《医学高等数学.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《医学高等数学.pptx（92页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.1 导数的概念2.2 导数的运算2.3 微分2.4 导数的应用第二章第二章机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数微分学一元函数微分学 第二章 第1页/共92页2.1.1 引例2.1.2 导数的定义2.1.3 导数的几何意义2.1.4 函数的连续性与可导性的关系2.12.1机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念导数的概念 第二章 第2页/共92页2.1.1 引例引例1.变速直线运动的速度描述物体下落位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动t0t 改变量之比的极 限称 为导 数，路程路程对对时间时间的的导数导数就是就是速度速度。第3页/共92页两个问题的
2、两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共92页2.1.2 导数的定导数的定义义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共92页否则，就说在点处不可导或说 在点的导数不存在.由导数定义可知，导数是函数 对自变量的变化率.导数的等价定义：右可导与左可导
3、：第6页/共92页若函数在开区间 内处处可导,则称它在 上可导.若函数与则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.且都存在，对应于内的每一点都有一个确定的导数值，于是和其对应点的导数值之间便构成了一个新的函数，称此函数为的记为导函数，简称导数，第7页/共92页求导的步骤2.算比值3.取极限1.求增量对于内的每一点 有而在处的导数即为在处的函数值，即第8页/共92页例1.求函数在处的导数解：所以，第9页/共92页例2.求函数为常数)解：所以，的导数.第10页/共92页例3.处的导数.求函数解：第11页/共92页导数的几何意义导数的几何意义曲线割线 M N 的斜率导数的几何意义:导数是曲线上过点x0
4、处切线的斜率第12页/共92页例4 求过点(0，-1)且与相切的直线方程.解：由例1知设切点为则该直线的斜率为又知从而有解得从而知过点(0，-1)可作两条直线与相切，其斜率分别为二直线方程分别为第13页/共92页2.1.4 函数的连续性与可导性的关系函数的连续性与可导性的关系注意:函数在点 x 连续不一定可导.反例:在 x=0 处连续,但不可导.第14页/共92页2.2.1 几个基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则 2.2.3 复合函数和隐函数求导法则2.2.4 对数求导法 2.22.2机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的运算导数的运算 第二章 2.2.5 反函数求导法 2.
5、2.6 高阶导数 第15页/共92页2.22.2导数的运导数的运算算 2.2.12.2.1几个基本初等函数的导数 二、幂函数的导数二、幂函数的导数一、常数的导数常数的导数是0 0三、正弦函数与余弦函数的导数四、对数函数的导数四、对数函数的导数第16页/共92页2.2.2 导数的四则运算法导数的四则运算法则则 法则的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且下面对（3）加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共92页(3)证:设则有故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共92页推论1:(C为常数)推论2:例5.已知解：
6、第19页/共92页例6.已知解：例7.解：例8.解：第20页/共92页在点 x 处也可导,且2.2.3复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则定理1.一、复合函数求导法设函数 在 处有导数 ,函数 在 的对应点 处可导,则或 复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数在 处可导,在 的对应点 处可导,而 在 的对应点 处也可导,则 在 处也可导,且第21页/共92页例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知求解：令第22页/共92页例12.已知,求例13.设为可导函数,且解：解：设注意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层。第23页/
7、共92页y与x的函数关系隐含在 中，这种形式的例如如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导函数称为隐函数。等等。法则求出y对x的导数。例14.y是由 所确定的关于x的函数，求y解：设两边同时对x求导，则即最后得二、隐函数求导法第24页/共92页例15.求函数y是由 所确定的函数的导数 所确定的x 的函数，例16.已知 y是由解：等式两边同时对x求导，得解得试求解：方程两边同时对x求导，得从而又由函数方程知所以当时，故第25页/共92页2.2.4对数求导法对数求导法 对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数例17.已知下列各函数，分别求其导数y为任意实数)解:(1)两边同时取对数，得两边同时对
8、x求导，得因而第26页/共92页(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实数，有(3)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得所以即特别地，当时，第27页/共92页2.2.5 反函数求导法在处可导，且则 在对应点 处也可导，证略定理2 对于函数它在某个开区间严格单调、连续，它的反函数且第28页/共92页例18.已知 解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有即类似可得第29页/共92页例19.已知 解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应的区间 内,有即类似可得第30页/共92页2.2.6 高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为y 的高阶导数。如果
9、的导数也存在，则称其为的二阶导数，记为三阶导数或三阶以上导数可类似定义。例20.已知 解：第31页/共92页例21.y是由 所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导，得所以对上述等式两边再对x求导，得整理并将 代入得第32页/共92页2.3.1 微分的定义2.3.2 微分的几何意义 2.3.3 微分的计算2.32.3机动 目录 上页 下页 返回 结束 微微 分分 第二章 第33页/共92页2.3 微 分2.3.1微分的定义定义2.设函数 在x 的某个临域内有定义，可以表示为其中 A是不依赖于 的x 的函数，是当 时比高阶的无穷小，则称函数 在点 x处可微，并称 为函数 在x 处的微分，记作如果
10、 在点 x处可微，在 两端同除以，得如果函数的增量即两边同时求极限得即有第34页/共92页2.3.22.3.2微分的几何意微分的几何意义义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共92页2.3.2微分的四则计算第36页/共92页2.4.1 拉格朗日中值定理2.4.2 洛必达法则2.4.3 函数增减性和函数的极值2.42.4机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的应用导数的应用 第二章 2.4.4 函数凹凸性及拐点第37页/共92页2.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大
11、利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了分析力学一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。第38页/共92页2.4.1 拉格朗日中值定理定理3
12、如果函数 在闭区间 a,b上连续，在 使的 开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点第39页/共92页推论3 如果函数 在区间（a,b）上每一点的，则函数（a,b）上恒等于一个常数。与点的导数都相等，则 与上仅相差一个常数。导数都为零，即在区间推论4 如果两个函数在（a,b）上每一在区间（a,b）例28 证明对一切都成立。证：设区间应用定理则等号成立，因而对于一切 命题成立第40页/共92页例28 试证证：设则由推论3知y在(-1,1)内恒为常数，即又由于y在-1,1上连续，因而上式在-1,1内成立，令即得从而结论成立。第41页/共92页2.4.2洛必达法则洛必达法则 洛必达
13、是法国数学家洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎；年生于巴黎；1704年年2月月2日卒于巴黎日卒于巴黎.洛必达出洛必达出生于法国贵族家庭，青年时生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事近视而自行告退，转向从事学术研究学术研究.15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士是约伯努利的高徒，法国科学院院士.第42页/共92页函数之商的极限导数之商的极限 转化(或 型)本节研究:洛必达法则2.4.2洛必达法则洛
14、必达法则第43页/共92页2.4.2洛必达法则洛必达法则第44页/共92页2.4.2洛必达法则洛必达法则第45页/共92页洛毕达法则可以多次使用直到不再是不洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止定式时为止第46页/共92页第47页/共92页第48页/共92页例题例题30 求求解解:原试原试注意:不是不定式不能用洛必达法则!第49页/共92页例题例题31求求解解:第50页/共92页例题例题32求求解解:思考:如果n不为自然数,此题如何求极限第51页/共92页(2)n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k,使当 x 1 时,退出第52页/共92页其他不定式:解决方法:通分转
15、化取倒数转化取对数转化第53页/共92页例题例题33 求求将上试通分后即可化为将上试通分后即可化为 型型第54页/共92页例34.求解:原式第55页/共92页例题例题35求求第56页/共92页例题例题43求求第57页/共92页 注意：在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则第58页/共92页2.4.3函数增减性和函数的极值一、函数单调性的判定法二二、函数的极值及其判定方法第59页/共92页一、函数单调性的判定法若定理 1.设函数则 在 I 内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕第60页
16、/共92页注意：定理6只是判断函数增减性的充分条件，而非必要条件第61页/共92页例题例题38 试证当试证当证：设证：设第62页/共92页例题例题38 试证当试证当证：证：证毕第63页/共92页例39.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为第64页/共92页说明:例40,1)单调区间的分界点除单调区间的分界点除 外外,也可也可是导数不存在的点是导数不存在的点.驻点驻点第65页/共92页习题确定函数 的单调性解:令y=0得x=-1,2x-1(-1,2)2y+0-0+y增函数增函数减函数减函数增函数增函数第66页/共92页二、二、函数的极值及其判定方法函数的极值及其判定方法定义
17、3:在其中当时,(1)则称 为 的极大点,称 为函数的极大值;(2)则称 为 的极小点,称 为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.第67页/共92页注意:为极大点为极小点不是极值点1)函数的极值是函数的局部性质.例如 例39为极大点,是极大值 是极小值 为极小点,第68页/共92页定理定理7（必要条件）如果函数（必要条件）如果函数 在点在点 可导，且取极值，则可导，且取极值，则 使导数为零的点叫做函数的使导数为零的点叫做函数的驻点，可到函数函数的极值必定是它的驻点，可到函数函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。反之则不一定。判断驻点是否为极值点要判断该点判断驻点是否为极值点要判断该点左
18、右的倒数符号是否发生变化，此外到左右的倒数符号是否发生变化，此外到数不存在的点也可能是极值点。数不存在的点也可能是极值点。第69页/共92页定理 8(极值第一判别法)(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(3)若若不变号，则函数不变号，则函数 在在 处无极值处无极值第70页/共92页由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下：1、求导数2、找出驻点和导数不存在的点3、用定理8判定这些点是否为极值点第71页/共92页例题例题41 求函数求函数 的极值的极值解：x-10.21y+0+0-0+y增增无无增增极大极大减减极小极小增增由表可知极值图象第72页/共92页返回第73页/共92页3、若、若，则
19、不能确定，则不能确定 是否为是否为定理定理9（第二充分条件）设（第二充分条件）设 在点在点 处具有二阶导数，且处具有二阶导数，且，则：，则：1、若、若，则，则 是是 的极大值的极大值2、若、若，则，则 是是的极小值的极小值的极值，仍需判断一阶导数在的极值，仍需判断一阶导数在左右的符号变化情况，然后再得出结论。左右的符号变化情况，然后再得出结论。第74页/共92页例题例题42 应用第二充分条件求函数应用第二充分条件求函数 的极值的极值解解:第75页/共92页例43 求 的极值解解:则则因此因此,由定理由定理8 8判定判定,函数在函数在x=0 x=0时有时有极小值极小值0,0,在在x=1,-1x=
20、1,-1时由定理时由定理8 8判定判定第76页/共92页习题 求函数 的极值解:令y=0,解得xy-0+y极小值极小值第77页/共92页最大值与最小值定义定义4 设设 在闭区间在闭区间 a,b上连续，上连续，与与 比较，其数值最大与最比较，其数值最大与最在闭区间在闭区间 a,b上的最大与最小值。上的最大与最小值。将区间内所有极值和端点处的函数值将区间内所有极值和端点处的函数值小者分别称为函数小者分别称为函数第78页/共92页例例45 45 在给定容积在给定容积V V的条件下，做一个有盖的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省料最省解解:
21、设底面半径为设底面半径为r,r,高高h,h,表面积为表面积为S,S,则则求求S S的最大值得的最大值得第79页/共92页习题 求函数 的最大和最小值解:第80页/共92页2.4.4函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐点三、曲线的渐近线第81页/共92页定义定义5 5 如果一段曲线位于它上面人如果一段曲线位于它上面人意一点的切线上方，我们就称这段意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的称这段曲线是向上凸的一、函数曲线的凹凸性图形返回返回第82页/共92页
22、如果函数如果函数定理定理1010在区间在区间(a,b)(a,b)内具有二阶导数内具有二阶导数则在该区间上，当则在该区间上，当时，曲线向上凸，称时，曲线向上凸，称 为凸函数为凸函数时，曲线向上凹，并称时，曲线向上凹，并称 为凹函数；当为凹函数；当第83页/共92页二、函数的拐点如果函数如果函数 在某点的凹凸性发生了在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。变化，那么该点就称为曲线的拐点。需要注意的是：拐点可能是二阶导数为需要注意的是：拐点可能是二阶导数为0的点，也可能是二阶导数不存在的点；的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之二阶导数为反之二阶导数为0或者二阶导数不存在的或者二阶导数不
23、存在的点却不一定是拐点。点却不一定是拐点。返回第84页/共92页判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：2、令令求出其在定义域的根，同时找到在函数求出其在定义域的根，同时找到在函数定义域内部存在的二阶导数定义域内部存在的二阶导数；1 1、求、求3、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如判断判断在在 左右的符号，如果变号，则左右的符号，如果变号，则是拐点，否则不是拐点；使是拐点，否则不是拐点；使的那段区间为上凹区间，使的那段区间为上凹区间，使的那段区间为上凸区间。的那段区间为上凸区间。第85页/共92页例55 55 讨论
24、曲线的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点解解:在定义域内无零点在定义域内无零点x1y-不存在不存在+y上凸上凸拐点拐点上凹上凹第86页/共92页例56 讨论函数 的单调性极值及拐点x-11y-0+0-y减函数减函数极小极小值值增函数增函数极大极大值值减函数减函数解:令y=0,得x=-1,1,列表如下第87页/共92页例56 讨论函数 的单调性极值及拐点解:x0y”-0+0-0+y上凸上凸拐拐点点上凹上凹拐拐点点上凸上凸拐拐点点上凹上凹第88页/共92页三、曲线的渐近线定义定义6 如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线称为该曲线的渐近线 则曲线则曲线 有水平渐近线有水平渐近线如果如果，则曲线，则曲线有垂直渐近线有垂直渐近线如果返回第89页/共92页例例 讨论讨论 的渐近线的渐近线解解:知知x=0 x=0是垂直渐近线是垂直渐近线所以所以,y=x+3,y=x+3是一条斜渐近线是一条斜渐近线第90页/共92页驻点：使导数为零的点叫做驻点驻点：使导数为零的点叫做驻点返回返回第91页/共92页感谢您的观看。第92页/共92页