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1、2023/3/14余金耀1 数学思想方法的三个层次数学思想方法的三个层次:数学思想数学思想数学思想数学思想和方法和方法和方法和方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方法法法法(或思维方法或思维方法或思维方法或思维方法)数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等 分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、归纳法、反证法等归纳法、
2、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分函数和方程思想、分类讨论思想、类讨论思想、类讨论思想、类讨论思想、数形结数形结数形结数形结合思想合思想合思想合思想、化归思想等、化归思想等、化归思想等、化归思想等第1页/共17页数形结合思想是使抽象的数学语言与直观的数形结合思想是使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，华罗庚先生说过，华罗庚先生说过:“:“数缺形时少直观数缺形时少直观,形少数时形少数时难入微难入微.”.”.数形结合思想数形结合思想是一种重要的解题思想是一种重要的解题
3、思想，用这种思想指导，一些，用这种思想指导，一些几何问题几何问题可以用可以用代数方代数方法法来处理，一些来处理，一些代数问题代数问题又可以用又可以用几何图形几何图形帮助帮助解决，解决，最明显地表现是利用直角坐标系将几何问最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来，题与代数问题结合联系起来，“以形助数，用数以形助数，用数解形解形”。这种思想是近年来中考的热点之一，也。这种思想是近年来中考的热点之一，也是中考的高档题。是中考的高档题。数形结合思想数形结合思想-图形帮助解题图形帮助解题 第2页/共17页例例1 1：丁俊辉丁俊辉在去年的世界台球（中国）公开赛中在去年的世界台球（中国）
4、公开赛中获得冠军，这是中国人在这一项目上的首个冠军。获得冠军，这是中国人在这一项目上的首个冠军。如图，如图，1=21=2，若，若3=303=30，为了使白球反弹后能，为了使白球反弹后能将将7 7号球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证号球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证1 1为为 ()A()A30 B30 B45 C45 C60 D60 D75757C第3页/共17页A、1个个B、2个个C、3个个D、4个个例例2：如图中的图象：如图中的图象(折线折线ABCDE)描述了一汽车在某一直路上的描述了一汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米千米)和行
5、驶时间和行驶时间t(小时小时)之间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：汽车共行驶汽车共行驶120120千米；千米；汽车在行驶途中停留了汽车在行驶途中停留了0.50.5小时；小时；汽车在整个行驶过程中的平均速度为汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米千米/时；时；汽车自出发后汽车自出发后3 3小时至小时至4.54.5小时之间行驶的速度在逐渐减小小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有其中正确的说法共有 ()A第4页/共17页1、试判断、试判断a,b,c的符号的符号1-12、点（、点（b,2a-b）在第）在第象限象限3、若、若M=
6、则则（）A、M0B、M=0C、M0D、不能确定、不能确定运用数形结合的方法，将运用数形结合的方法，将函数的解析式、图象和性函数的解析式、图象和性质三者有机地结合起来质三者有机地结合起来例例3：已知二次函数：已知二次函数的图象如图所示的图象如图所示0 xy二二A第5页/共17页1.二次函数yax2bxc的图象如图所示.下列关于a,b,c的条件中，不正确的是()(A)a0,b0,c0(B)b24ac0(C)abc0(D)abc0 xyOD练习:第6页/共17页2 2 无无论论m m为为何何实实数数，直直线线y yx x2m2m与与y yx x4 4的交点不可能在的交点不可能在 （）A.A.第一象限
7、第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限CxyOyx4第7页/共17页3 已知二次函数y1ax2bxc（a0)与一次函数y2kxm(k0)的图象相交于点A(2,4)，B(8,2)（如图所示），则能使y1y2成立的x的取值范围是 xyOy2y1ABx2或x828第8页/共17页4 某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。若已知OP3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。（1）求这条抛物线的解析
8、式；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？xyOPA水平面341B第9页/共17页5 5 已知一次函数已知一次函数y y3x/23x/2m m和和y yx/2x/2n n的的图图象象都都经经过过点点A A（22，0 0），且且与与y y轴分别交于轴分别交于B B、C C两点，试求两点，试求ABCABC的面积。的面积。解：解：一次函数一次函数y y3x/23x/2m m和和y yx/2x/2n n的图象都经过点的图象都经过点A A（22，0 0）0 03(2)/23(2)/2m m，0 0(2)/2(2)/2n nm m3 3，n n11两个一次函数解析式
9、分别为两个一次函数解析式分别为 y y3x/23x/23 3，y yx/2x/21 1它们与它们与y y轴的交点为轴的交点为B(0,3)C(0,1)B(0,3)C(0,1)xOy画出草图，如图，画出草图，如图，BCBC3 3（11）4 4，AOAO2 2A AB BC CS SABCABC1/2BCAO1/2BCAO4 4第10页/共17页Q Q42426t6t 6.6.某某机机动动车车出出发发前前油油箱箱内内有有4242升升油油，行行驶驶若若干干小小时时后后，途途中中在在加加油油站站加加油油若若干干升升。油油箱箱中中余余油油量量Q Q（升升）与与行行驶驶时时间间t t（小小时时）之之间间的的
10、函函数数关关系系如如图图所所示示，根根据下图回答问题：据下图回答问题：(1)(1)机动车行驶几小时后加油？答：小时机动车行驶几小时后加油？答：小时(2)(2)加油前余油量加油前余油量Q Q与行驶时间与行驶时间t t的函数关系式的函数关系式是：是：此函数自变量此函数自变量t t的的取值范围是取值范围是50t5(3)(3)中途加油升中途加油升24(4)(4)如果加油站离如果加油站离目的地还有目的地还有230公里，公里，车速为车速为40公里公里/小时，小时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由.第11页/共17页7 7、思考题：、思考题：已知：如图
11、，直线y3 x/31和x轴、y轴分别相交于A、B两点，以线段AB为边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P在第一象限内，且使ABP与ABC的面积相等。（1）求C点坐标；（2）求直线PC的解析式；（3）若点Q的坐标为(3 m,m23),问点Q在不在直线PC上？xyOBDCPAE第12页/共17页8 8：如图，如果士：如图，如果士 所在位置的坐标为所在位置的坐标为(-1,-2),(-1,-2),相所在位置的坐标相所在位置的坐标为为 那么，马可以走的位置的坐标为那么，马可以走的位置的坐标为 .帅帅士士相相马马ABCD9 9、右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为、右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子
12、，剩余的格点上没有棋子棋子，剩余的格点上没有棋子.我们约定跳我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步步.已知点已知点A A为已方一枚棋子，欲将棋子为已方一枚棋子，欲将棋子A A跳跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（的最少步数为（）CBEDFG第13页/共17页1、（、（1）已知平面直角坐标系中第一象限）已知平面直角坐标系中第一象限有一有一点点P（m,n)则则P点到点到O点的距离是多点的距离是多少少?(用用m,n代数式表示代数式表
13、示)（2）证明 m+n2.已知已知 ，以，以，为一个三角形的三条边，为一个三角形的三条边，求该三角形的面积。求该三角形的面积。第14页/共17页小结：谈到“数形结合”，大多与函数问题有关。函数的解析式和函数的图象分别从“数”和“形”两方面反映了函数的性质，函数的解析式是从数量关系上反映量与量之间的联系；函数图象则直观地反映了函数的各种性质，使抽象的函数关系得到了形象的显示。第15页/共17页“数形结合思想”就是通过数量与图形之间相互转化来解决数学问题的思想.“数”与“形”是相互联系的.数轴与直角坐标系的建立，为“数”与“形”的沟通提供了工具，使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义，而直观图象的性质也常可用数量关系加以精确地描述.第16页/共17页2023/3/14余金耀17谢谢您的观看！第17页/共17页