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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法 第七章第七章(Derivation of Implicit Function)一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、小结与思考练习三、小结与思考练习10/28/20221返回返回上页上页下页下页目录目录本节讨论本节讨论:1)方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数.例如例如,方程方程当当 C 0 时时,不能确定隐函数不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题.10/28/202
2、22返回返回上页上页下页下页目录目录一、一个方程的情形一、一个方程的情形定理定理1 1 设函数设函数则方程则方程单值连续函数单值连续函数 y=f(x),并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下：仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域某邻域内内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数10/28/20223返回返回上页上页下页下页目录目录两边对两边对 x 求导求导在在的某邻域内的某邻域内则则10/28/20224返回返回上页上页下页下页目录目录在点在点(0,0)某
3、邻某邻域域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数并求并求例例1 验证方程验证方程（补充题）（补充题）解解:令令连续连续,由由 定理定理1 可知可知,导的隐函数导的隐函数 则则在在 x=0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且10/28/20225返回返回上页上页下页下页目录目录10/28/20226返回返回上页上页下页下页目录目录两边对两边对 x 求导求导两边再对两边再对 x 求导求导令令 x=0,注意此时注意此时 利用隐函数求导利用隐函数求导（自行练习课本（自行练习课本 例例1）导数的另一求法导数的另一求法10/28/20227返回返回上页上页下页下页目录目录若函数
4、若函数 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略定理证明从略,仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确定理定理210/28/20228返回返回上页上页下页下页目录目录两边对两边对 x 求偏导求偏导同样可得同样可得则则10/28/20229返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导再对再对 x 求导求导例例2 设设（补充题）（补充题）10/28/202210返回返回上页上页下页
5、下页目录目录设设则则两边对两边对 x 求偏导求偏导（自行练习课本（自行练习课本 例例2）解法解法2 利用公式利用公式10/28/202211返回返回上页上页下页下页目录目录二、方程组的情形二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式称为称为F、G 的的雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即即10/28/202212返回返回上页上页下页下页目录目录的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数则方程组则方程组
6、的的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式且有偏导数公式:在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件确定一组满足条件满足满足:导数；导数；定理定理3 310/28/202213返回返回上页上页下页下页目录目录定理证明略定理证明略.仅推导偏导仅推导偏导数公式如下：数公式如下：10/28/202214返回返回上页上页下页下页目录目录有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得设方程组设方程组二元线性代二元线性代数方程组解数方程组解的公式的公式在点在点P 的某邻域内的某邻域内故得故得系数行列式系数行列式10/28/202215返回返回上页上页下页下页目录目录同样可得同样可
7、得10/28/202216返回返回上页上页下页下页目录目录10/28/202217返回返回上页上页下页下页目录目录10/28/202218返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：10/28/202219返回返回上页上页下页下页目录目录作业作业习习 题题 7-5 P94 3;4;11(3)10/28/202220返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.隐函数隐函数(组组)存在定理存在定理2.隐函数隐函数(组组)求导方求导方法法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.代公式代公式思考练习思考练习1.设设求求10/28/202221返回返回上页上
8、页下页下页目录目录 解法解法1:10/28/202222返回返回上页上页下页下页目录目录由由d y,d z 的系数即可得的系数即可得解法解法2：利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.10/28/202223返回返回上页上页下页下页目录目录分别由下列两式确定分别由下列两式确定:又函数又函数有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,2.设设解解:两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导,得得(2001考研考研)解得解得因此因此10/28/202224返回返回上页上页下页下页目录目录是由方程是由方程和和所确定的函数所确定的函数,求求解法解法1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导,得得(99考研考研)3.设设10/28/202225返回返回上页上页下页下页目录目录对各方程两边分别求微分对各方程两边分别求微分:化简得化简得消去消去可得可得解法解法2 微分法微分法.10/28/202226