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1、会计学1工学高等数学工学高等数学回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo第1页/共137页面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得求和，得A的近似值的近似值第2页/共137页ab xyo（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值提示提示面面积积元元素素第3页/共137页第4页/共137页元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：第5页/共137页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引
2、力和平均值等第6页/共137页元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小结二、小结第7页/共137页思考题思考题微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？第8页/共137页思考题解答思考题解答微元法的实质仍是微元法的实质仍是“和式和式”的极限的极限.第9页/共137页第10页/共137页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形第11页/共137页解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量第12页/共137页解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量第1
3、3页/共137页于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗吗？第14页/共137页解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量第15页/共137页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积第16页/共137页解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积第17页/共137页面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积二、极坐标系情形二、极坐标系情形第18页/共137页解解由对称性知总
4、面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积第19页/共137页解解利用对称性知利用对称性知第20页/共137页求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结三、小结第21页/共137页思考题思考题第22页/共137页思考题解答思考题解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导第23页/共137页积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为第24页/共137页练练 习习 题题第25页/共137页第26页/共137页第27
5、页/共137页练习题答案练习题答案第28页/共137页第29页/共137页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积第30页/共137页xyo旋转体的体积为旋转体的体积为第31页/共137页解解直线直线 方程方程为为第32页/共137页第33页/共137页解解第34页/共137页第35页/共137页解解第36页/共137页第37页/共137页补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中第38页/共137页解解体积元素
6、为体积元素为第39页/共137页二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积第40页/共137页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第41页/共137页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第42页/共137页旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体
7、的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结三、小结第43页/共137页思考题思考题第44页/共137页思考题解答思考题解答交点交点立体体积立体体积第45页/共137页练练 习习 题题第46页/共137页第47页/共137页第48页/共137页练习题答案练习题答案第49页/共137页第50页/共137页一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念第51页/共137页弧长元素弧长元素弧长弧长二、直角坐标情形二、直角坐标情形第52页/共137页解解所求弧长为所求弧长为第53页/共137页解解第54页/共137页
8、曲线弧为曲线弧为弧长弧长三、参数方程情形三、参数方程情形第55页/共137页解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称根据对称性性第一象限部分的弧第一象限部分的弧第一象限部分的弧第一象限部分的弧长长长长第56页/共137页证证第57页/共137页根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.第58页/共137页曲线弧为曲线弧为弧长弧长四、极坐标情形四、极坐标情形第59页/共137页解解第60页/共137页解解第61页/共137页平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式
9、求弧长的公式五、小结五、小结第62页/共137页思考题思考题第63页/共137页思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长第64页/共137页练练 习习 题题第65页/共137页第66页/共137页练习题答案练习题答案第67页/共137页第68页/共137页一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功第69页/共137页第70页/共137页解解功元素功元素所求功为所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处第71页/共137页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如
10、图建立坐标系如图第72页/共137页这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)第73页/共137页解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作厘米，若每次锤击所作的功相等，问第的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘厘米米次锤击所作的总
11、功为次锤击所作的总功为第74页/共137页依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为第75页/共137页二、水压力二、水压力第76页/共137页解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图第77页/共137页第78页/共137页解解 建立坐标系如图建立坐标系如图面积微元面积微元第79页/共137页三、引力三、引力第80页/共137页解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为第81页/共137页小段与质点的距离小段与质点的距离为为引力引力水平方向的分力
12、元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为第82页/共137页利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结第83页/共137页思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？第84页/共137页思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球
13、面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关第85页/共137页练练 习习 题题第86页/共137页第87页/共137页第88页/共137页练习题答案练习题答案第89页/共137页第90页/共137页实例：实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌值来描述这个班的成绩的概貌.算术平均值公式算术平均值
14、公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.一、函数的平均值一、函数的平均值第91页/共137页（1）分割：）分割：每个小区间的长度每个小区间的长度设各分点处的函数值为设各分点处的函数值为函数函数 在区间在区间 上的平均值近似上的平均值近似为为每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零.（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：第92页/共137页函数函数 在区间在区间 上的上的平均值平均值为为几何平均
15、值公式几何平均值公式区间长度区间长度第93页/共137页解解设电阻为，设电阻为，则电路中的电压为则电路中的电压为功率功率一个周期区间一个周期区间平均功率平均功率第94页/共137页结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一第95页/共137页 通常交流电器上标明的功率就是平均通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器上标明的电流值都是一种功率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为特定的平均值，习惯上称为有效值有效值二、均方根二、均方根第96页/共137页按定义有按定义有有
16、效值计算公式的推导有效值计算公式的推导即即第97页/共137页 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 第98页/共137页函数的平均值函数的平均值函数的有效值函数的有效值（理解平均功率、电流的有效值等概念）（理解平均功率、电流的有效值等概念）三、小结三、小结第99页/共137页思考题思考题第100页/共137页思考题解答思考题解答棒的平均密度为密度函数在棒的平均密度为密度函数在 上的平均值上的平均值.第101页/共137页练练 习习 题题第102页/共137页第103页/共137页练习题答案练习题答案第104页/共137页第105页/共137页微微
17、元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容第106页/共137页1 1、理论依据、理论依据第107页/共137页2 2、名称释译、名称释译第108页/共137页3 3、所求量的特点、所求量的特点第109页/共137页4 4、解题步骤、解题步骤第110页/共137页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形第111页/共137页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参
18、数方程所表示的函数参数方程所表示的函数第112页/共137页极坐标情形极坐标情形第113页/共137页(2)体积体积xyo第114页/共137页平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积第115页/共137页(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为第116页/共137页C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo第117页/共137页(5)细棒的质量细棒的质量(6)转动惯量转动惯量第118页/共137页(7)变力所作的功变力所作的功(8)水压力水压力第119页/共137页(9)引力引力(10)函数的平均值函数
19、的平均值(11)均方根均方根第120页/共137页二、典型例题二、典型例题例例1 1第121页/共137页解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有第122页/共137页由对称性由对称性,有有第123页/共137页例例2 2解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有第124页/共137页第125页/共137页故所求速度为故所求速度为第126页/共137页故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为第127页/共137页例例3 3解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为第128页/共137页第129页/共137页测测 验验 题题第130页/共137页第131页/共137页第132页/共137页第133页/共137页第134页/共137页第135页/共137页测验题答案测验题答案第136页/共137页感谢您的观看！感谢您的观看！第137页/共137页