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1、第三章矩阵的初等变换与线性方第三章矩阵的初等变换与线性方程组程组第1页，本讲稿共91页 本章先引进矩阵的初等变换，建立本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法方程组的方法第2页，本讲稿共91页第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换(Elementary Operations of Matrix)一、消元法解线性
2、方程组一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 三、小结三、小结 第3页，本讲稿共91页引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第4页，本讲稿共91页解解第5页，本讲稿共91页用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第6页，本讲稿共91页于是解得于是解得（2）第7页，本讲稿共91页小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换种变换（1）交换方程次序；）交
3、换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）第8页，本讲稿共91页3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换解变换第9页，本讲稿共91页因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算和常数进行运算，未
4、知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程方程组（组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换(augmented matrix)第10页，本讲稿共91页定义定义1二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(Elementary row operations)第11页，本讲稿共91页定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相且变换类型相同同 同理可
5、定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换第12页，本讲稿共91页第13页，本讲稿共91页等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价第14页，本讲稿共91页用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：第15页，本讲稿共91页第16页，本讲稿共91页第17页，本讲稿共91页第18页，本讲稿共91页特点：特点：（1）、可划出一）、可划出一条
6、阶梯线，线的下条阶梯线，线的下方全为零；方全为零；（2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元个元素为非零元，即非零行的第一个非零元(row echelon form)第19页，本讲稿共91页注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形(Row echelon
7、form and reduced row echelon form)(reduced row echelon form)第20页，本讲稿共91页例如，例如，第21页，本讲稿共91页特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类是这个等价类中最简单的矩阵中最简单的矩阵.第22页，本讲稿共91页行变换行变换第23页，本讲稿共91页定理定理1 设设 与与 为为 矩阵，那么矩阵，那么（1）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使使（2）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在
8、阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使使（3）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使第24页，本讲稿共91页推论：方阵可逆的充分必要条件是推论：方阵可逆的充分必要条件是 ，即，即并可验证并可验证1-=AXEAX第25页，本讲稿共91页利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：第26页，本讲稿共91页 解解例例第27页，本讲稿共91页第28页，本讲稿共91页即即初等行变换初等行变换第29页，本讲稿共91页例例解解第30页，本讲稿共91页第31页，本讲稿共91页第32页，本讲稿共91页例例3 3 求解矩阵方程求解矩阵方程，其中，其中解：解：第33
9、页，本讲稿共91页例例4 4 设设 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，求求 ，并求一个可逆矩阵，并求一个可逆矩阵 ，使，使第34页，本讲稿共91页三、小结三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换第35页，本讲稿共91页4.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:第36页，本讲稿共91页第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩(Rank of a matrix)一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 三、小
10、结三、小结 第37页，本讲稿共91页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩第38页，本讲稿共91页简单结论简单结论:1、第39页，本讲稿共91页(nonsingular matrix)(singular matrix)4、2、3、第40页，本讲稿共91页例例1解解第41页，本讲稿共91页例例2解解第42页，本讲稿共91页例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，第43页，本讲稿共91页另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单此方法简单！第44页，本讲稿共91页问题：问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法推论
11、推论 若可逆矩阵若可逆矩阵 使使 则则 第45页，本讲稿共91页初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解第46页，本讲稿共91页第47页，本讲稿共91页第48页，本讲稿共91页第49页，本讲稿共91页由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知第50页，本讲稿共91页第51页，本讲稿共91页则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.第52页，本讲稿共91页例例5 5解解分析：分析：第
12、53页，本讲稿共91页第54页，本讲稿共91页第55页，本讲稿共91页例例6 设设 已知已知 ，求，求 与与 的值。的值。第56页，本讲稿共91页矩阵秩的的性质：矩阵秩的的性质：1、2、第57页，本讲稿共91页证明：证明：例例7 设设A为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)第58页，本讲稿共91页例例8 证明：若证明：若 且且 ，则，则 第59页，本讲稿共91页四、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯
13、形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);第60页，本讲稿共91页思考题思考题第61页，本讲稿共91页第三节第三节 线性方程组的解线性方程组的解(solution of linear equations)一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法 三、小结、思考题三、小结、思考题 第62页，本讲稿共91页一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件问题：问题：(coefficient matrix)(augmented matrix)（
14、3）线性方程组（线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的，）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容。如果无解，就称它不相容。第63页，本讲稿共91页证明：证明：只需证条件的充分性即可。只需证条件的充分性即可。第64页，本讲稿共91页故方程有惟一解。故方程有惟一解。第65页，本讲稿共91页第66页，本讲稿共91页（*）解（解（*）称为线性方程组（）称为线性方程组（3）的通解。）的通解。由于参数由于参数可取任意值，故方程组（可取任意值，故方程组（3）有无限）有无限多个解。多个解。第67页，本讲稿共91页定理定理4 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充有非零解的充分必要条
15、件是分必要条件是R(A)n.定理定理5 线性方程组线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b).定理定理6 矩阵方程矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).定理定理7 设设AB=C，则则 第68页，本讲稿共91页小结小结有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判
16、断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；第69页，本讲稿共91页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法第70页，本讲稿共91页即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组第71页，本讲稿共91页由此即得由此即得第72页，本讲稿共91页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解第73页，本讲稿共91页例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行
17、初等变换进行初等变换第74页，本讲稿共91页故方程组有解，且有故方程组有解，且有第75页，本讲稿共91页所以方程组的通解为所以方程组的通解为第76页，本讲稿共91页例例 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为第77页，本讲稿共91页第78页，本讲稿共91页由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：第79页，本讲稿共91页例例 设有线性方程组设有线性方程组解解第80页，本讲稿共91页第81页，本讲稿共91页其通解为其通解为第82页，本讲稿共91页这时又分两种情形：这时又分两种情形：第83页，本讲稿共91页第84页，本讲稿共91页()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结第85页，本讲稿共91页思考题思考题第86页，本讲稿共91页思考题解答思考题解答解解第87页，本讲稿共91页第88页，本讲稿共91页第89页，本讲稿共91页故原方程组的通解为故原方程组的通解为第90页，本讲稿共91页作作 业业P78：习题三习题三 1(1)(3),4P78：习题三习题三 10,12 P78：习题三习题三 13(1)(3),14(1)(3),18 第91页，本讲稿共91页