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1、第三节矩阵的秩第1页，本讲稿共22页一、矩阵秩的概念矩阵的秩K阶子式阶子式第2页，本讲稿共22页第3页，本讲稿共22页定理定理2.2设矩阵设矩阵A中有一个中有一个r阶子式阶子式 ，而所有包含，而所有包含D的的 阶子式（如果存在的话）都等于阶子式（如果存在的话）都等于0，那么矩，那么矩阵阵A的秩为的秩为r，即即 推论推论2.3.4 若若A中有一个中有一个r阶子式不为阶子式不为0，则，则 推论推论2.3.5 若若A中所有的中所有的r阶子式全为阶子式全为0，则，则 第4页，本讲稿共22页例1解解第5页，本讲稿共22页例2解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，第6页，本讲稿共22页说明：说明：矩阵经初等
2、变换而秩不变矩阵经初等变换而秩不变.用用初等变换初等变换把矩阵中的许多元素变为把矩阵中的许多元素变为0，从而直接看出矩阵，从而直接看出矩阵的秩的秩.譬如，限定只用初等行变换，即可把矩阵变为一种譬如，限定只用初等行变换，即可把矩阵变为一种称为称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，其中，其中非零行的行数非零行的行数即是矩阵的秩即是矩阵的秩.计算矩阵秩的方法计算矩阵秩的方法第7页，本讲稿共22页例3求下列矩阵的秩 解：解：第8页，本讲稿共22页上上式式最最后后一一个个矩矩阵阵称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，它它具具有有下下述述特特性性：每每个阶梯只有一行个阶梯只有一行.从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩
3、从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩.继续施行继续施行初等行变换初等行变换，还可化为最简单的形式：，还可化为最简单的形式：由此看出第9页，本讲稿共22页最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性：最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性：每一个非零行的第一个非零元素均为每一个非零行的第一个非零元素均为1，且含这些元素的列的其，且含这些元素的列的其它元素都为它元素都为0.这个矩阵称为矩阵这个矩阵称为矩阵A A的的行最简形行最简形 矩阵矩阵A A经初等行变换可化为行阶梯形及行最简形，经初等行变换可化为行阶梯形及行最简形，若再经初等列变换，还可化为如下的最简形式：若再经初等列变换，还可化为如下的最简形式：第10页，本
4、讲稿共22页矩阵I称为A的标准形，其特点是：I的左上角是一个r阶单位阵 其它元素都是0.可见若 ，则A与B有相同的标准形.第11页，本讲稿共22页特别地，当A为n阶方阵且 时,可知故A的标准形为单位阵E，即 .因此称行列式值 不为零的方阵为满秩方阵;称行列式值为零的方阵为降秩方阵.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质:1.2.3.4.若则第12页，本讲稿共22页 例例4解解第13页，本讲稿共22页第14页，本讲稿共22页第15页，本讲稿共22页由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知第16页，本讲稿共22页第17页，本讲稿共22页则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.第18页，本讲稿共22页例5解解分析：分析：第19页，本讲稿共22页第20页，本讲稿共22页第21页，本讲稿共22页小小 结结矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩求法矩阵的秩求法 初等行变换或初等列变换初等行变换或初等列变换第22页，本讲稿共22页