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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 矩矩 阵阵 的的 初初 等等 变变 换换 二、消元法解线性方程组二、消元法解线性方程组我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1、定义、定义下面三种变换称为矩阵的
2、下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: : ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换( (所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我
3、也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2、定义、定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统统 称称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物等价关系的性质：等价关系的性质：1 AA（ ） 反反身身性性；2 AB , BA;
4、（ ）对对称称性性 若若则则3 AB,BC, AC.（ ）传传递递性性 若若则则具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价3 3、定义、定义3 3 如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换变成矩经有限次初等变换变成矩阵阵B，就称矩阵，就称矩阵A与与B等价等价，记作，记作A B, BAr, BAc我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13
5、42分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 同解方程组同解方程组我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快
6、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解得解得 3344321xcxcxcx.3可任意取值可任意取值x, 3, 3, 443231 xxxxx方程组的解为方程组的解为令令,3cx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，
7、为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快
8、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中
9、，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组程组 (1) 的增广矩阵的增广矩阵）的变换）的变换我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（2）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23
10、r我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43
11、rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物特点：特点：（1）可划出一）
12、可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；（2）每个台）每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元都称为都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵4B和和5B矩阵矩阵4、 41 12 140 11 100 00 130 00 00B我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物特点：特点：（1）是行阶梯）是行阶梯形矩阵形矩阵5 00000310
13、003011040101B （2）非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1非零首元非零首元1所所在的列其他元素为在的列其他元素为0都称为都称为行最简形矩阵行最简形矩阵5B矩阵矩阵5、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物., 和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵nmA 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形标准形我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在
14、这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF标标准准形形我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的
15、行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 将下列矩阵化为行最简形，标准形将下列矩阵化为行最简形，标准形 343122321(1) 341122121221(2)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1、定义、定义 由单位矩阵由单位矩阵 E 经过经过一次一次初等变换得到初等变换
16、得到的方阵称为的方阵称为初等矩阵初等矩阵. .三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 )(,，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调ji
17、rrjiE对调两行或两列对调两行或两列)1( 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j),(jiE2、三种初等矩阵、三种初等矩阵我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 0)2(乘乘某某行行或或某某列列以以数数 k矩矩阵阵得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数, )(0 kriki 1111)(kkiE行行第第 i)( kiE我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物上去上去列
18、列加到另一行加到另一行列列乘某行乘某行以数以数)()()3(k得得到到初初等等矩矩阵阵列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk kE i j k11( , ( )11行行第第i行行第第jE i j k( , ( )我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 以下矩阵是否初等矩阵以下矩阵是否初等矩阵? 100001010)1(A 100011101)2(A 001010100)3(A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶
19、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4、初等矩阵均可逆、初等矩阵均可逆 ; 则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jirr ),(),(1jiEjiE ;1则则，的的逆逆变变换换为为变变换换krkrii )1()(1kiEkiE ().ijijrkrrk r 变换的逆变换为，则E i j kE i jk1( , ( )( , ()3、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表
20、里边有一个活的生物AA0101011233100010654 ,.001001789例例已已知知求求,987456321 B设设解解,)1(3 , 1()2 , 1(BAEE 则则有有11)1(3 , 1()2 , 1( BEEA即即)1(3 , 1()2 , 1( BEE 987456321B21rr 98732145613cc 287221256.A 四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 100001010403621252 430612225 40362
21、1252100050001 403621252105010001 40330105252142513621252例例4 4我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 定理定理1 1 设设 A 是一个是一个 m n 矩阵矩阵 , 对对 A 施行一施行一次初等次初等行行变换，相当于在变换，相当于在 A 的的左左边乘边乘以相应的以相应的 m 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 A 施行一次初等施行一次初等列列变换变换 , 相当于相当于在在 A 的的右右边乘以相应的边乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵. .初等变
22、换初等变换初等矩阵初等矩阵左乘：行变左乘：行变右乘：列变右乘：列变我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,22121llPPPAPPPA 使使得得存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是方方阵阵定定理理.1EAAr可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是方阵方阵推论推论.,2BPAQQnPmBAnm 使得使得阶可逆阵阶可逆阵及及阶可逆阵阶可逆阵存在存在等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是与与矩阵矩阵推论推论我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它
23、放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物nnA E2(,)第第一一步步：构构造造矩矩阵阵，).,(),(1 AEEA初等行变换初等行变换 AEEA1,.第第二二步步：施施行行初初等等行行变变换换当当把把变变成成时时原原来来的的就就变变成成五、初等行变换求逆矩阵五、初等行变换求逆矩阵我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例5 5 103620012520001321 100343010122001321E
24、A122rr 133rr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 103620012520001321122rr 133rr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 111100563020231001312rr 325rr .111253232311 A 111100253230102
25、31001）（22 r）（13 r我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物AX=B ,.利利用用初初等等行行变变换换法法 求求解解矩矩阵阵方方程程)()( 11BAEBAA A BEA B1(,)(,). 初初等等行行变变换换我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例6 6.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解 343431312252321)(BA我吓了一
26、跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr EA B1(,)我吓了一跳，蝎子是多么
27、丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2 矩矩 阵阵 的的 秩秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA 一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概
28、念矩阵的秩矩阵的秩., 12阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式阶行列式的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改元素元素个个处的处的），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义定义kAkAknkmkkkAnm 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物132202132015A如，有一阶子式，二阶子式，三阶子式. 个个阶阶子子式式共共有有的的矩矩阵阵knkmCCkAnm 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美
29、丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物. )()( 0102阵的秩等于零阵的秩等于零并规定零矩并规定零矩或或的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义ArARArADrDrA .)( 子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm ，对于对于TA.显显然然有有显然有：显然有：),min()(0nmAR )()(ARART 我
30、吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵数数，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于其其阶阶.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解
31、中，中，在在 A，阶阶子子式式只只有有一一个个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 2，求求该该矩矩阵阵的的秩秩已已知知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我
32、的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR显然：显然：.非非零零行行行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵的的秩秩为为其其我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,把它变为行阶梯形把它变为行阶梯形变换变换总可经过有限次初等行总可经过有限次初等行对于任何矩阵对于任何矩阵nmA 问题：问
33、题：经过初等变换矩阵的秩变吗？经过初等变换矩阵的秩变吗？ . ,1 BRARBA 则则若若定定理理二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法1、初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩矩阵的秩. .2、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物做做初初等等变变换换，对对矩矩阵阵 510231202231A例例2 另解另解,0000312022315102312
34、02231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2， . 2 AR此方法简单！此方法简单！我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩阵阵设设AAA,41461351021632305023 .3)( AR 00000840001134041461 A行初等变换行初等变换我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 . 的的一一个个最最高
35、高阶阶子子式式求求 A , 3)( AR . 3 阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A623502523 1106502523 116522 . 016 则这个子式便是则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则
36、则AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 . 3)(, 2)( BRAR我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例6., , 26352132111 求求的的秩秩为为设设 A1112312536111203440854解：解：第二、三行元素成比例，第二、三行元素成比例，3448545,1.所以，所以，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物另解另解 因为因为R(A)=2，
37、所以所有的三阶子式都等于，所以所有的三阶子式都等于零。所以零。所以11121-1231232 =05365361123-12 =0,5,1.56A对于，有，可求得我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例7. , 2111211111xxxxA求求的的秩秩为为设设 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物;,min)(0. 1nmARnm ;)()(. 2ARART ;)()(,. 3BRARBA 则则
38、若若则则可逆可逆、若若,. 4QP;)()(ARPAQR )()()()(ARAQRPARPAQR )()(),()(),(max(. 5BRARBARBRAR ;)()()(. 6BRARBAR ;)(),(min()()()(. 7BRARABRnBRAR .)()(,. 8nBRAROBAlnnm 则则若若三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物9., , , 的的伴伴随随矩矩阵阵为为阶阶方方阵阵为为AArR(A)nAn 2)( 01)( 1)( )(n
39、ARnARnARnAR则则有有R AER AEn()()例例7 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明利用利用(A+E)-(A-E)=2E我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3 线线 性性 方方 程程 组组 的的 解解一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定
40、条件 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 线性方程组线性方程组, )(ijaA 系数矩阵为系数矩阵为,21 nxxxXmbbbb12,线性方程组可记为：线性方程组可记为：bAX 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复习，引入复习，引入m=n 时时, A 是是 n 阶方阵阶方阵 , 若若 |A| 0 , 则可用克拉则可用克拉默法则求唯一解，或用默法则求唯一解，或用 A 的逆矩阵表示解的逆矩阵表示解 若若 解唯一解唯一D =|A|
41、0； 解不唯一或无解，则解不唯一或无解，则D =|A| =0 若若|A| =0，则有解时如何求解？，则有解时如何求解？bAX 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2) 对一般的情况对一般的情况mn如何判定有没有解如何判定有没有解? 有解时如何求解有解时如何求解?我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 1 若某方程组经同解变换化为若某方程组经同解变换化为 5112332321xxxxxxB121
42、1 01110015显然显然，有唯一解有唯一解.例例2 若某方程组经同解变换化为若某方程组经同解变换化为 51123232321xxxxxxxB1211 01110115即即 60112332321xxxxxx1211 01110006显然显然，无解无解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例3 解方程组 54322521321321321xxxxxxxxx解解B1111125223451111 016101631111 016100021070 01610002无解无解.我吓了一跳，蝎子是多么
43、丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例4 解方程组 283543324222135432154321543215321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解B111031221242331453111182111031001220002440002153111031001220000000000393111031001220000131000000我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1110310010420001
44、31000000110071001042000131000000任意（自由未知量）任意（自由未知量），525453521,314271xxxxxxxxx 为方程组的全部解为方程组的全部解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 增广矩阵经 行 初等变换化为行最简形矩阵，该阶梯形与方程组解的关系：中中非零行的行数非零行的行数 未知量个数未知量个数无穷多解无穷多解B110071001042000131000000B1070 01610002该数不为零，该数不为零，无解无解B1211 01110015中
45、中非零行的行数非零行的行数= =未知量个数未知量个数唯一解唯一解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物：的的增增广广矩矩阵阵为为设设线线性性方方程程一一般般地地，bAX nnmmmnmaaabaaabBA baaab11121121222212|行初等变换行初等变换 000000000000000001111,1,221,2111, 1rrnrrrnrnrddccdccdcc我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有
46、一个活的生物 000000000000000001111,1,221,2111, 1rrnrrrnrnrddccdccdcc；无解无解,0.11 rd：有有解解,0.21 rd ., :12211nndxdxdxnr ：有有唯唯一一解解 ：有有无无穷穷多多组组解解:2nr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1. 非齐次线性方程组非齐次线性方程组:4bxAnnm 元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理 ;,)()1bARAR 无无解解的的充充要要条条件件 ;,)()2nbARAR 有唯一解
47、的充要条件有唯一解的充要条件 .,)()3nbARAR 有有无无穷穷多多解解的的充充要要条条件件有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解. .bAx 无解无解bAx BRAR AxbR AR B5()()定定理理线线性性方方程程组组有有解解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5 5 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.05230320321321321 xxxxxxxxx二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法A111 011003.000321 xxx我吓了一
48、跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例6 6 求解齐次线性方程求解齐次线性方程组组.0793083032054321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxx.227232413212211 cxcxccxccxA327210101200000000我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例7 7 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.05105036302432143214321 xxx
49、xxxxxxxxx 2431221102cxxcxccxA1201 00100000我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 .06nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理2. 2. 齐次方程方程组齐次方程方程组 60= .m nnAxR An定理元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错
50、：表里边有一个活的生物例例8 8 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxxB12311 0540100002, 3)(, 2)( BRAR显显然然，故方程组无解故方程组无解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例9 9 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 052313222321321321xxxxxxxxx 305321xxxB1005 01000013我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放