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1、第三节矩阵的初等变第三节矩阵的初等变换换第1页，此课件共25页哦解解第2页，此课件共25页哦用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第3页，此课件共25页哦于是解得于是解得(2)第4页，此课件共25页哦小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换（与相互替换)（以（以 替换替换 )（以替换）（以替换）第5页
2、，此课件共25页哦3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换解变换第6页，此课件共25页哦因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换第7页，此课件共25页哦定义定义1下面三种变
3、换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换第8页，此课件共25页哦定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换第9页，此课件共25页哦等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组
4、同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价第10页，此课件共25页哦用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：第11页，此课件共25页哦第12页，此课件共25页哦回代过程：回代过程：第13页，此课件共25页哦第14页，此课件共25页哦特点：特点：（1）可划出一条）可划出一条阶梯线，线的下阶梯线，线的下方全为零；方全为零；（2）每个台阶）每个台阶 只只有一行，有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元元素为非零元，即非零行的第一个非零元第15页，此课件共25页哦
5、行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:设若当若当ij时时,恒有恒有:且各行中第一个非零元素前且各行中第一个非零元素前面零元素的个数随行数增大而增多面零元素的个数随行数增大而增多.注意注意:元素全为零的行只会在最下面元素全为零的行只会在最下面.例如：例如：第16页，此课件共25页哦注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由方程组唯一确定的非零行的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形 第17页，此课件共25页哦例如，例如，第18页，此课件共25页哦特点
6、：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.第19页，此课件共25页哦三、小结三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 2.2.初等变换初等变换 第20页，此课件共25页哦释释 疑疑 解解 难难 1.1.一一 个个 矩矩 阵阵 的的 行行 阶阶 梯梯 形形 矩矩 阵阵、行行 最最 简简 形形 矩矩一一 个个 矩矩 阵阵 的的
7、行行 阶阶 梯梯 形形 矩矩 阵阵、行行 最最 简简 形形 矩矩阵、标准形矩阵有何异同阵、标准形矩阵有何异同阵、标准形矩阵有何异同阵、标准形矩阵有何异同?答答答答 它它们们的的共共同同点点是是它它们们的的共共同同点点是是:1)阶阶梯梯数数相相等等,且且等等于于矩矩阵的秩阵的秩;2)每个阶梯上只有一行每个阶梯上只有一行,阶梯的每条竖线后的第一个元素阶梯的每条竖线后的第一个元素不等于零不等于零;3)阶梯线以下的所有元素都是零阶梯线以下的所有元素都是零.第21页，此课件共25页哦它它们们的的不不同同点点是是它它们们的的不不同同点点是是:行行最最简简形形矩矩阵阵要要求求每每个个阶阶梯梯上上的的第第一一
8、个个非非零零元元为为 1,且且第第一一个个非非零零元元1所所在在的的列列上上的的所所有有元元素素全全都都为为零零;标标准准形形要要求求所所有有的的非非零零元元都为都为1.如如.第22页，此课件共25页哦 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 其特点是：阶梯线以下其特点是：阶梯线以下的元素全是，台阶数即为的元素全是，台阶数即为非零行数非零行数,竖线后面的第一个竖线后面的第一个元素为非零元元素为非零元.行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵 其特点是：非零行的第其特点是：非零行的第一个非零元为，且这些一个非零元为，且这些非零元非零元1所在的列的其它所在的列的其它元素都为元素都
9、为.标准形矩阵标准形矩阵标准形矩阵标准形矩阵 其特点是：左上角为一其特点是：左上角为一单位矩阵单位矩阵,其它位置上的元素其它位置上的元素全都为全都为 0.第23页，此课件共25页哦 2.2.一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明阵、标准形矩阵唯一吗？举例说明.答答答答 矩阵的行阶梯形矩阵不唯一矩阵的行阶梯形矩阵不唯一,而其行最而其行最简形矩阵和标准形矩阵是唯一的简形矩阵和标准形矩阵是唯一的.如如第24页，此课件共25页哦则则 A1,A2 都是都是 A 的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵,A3 是是 A 的行最的行最简形矩阵简形矩阵,A4 是是 A 的标准形矩阵的标准形矩阵.第25页，此课件共25页哦