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1、云南省玉溪一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A1，2，则满足AB1，2，3的集合B的个数是A. 1 B. 3 C. 4 D. 82.若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为A. 2 B. 6 C. 4 D. 63.下列命题中是假命题的是A.x(0，)，xsinx B. x0R，sinx0cosx02C.xR，3x0 D. x0R，lgx004.函数f(x)cosx在0，)内A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点
2、D.有无穷多个零点5.已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5A. 35 B. 33 C. 31 D. 296.如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是A. B. C. D. 7.函数ysin(x)（0且|）在区间，上单调递减，且函数值从1减小到1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为A. B. C. D. 8.设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为A. 1 B. C. D. 9.如图是一
3、个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A. 8 B. 6 C. 4 D. 210.已知椭圆C1：1（ab0）与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则A. a2 B. a213 C. b2 D. b2211.已知函数f(x)exx.对于曲线yf(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形；ABC可能是直角三角形；ABC可能是等腰三角形；ABC不可能是等腰三角形.其中，正确的判断是A. B. C. D. 12.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2
4、时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；f()f(x)；f(1x)1f(x).则f()f()A. B. C. 1 D. 第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.二项式(x3)5的展开式中的常数项为 .14.若以双曲线y21的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是 .15.定义在实数上的函数f(x)的最小值是 .16.设函数f(x)x21，对任意x，)，f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 .三、解答题：本大
5、题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .（）求的值；（）若cosB，b2，求ABC的面积S.18.（本小题满分12分）某地区举行一次数学新课程骨干教师研讨会，共邀请15名使用人教A版或人教B版的教师，数据如下表所示：版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数6342（）从这15名教师中随机选出2名教师，则这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？（）研讨会中随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分
6、）如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，点F在CE上，且BF平面ACE.（）求证：AE平面BCE；（）求二面角BACE的正弦值；（）求点D到平面ACE的距离.20.（本小题满分12分）已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax2.（）求函数f(x)在t，t2（t0）上的最小值；（）若函数yf(x)与yg(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.21.（本小题满分12分）设a0，函数f(x)x2(a3)x2a3ex，g(x)2ax .（）当a1时，求f(x)的最小值；（）假设存在x1，x2(0，)，使得|f(x1)g(x2)|1成立，求a的取值范围.请考生在第22
7、、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的方程是p4，直线l的方程是psin()3，求圆C上的点到直线l的距离的最大值.23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数f(x)|x2a|，aR.（）若不等式f(x)1的解集为x|1x3，求a的值；（）若存在x0R，使f(x0)x03，求a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1. C ； 2. D ； 3. B ； 4. B ； 5. C ； 6. B ； 7. A ； 8. D ； 9. A ； 10. C ； 1
8、1. B ； 12. A . 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.10； 14. (x2)2y2； 15.； 16.(，).三、解答题：本大题共6个小题，共70分.17.（本小题满分12分）解：（）由正弦定理，设k，则，所以，即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得sin(AB)2sin(BC).又ABC，所以sinC2sinA.因此2.（）由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accosB及cosB，b2，得4a24a24a2.解得a1，从而c2.又因为cosB，且0B，所以sinB，因此SacsinB12 .18.（本小题满分12分）解
9、：（）从15名教师中随机选出2名共有种选法，所以这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是 .（）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.则P(0)；P(1)；P(2) .故的分布列为012P所以的数学期望E012 .19.（本小题满分12分）解：（） BF平面AEC， BFAE， 二面角DABE为直二面角， 平面ABCD平面ABE，又BCAB， BC平面ABE， BCAE，又BFBCB， AE平面BCE.（）连接BD交AC于点G，连接FG， 四边形ABCD为正方形， BDAC， BF平面ACE， BFAC，又BDBFB， AC平面BFG. FGAC，FGB为二面角BACE的平面角，由（）可知，
10、AE平面BCE， AEEB，又AEEB，AB2， AEBE，在直角三角形BCE中，CE，BF，在正方形ABCD中，BG，在直角三角形BFG中，sinFGB .即二面角BACE的正弦值为 .（）由（）可知，在正方形ABCD中，BGDG，点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，而BF平面ACE，则线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为点D到平面ACE的距离.故点D到平面ACE的距离为 .20.（本小题满分12分）解：（）令f(x)lnx10得x， 当0t时，函数f(x)在(t，)上单调递减，在(，t2)上单调递增，此时函数f(x)在区间t，t2上的最小值为f()； 当t时，函数f
11、(x)在t，t2上单调递增，此时函数f(x)在区间t，t2上的最小值为f(t)tlnt.（）由题意得，f(x)g(x)xlnxx2ax20在(0，)上有且仅有一个根，即alnxx在(0，)上有且仅有一个根，令h(x)lnxx，则h(x)1(x2)(x1)，易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以ah(x)minh(1)3.21.（本小题满分12分）解：（）f(x)x2(a1)xaex(xa)(x1)ex， a1， 当x(，a)时，f(x)递增，当x(a，1)时，f(x)递减，当x(1，)时，f(x)递增. 函数f(x)的极大值点为x1a，极小值点为x21，而f(1)(1a
12、)e0，f(a)0，令h(x)x2(a3)x2a3，则其图象的对称轴为xa，h(a)a30， 当xa时，h(x)x2(a3)x2a30， f(x)0.当xa时，f(x)的最小值为f(1)(1a)e0. f(x)的最小值是(1a)e.（）由（）知，当a1时，f(x)在(0，)上的值域是(1a)e，)，当0a1时，f(x)在(0，)上的值域是(0，).而g(x)2ax3a2a1，当且仅当x1时，等号成立，故g(x)在(0，)上的值域为(，a1， 当a1时，令(1a)e(a1)1，并解得a，当0a1时，令0(a1)1，无解.因此，a的取值范围是(，).22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程解：以极点为坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系，易得圆C的直角坐标方程是x2y216，直线l的直角坐标方程是yx60，圆心C(0，0)到直线l的距离d3， 圆C上的点到直线l的距离的最大值为347.23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲解：（）由题意可得|x2a|1可化为2a1x2a1，即，解得a1.（）令g(x)f(x)x|x2a|x，所以函数g(x)f(x)x的最小值为2a，根据题意可得2a3，即a，所以a的取值范围为(，).