四则运算及间断点的类型。l掌握闭区间上连续函数的性质，并能解决一些理论问题。2.1 数列与函数的极限2.2 无穷大量与无穷小量2.3 极限的运算法则2.4 极限存在的准则和两个重要极限2.5 函数的连续性2.1 数列与函数的极限 极限的思想源于某些实际问题的精确求解（例如圆的面积）。极限方法是高等数学的基本方法。本节将介绍
2、数列和函数极限的概念和性质。2.1.1 数列的极限与性质2.1.2 函数的极限与性质2.1.1 数列的极限与性质1数列2数列的极限的概念3收敛数列的性质2.1.2 函数的极限与性质3函数极限的性质2.2 无穷大量与无穷小量 无穷量是一类重要的极限，在证明极限的性质和计算中起着基础性的作用。本节介绍无穷大量和无穷小量、无穷小量的性质以及无穷小量的应用。2.2.1 无穷大量2.2.2 无穷小量2.2.3 无穷小的比较2.2.1 无穷大量2.2.2 无穷小量定理2 同一变化过程中的有限个无穷小的和（差）仍是无穷小。定理3 同一变化过程中的有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。定理4 同一变化过程中的有限
3、个无穷小的乘积仍是无穷小。2.2.3 无穷小的比较2.3 极限的运算法则本节介绍极限函数的四则运算以及复合函数的极限。2.3.1 极限的四则运算2.3.2 复合函数的极限2.3.1 极限的四则运算2.3.2 复合函数的极限2.4 极限存在的准则和两个重要极限2.4.1 极限存在的准则2.4.2 两个重要极限2.4.3 等价无穷小量求极限2.4.1 极限存在的准则2.4.2 两个重要极限2.4.3 等价无穷小量求极限2.5 函数的连续性 本节介绍函数连续的概念、间断点的分类、初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质。2.5.1 连续的概念和性质2.5.2 初等函数的连续性2.5.3 函数的间断点2.5.4 闭区间上连续函数的性质2.5.1 连续的概念和性质2.5.2 初等函数的连续性1连续函数的运算2初等函数的连续性 所有的基本初等函数在定义域内连续。由于初等函数是由基本初等函数经有限次四则运算和复合得到的，因而，所有的初等函数在定义区间内连续。定义区间是指包含在定义域内的区间。有些函数的定义域为孤立点，不能形成区间，因而函数在该点没有极限也就无法连续。2.5.3 函数的间断点2.5.4 闭区间上连续函数的性质 定理5（有界性最值定理）闭区间上的连续函数在该区间上一定有界，且可以取到最大值和最小值。