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1、14 三月 20231本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.第1页/共28页14 三月 20232一、一个方程的情形定理1 设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数第2页/共28页14 三月 20233两边对 x 求导在的某邻域内则第3页/共28页14 三月 20234在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数并求例1 验证方程（补充题）解:令连
2、续,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且第4页/共28页14 三月 20235第5页/共28页14 三月 20236两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时 利用隐函数求导（自行练习课本 例1）导数的另一求法第6页/共28页14 三月 20237若函数 的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确定理2第7页/共28页14 三月 20238两边对 x 求偏导同样可得则第8页/共28页14 三月 20239解法1 利用隐函数求导再对 x
3、 求导例2 设（补充题）第9页/共28页14 三月 202310设则两边对 x 求偏导（自行练习课本 例2）解法2 利用公式第10页/共28页14 三月 202311二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即第11页/共28页14 三月 202312的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理3第12页/共28页14 三月 202313定理证明略.仅推导偏导数公式如下：第13页/共28页14
4、三月 202314有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组二元线性代数方程组解的公式在点P 的某邻域内故得系数行列式第14页/共28页14 三月 202315同样可得第15页/共28页14 三月 202316第16页/共28页14 三月 202317第17页/共28页14 三月 202318解：第18页/共28页14 三月 202319作业习 题 7-5 P94 3;4;11(3)第19页/共28页14 三月 202320内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.代公式思考练习1.设求第20页/共28页14 三月 202321 解法1:第21页/共28页14 三月 202322由d y,d z 的系数即可得解法2：利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第22页/共28页14 三月 202323分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,2.设解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研)解得因此第23页/共28页14 三月 202324是由方程和所确定的函数,求解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研)3.设第24页/共28页14 三月 202325对各方程两边分别求微分:化简得消去可得解法2 微分法.第25页/共28页14 三月 202328感谢您的观看！第28页/共28页