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1、一、函数的概念 1 1常量与变量常量与变量 注意注意 一个量究竟是常量还是变量一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的不是绝对的,要要根据具体过程和条件来确定根据具体过程和条件来确定.而在过程中可取不同数值的量称为而在过程中可取不同数值的量称为变量变量.在某过程中始终保持同一数值的量称为常量,例如：人的身高例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是在研究少儿发育成长的过程中是常量常量；而在研究成人的健康状况时通常是；而在研究成人的健康状况时通常是变量变量第1页/共79页函数的概念函数的概念因变量自变量是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义域而因变量的
2、所有对应值的集合则称为函数的值域域而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域.定义定义1-1 设和是同一变化过程中的两个变量，设和是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量如果对于变量 的每一允许的取值，按照一定的规律，的每一允许的取值，按照一定的规律，变量变量 总有一个确定值与之对应，则称变量总有一个确定值与之对应，则称变量 是变量是变量 的函数变量的函数变量 称为自变量，变量称为自变量，变量 称为因变量称为因变量.记为记为注意注意1 在实际问题中在实际问题中,定义域是由实际问题决定的定义域是由实际问题决定的.第2页/共79页注意注意2 2 函数的两要素为：函数的两要素为：定义域定义域与与对应
3、规律对应规律 注意注意3 3 函数的表示法有函数的表示法有:公式法、图像法和表格法公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化这三种表述各有特点并可以相互转化 因此因此,两个函数只有当它们的两个函数只有当它们的对应规律对应规律和和定义域定义域都完都完全相同时全相同时,才认为是两个相同的函数才认为是两个相同的函数.例1-1 在出生后 16个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系:公式法第3页/共79页37 例1-2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线,如下图示:例1-3 某地区统计了某年112月中当地流行性出血热的发病率,见下表 (月份)()1234567891011
4、1216.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0ty第4页/共79页（5）三角函数）三角函数（4）对数函数）对数函数（3）指数函数）指数函数（2）幂函数）幂函数（1）常函数）常函数二、初等函数二、初等函数1.基本初等函数基本初等函数（6）反三角函数）反三角函数等等.第5页/共79页变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间变量的传递而构成的变量的传递而构成的 例例1-4 设设求求 关于关于的复合函数
5、的复合函数2.复合函数复合函数 定义定义1-2 设变量设变量 是变量是变量 的函数的函数,变量又是变量变量又是变量的函数,即 如果变量如果变量 的某些值通过变量的某些值通过变量 可以确定变量可以确定变量 的值的值,则称则称 是是 的复合函数的复合函数,记为记为第6页/共79页例1-5 设试求试求解 解解 这里，变量传递顺序是规定好了的，这里，变量传递顺序是规定好了的，是的中是的中间变量，间变量，是是 的中间变量，故依次代入可得的中间变量，故依次代入可得第7页/共79页 可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合
6、函数无量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意义，或者说它们不能复合意义，或者说它们不能复合例如例如，就不能复合因为就不能复合因为的定义域为空集的定义域为空集,即函数即函数无意义无意义.例1-6 将下列复合函数“分解”为简单函数第8页/共79页解解 注意注意 简单函数简单函数是指基本初等函数或由基本初等函是指基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算而得到的函数数经过四则运算而得到的函数.定义定义1-3 由基本初等函数经过有限次的四则运算以由基本初等函数经过有限次的四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初初等函数等函数
7、3.初等函数初等函数第9页/共79页 在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称为分段函数为分段函数例例1-7三、分段函数三、分段函数第10页/共79页这是一个分段函数，如图这是一个分段函数，如图 例例1-8 设某药物的每天设某药物的每天剂量为剂量为y(单位单位:毫克毫克),对于对于16岁以上的成年人用药剂量是一常数岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为设为2mg.而对于而对于16岁以下的未成年人岁以下的未成年人,则每天用药剂量则每天用药剂量y 成比于年龄成比于年龄x,比例常比例常数为数为0.125mg/岁岁,其函数关系为其函数关系为o162第11页
8、/共79页1-1xyo 定义为：当定义为：当 时时，例例1-9 设设当当 时，时，则则第12页/共79页1.有界性有界性四、函数的几种简单性质四、函数的几种简单性质有界有界M-Myxoy=f(x)bay无界无界M-Mxoba第13页/共79页2.单调性单调性xyoabxyoba增增函函数数减减函函数数 设设 、是函数是函数 在定义区间在定义区间 内的任意内的任意两点两点,且且.若若,则称在则称在内是单调递增的内是单调递增的;若若,则称在则称在 内是内是单调递减的单调递减的.第14页/共79页3.奇偶性奇偶性偶函数偶函数yxox-xyxox-x奇函数奇函数 如果对于函数如果对于函数 定义域内的任
9、意点定义域内的任意点 ,恒有恒有,则称则称 是偶函数是偶函数;如果对于函数如果对于函数定义域内的任意点 ,恒有,则称是奇函数.第15页/共79页4.函数的周期性函数的周期性 对于函数对于函数 ,如果存在正的常数如果存在正的常数T,使得使得 恒成立恒成立,则称则称 为周期函数为周期函数,满足这个等式的最小正数满足这个等式的最小正数T,称为函数的周期称为函数的周期.例如例如 都是周期函数都是周期函数,周期为周期为 .第16页/共79页主要内容主要内容.常量变量常量变量 函数的概念函数的概念.基本初等函数基本初等函数 复合函数复合函数 分段函数分段函数 初等函数初等函数.函数的性质：有界性单调性奇偶
10、性周期性函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性第17页/共79页一、极限的概念一、极限的概念二、无穷小量及其性质二、无穷小量及其性质三、极限的四则运算三、极限的四则运算四、两个重要极限四、两个重要极限第二节第二节 极限极限第18页/共79页一、极限的概念一、极限的概念1.函数的极限连续型的变化连续型的变化xy01第19页/共79页通过上面的观察可知通过上面的观察可知 定义定义1-4 当自变量当自变量 的绝对值无限增大时，如果函的绝对值无限增大时，如果函数数 无限趋于某一个常数无限趋于某一个常数A，就称当，就称当 趋于无穷大时，趋于无穷大时，函数函数 以以A为极限为极限.记为记为 或或 注意注意
11、若若 时时,不趋于某一常数不趋于某一常数,则称则称 时时,的极限不存在的极限不存在;若若 ,趋于无穷大趋于无穷大,为方便为方便起见起见,常记为常记为 或或第20页/共79页单侧极限单侧极限 当自变量当自变量 的变化沿的变化沿 轴的正方向无限增大轴的正方向无限增大(或沿或沿 轴的负方向绝对值无限增大轴的负方向绝对值无限增大)时时,函数函数 无限趋近于某一无限趋近于某一个常数个常数A,就称就称A 为函数为函数 单侧极限单侧极限,记为记为 例例1-10 求求 当当 时的单侧极限时的单侧极限解第21页/共79页0242 2、时函数的极限时函数的极限当当 时时,考察函数考察函数当当 时时,函数函数 的变
12、化趋势的变化趋势.第22页/共79页 定义定义1-5 设函数设函数 在点在点 的附近有定义的附近有定义(但在这一但在这一点可以没有定义点可以没有定义),当自变量当自变量 以任意方式无限趋近定点以任意方式无限趋近定点 时时,若函数若函数 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数A,就称当就称当 趋于趋于 时，时，函数函数 以以A为极限为极限,记为记为左极限左极限从左边趋于从左边趋于,记为记为右极限右极限从右边趋于从右边趋于,记为记为注意注意第23页/共79页例例1-11讨论函数讨论函数当当 时的极限时的极限.解解因为左右极限不相等因为左右极限不相等,所以所以时时,的极限不存在的极限不存在.第24页/
13、共79页例例1-12讨论函数讨论函数当当 时的极限时的极限.解解左右极限相等左右极限相等,所以所以第25页/共79页3数列极限数列极限以下给出几个数列的例子以下给出几个数列的例子数列数列 按自然数顺序依次排列的一串数按自然数顺序依次排列的一串数数列中的每一个数称为数列的项,其中 称为数列的第 项,亦称通项,简记为数列也可看作定义在自然数集上的函数数列也可看作定义在自然数集上的函数:第26页/共79页观察数列观察数列 的变化趋势：的变化趋势：0 x1第27页/共79页通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察所以有：所以有：一般地一般地,当当 时时,若若 无限趋于一个常数无限趋于一个常数A,则
14、称当则称当 时时,以以A 为极限为极限,记为记为或或解解例1-13判断极限是否存在？由于由于 ,所以所以 的极限不存在的极限不存在.第28页/共79页4判别极限存在的准则判别极限存在的准则 法则法则1(夹逼法则夹逼法则)若在同一极限过程中若在同一极限过程中,三个函数三个函数 、及及 有如下关系有如下关系:且且则则法则法则2(单调有界法则单调有界法则)单调有界数列一定有极限单调有界数列一定有极限 对数列对数列 而言而言,若有若有 (递减递减)或或 (递增递增),且对一切且对一切 ,有有 ,则则 必有极限必有极限.第29页/共79页例如例如注意：注意：无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不
15、能与很小的数混淆定义定义1-6定义定义1-7二、无穷小量及其性质二、无穷小量及其性质1.无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量第30页/共79页2无穷小定理与性质无穷小定理与性质定理定理1-1 即即:若函数若函数 以为以为A极限极限,则函数则函数 是无穷小是无穷小;反之反之,若若 是无穷小是无穷小,则则 以以A为极限为极限.因此因此,通常将通常将表达为表达为 .性质性质1 1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小.性质性质2 2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.即即：性质性质3 3 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒
16、数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.第31页/共79页例例1-14 求求例例1-15 求求解,由无穷小与无穷大的关系可知由无穷小与无穷大的关系可知解解,由性质由性质1-2可知可知第32页/共79页例1-16 证明证明证明 对任何实数对任何实数 ,有有由夹逼法则由夹逼法则第33页/共79页在自变量的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的在自变量的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的快慢可能会有所不同于是两个无穷小的商是否会有极限，快慢可能会有所不同于是两个无穷小的商是否会有极限，完全取决于两个无穷小趋于零的快慢反过来，两个无穷完全取决于两个无穷
17、小趋于零的快慢反过来，两个无穷小量的商是否有极限，以及有什么样的极限，可以提示两小量的商是否有极限，以及有什么样的极限，可以提示两个无穷小的差异个无穷小的差异例如例如3无穷小量的比较与阶无穷小量的比较与阶第34页/共79页定义定义1-81-8第35页/共79页所以：所以：与与 为同阶无穷小为同阶无穷小解解 因为因为 例例1-17 当当 时时,与与 都是无穷小都是无穷小,试试对它们进行阶的比较对它们进行阶的比较.第36页/共79页证证(1)由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得:三、极限的四则运算三、极限的四则运算只证只证(1)和和(2)定理定理1-2第37页/共79页推论推论1 1即即:常数因
18、子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2第38页/共79页例例1-18 求求解解例例1-19 求求解解解解第39页/共79页例例1-20 求求解解 当当 时时,分子、分母都是无穷小所以先进行分子、分母都是无穷小所以先进行分子有理化来消去分子、分母里的无穷小因子分子有理化来消去分子、分母里的无穷小因子第40页/共79页解解例例1-21 第41页/共79页例例1-22 解解第42页/共79页(1)四、两个重要极限四、两个重要极限C由上图可知由上图可知:第43页/共79页即即综合两者即得综合两者即得第44页/共79页例例1-23 解例例1-24 解第45页/共79页例例1-
19、25 解第46页/共79页(2)先利用单调有界数列必有极限证明先利用单调有界数列必有极限证明第47页/共79页又因为又因为第48页/共79页第49页/共79页第50页/共79页例例1-27 解解解解 令令,当当 时时,注意注意 可作为公式来用可作为公式来用.例例1-26 第51页/共79页例例1-28 解法解法1解法解法2第52页/共79页 .两个重要极限两个重要极限（3）夹逼准则）夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.：主要内容主要内容1（1）函数极限）函数极限（2）数列极限）数列极限2（1）无穷小量与无穷大量）无穷小量与无穷大量 （2）无穷小的性质和定理）无穷小的性质和定理 （3）无穷小阶的
20、比较）无穷小阶的比较3极限的四则运算法则极限的四则运算法则第53页/共79页一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第三节函数的连续性第三节函数的连续性第54页/共79页连续变化的曲线对应的函数为连续函数连续变化的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映0
21、 xy第55页/共79页1.函数的增量函数的增量一、连续函数的概念一、连续函数的概念 设函数设函数 在点在点 附近有定义附近有定义,把把 附近的点附近的点 记为记为 ,则称则称 为自变量由为自变量由 变到变到 的的增量增量.为函数在点为函数在点 的增量的增量.第56页/共79页2 2函数连续性的定义函数连续性的定义 定义定义1-9 设函数设函数 在点在点 及其附近有定义及其附近有定义,如如果果 时时,也有也有 ,即即注意注意故定义中故定义中1-9的极限式等价于的极限式等价于则称函数 在点 处连续,称 为 的连续点.第57页/共79页因此，函数在一点连续的充分必要条件是因此，函数在一点连续的充分
22、必要条件是 例1-29 讨论函数 在 的连续性 解解所以所以 在在 连续连续第58页/共79页单侧连续单侧连续显然显然即：即：第59页/共79页解解 例例1-30 设设 在点在点 处连续处连续,问、应满足什么关系?第60页/共79页连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第61页/共79页例例1-311-31证明证明第62页/共79页3 3函数的间断点函数的间断点 函
23、数的不连续点称为函数的函数的不连续点称为函数的间断点间断点,即满足下列三个即满足下列三个条件之一的点条件之一的点 为函数为函数 的间断点的间断点.第63页/共79页跳跃间断点跳跃间断点例1-32解解第64页/共79页可去间断点可去间断点例1-33在在 的连续性的连续性第65页/共79页解解 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.第66页/共79页如例如例1-33中中,跳跃间断点跳跃间断点与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点第67页/共79页第二类间断点第二类间断点例
24、例1-341-34解解这种情况称为这种情况称为无穷间断点无穷间断点第68页/共79页解解1-1-0.50.5yx例1-35这种情况称为这种情况称为振荡间断点振荡间断点第69页/共79页第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx第70页/共79页二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性(1)一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的.(2)若函数若函数 与与 在点
25、在点 连续连续,则函数则函数 在 连续.(3)若函数若函数 在点在点 处连续处连续,设设 ,而函数而函数 在点在点 处连续处连续,则复合函数则复合函数 在点在点 处连续处连续.由以上可知:初等函数在其定义域内都是连续的.第71页/共79页故对初等函数故对初等函数,求极限就是求这一点的函数值求极限就是求这一点的函数值例1-36由于函数在其连续点由于函数在其连续点 满足满足解解第72页/共79页解解例1-38例1-37解,而函数而函数 在点在点 连续连续,所以所以第73页/共79页三、闭区间上连续函数性质ab 定理定理1-3（最值定理）（最值定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则上连续，则
26、在闭区间在闭区间 上必有最大值和最上必有最大值和最小值小值 推论推论（有界性定理）（有界性定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有界上必有界第74页/共79页abf(a)f(b)定理定理1-4（介值定理）（介值定理）若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则对介于上连续，则对介于 和和 之间的任何数之间的任何数 ，至少存在，至少存在一个一个 ，使得，使得 其几何意义为其几何意义为 连续曲线弧连续曲线弧 与水平直线与水平直线 至少相交于一点至少相交于一点 第75页/共79页 推论推论（根的存在定理）若函数（根的存在定理）若函数 闭区间闭区间 上连续，且上连续，
27、且 与与 异号（即异号（即 )，则至，则至少存在一个少存在一个 ，使得，使得 即为方程即为方程 的根的根注：注：根不一定唯一根不一定唯一ba第76页/共79页例例1-39 证明证明在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.证明证明在在0 1上连续上连续而而由根的存在定理知，存在由根的存在定理知，存在 (0 1),使得使得在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.即即第77页/共79页1函数连续的定义函数连续的定义2间断点间断点类型：类型：第一类第一类第二类第二类可去型可去型跳跃型跳跃型无穷无穷振荡振荡初等函数的连续性初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质主要内容主要内容第78页/共79页感谢您的观看！第79页/共79页