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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分学习目标：1、理解导数与微分概念的意义；2、能熟练计算初等函数的导数与微分。高等数学高等数学高等数学（上）高职高专 ppt 课件导数的概念求导法则和基本求导公式函数的微分隐函数和由参数方程所确定函数的导数 高阶导数主要内容主要内容高等数学（上）高职高专 ppt 课件一、两个实例 1 1变速直线运动的瞬时速度自由落体运动:第一节 导数的概念 第二步：求 第三步：求第一步：求高等数学（上）高职高专 ppt 课件 在曲线上任取不同于在曲线上任取不同于M M0 0点的一点点的一点M M，作割线作割线M M0 0M.M.当点当点M M沿着曲线移动并趋于沿着曲线移动并趋于
2、M M0 0点时，割线就以点点时，割线就以点M M0 0为轴转动，割线为轴转动，割线M M0 0M M的极限位置的极限位置M M0 0T T就叫做曲线就叫做曲线在点在点M M0 0处的切线，点处的切线，点M M0 0叫做切点。叫做切点。曲线切线的定义高等数学（上）高职高专 ppt 课件第一步：求 第二步：第二步：求求第三步：第三步：求求切线斜率的求法高等数学（上）高职高专 ppt 课件 二、导数的定二、导数的定义义设函数设函数在点在点及其近旁有定义，当自变量及其近旁有定义，当自变量有增量有增量时，函数有相应的增量时，函数有相应的增量当当时，若时，若的极限存在，则极限值就称为函数的极限存在，则极
3、限值就称为函数在点在点的导数，并称函数的导数，并称函数在点在点 导数），记为导数），记为，即，即也可记为也可记为或或.可导（或有可导（或有=或或高等数学（上）高职高专 ppt 课件解解（1）求函数改变量）求函数改变量（2）求（3）当当时，求时，求的极限：的极限：所以，所以，0例1求求在点在点处的导数处的导数高等数学（上）高职高专 ppt 课件 注意注意:是函数是函数（1）在区间在区间或或上的平均变化率；而上的平均变化率；而则是函数则是函数在点在点 的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度.（2）如果极限如果极限不存在，则称不存在，则称在点在点 不
4、可导；如果不可导的原因是当不可导；如果不可导的原因是当时时所引起的，则称函数所引起的，则称函数在点在点的导数为无穷大的导数为无穷大.高等数学（上）高职高专 ppt 课件三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系定理 注意：一个函数在某点连续，但在该点函数不一定可导.如果函数如果函数 在点在点 处可导处可导,则它一定在点则它一定在点 处连续处连续.高等数学（上）高职高专 ppt 课件四、函数在区间内可导的概念四、函数在区间内可导的概念 如果函数如果函数在区间在区间内的每一点都可导，内的每一点都可导，则称函数则称函数在区间在区间内可导内可导.这时，对于区间这时，对于区间内的每一个
5、确定的内的每一个确定的值，都有唯一的导数值值，都有唯一的导数值与之对应，即与之对应，即所以所以也是也是的函数，称作的函数，称作在在导函数，记作导函数，记作或或内的内的,.,说明在点在点 的导数值的导数值 就是导函数就是导函数 在点在点 的函数值，即：的函数值，即：例例2 2 =解：解：所以：所以：导函数也简称导数.求一个函数的导数运算称为微分法.说明说明五、五、求导数举例求导数举例例例3 求常值函数求常值函数的导数的导数.解：解：所以所以 也就是说，常数的导数等于零，即也就是说，常数的导数等于零，即 例例4 求幂函数求幂函数的导数的导数.(过程略过程略)幂函数求导举例例例5 求正弦函数求正弦函
6、数的导数的导数.解解 (1)计算函数增量计算函数增量(2)算比值算比值（3）取极限）取极限由此可得由此可得同理同理例例6 求对数函数求对数函数的导数的导数.解解 由此得到由此得到 特别地特别地例例7 求指数函数求指数函数的导数的导数.解解利用极限利用极限，得，得由此得到由此得到 六、左导数和右导数六、左导数和右导数 左导数：左导数：右导数：右导数：结论：结论：解：解：例七、导数的物理意义与几何意义七、导数的物理意义与几何意义曲线在某点处的切线斜率曲线在某点处的切线斜率变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度几何意义几何意义 物理意义物理意义曲线曲线在点在点则曲线在点则曲线在点处的切线方程为
7、：处的切线方程为：法线方程为法线方程为 的切线斜率的切线斜率解：解：所以，该物体在任意时刻的速度所以，该物体在任意时刻的速度在在时的瞬时速度为时的瞬时速度为解解 是曲线是曲线上任意点上任意点处的切线斜率处的切线斜率（1）在点）在点处，因为处，因为，所以切线斜率为，所以切线斜率为根据直线方程的点斜式，得根据直线方程的点斜式，得整理得切线方程为整理得切线方程为 法线方程为法线方程为整理得整理得k=第二节第二节 求导法则和基本求导公式求导法则和基本求导公式设设1.2.3.一、函数四则运算的求导法则都是都是 的可导函数，则的可导函数，则推推论论例1 1 求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）(1)
8、解解(3)(4)(2)例例2 设设 ，求，求 。解：解：所以所以例例3 3 求下列函数的导数求下列函数的导数 因此因此因此因此解解（1）在求导时先对函数变形再求导，有时可简化运算过程.例例5：求曲线：求曲线 在点在点 处的切线方程和法处的切线方程和法线方程。线方程。于是于是 曲线在点曲线在点 的切线方程是的切线方程是即即曲线在点曲线在点 的法线方程是的法线方程是即即二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则 引例:注意：注意：而是而是 的的复合函数复合函数。不是基本初等函数，不是基本初等函数，分析?复合函数求导法则复合函数求导法则:如果函数如果函数在点在点处可导，函数处可导，函数点点 处也可导，
9、则复合函数处也可导，则复合函数 在点在点 可可 也可写成也可写成或或在对应在对应导，且导，且注:复合函数求导法又称为链锁法则，它可以推广到多个函数复合的情形.例1 1 利用复合函数求导法则求下列函数的导数.解解 （1）函数由函数由复合而成复合而成（2）（3）注注:复合函数的复合层次多于两层时，其计算方法完复合函数的复合层次多于两层时，其计算方法完全一样，只需逐层求导即可。全一样，只需逐层求导即可。例例2 2 求下列函数的导数求下列函数的导数（1）函数由函数由与与复合而成复合而成解：解：所以所以（2）设设，则则例例3 求求 的导数的导数.解解 例4 求下列函数的导数(1)(2)(3)解（1）有理
10、化分母有理化分母然后求导数，得然后求导数，得（2）先用对数性质展开，得）先用对数性质展开，得然后求导数，得然后求导数，得（3）先化简，得）先化简，得然后求导数，得然后求导数，得1 1基本初等函数的导数公式(见教材)三、求导公式与求导法则汇总三、求导公式与求导法则汇总2函数四则运算的求导法则（C为常数）.（C为常数）.(1)(2)(3)(4)(5)3 3复合函数求导法则设设则复合函数则复合函数的导数为：的导数为：或写成或写成 或或,.例例1 1 求下列函数的导数求下列函数的导数(1)(2)(3)(4)(5)解解(1)(2)（3）（4）（5）第三节第三节 函数的微分函数的微分 一、微分的概念 图
11、2-4 0 x 若用若用 表示薄板的面积，表示薄板的面积，表示边长，则表示边长，则 .于于是面积的改变量为是面积的改变量为从上式可以看出，从上式可以看出，由两项构成，由两项构成，和和是次要部分是次要部分.于是，当我们把于是，当我们把忽略不记时，忽略不记时，就是就是的近似值，即的近似值，即分析上式中上式中 的系数的系数 ，就是函数，就是函数 在点的导数在点的导数 这就是说，函数这就是说，函数的自变量的自变量在点在点 的改变量的改变量时，函数的改变量时，函数的改变量约等于其在点约等于其在点 的导数的导数与与的乘积的乘积.于是上式又可表示为于是上式又可表示为 .有微小有微小分析设函数设函数在点在点处
12、可导，即处可导，即根据函数极限与无穷小的关系，有根据函数极限与无穷小的关系，有其中，其中，由此得由此得 这表明，函数的改变量这表明，函数的改变量是由是由和和两项所组成两项所组成.，当当时，由时，由知：知：是是的同阶无穷小，的同阶无穷小，是较是较高阶的无穷小高阶的无穷小.由此可见，当由此可见，当时，在函数的改变量时，在函数的改变量中，起主要作用的是中，起主要作用的是，它与，它与的差是一个较的差是一个较高阶的无穷小高阶的无穷小.因此，因此，是是的主要部分；的主要部分；又因为又因为是是的线性函数，所以通常称的线性函数，所以通常称为为的线性主要部分（简称线性主部）的线性主要部分（简称线性主部）定义定义
13、 设函数设函数在点在点处可导，则称处可导，则称为函数为函数在点在点的的微分微分记号：记号：或或此时称函数此时称函数在点在点 可微可微.如果函数在如果函数在区间区间内每一点可微，则称函数在区间内每一点可微，则称函数在区间内可微内可微.函数在任一点函数在任一点的微分，叫做的微分，叫做函数的微分函数的微分，一般，一般或或特别地特别地，即，即 因此因此函数函数的导数等于函数的微分的导数等于函数的微分与自变量的微分与自变量的微分的商的商.因因此，此，导数导数又称又称微商微商.解解 函数的微分函数的微分当当时的微分时的微分函数的增量为函数的增量为结论:例例2 2 求下列函数的微分求下列函数的微分 1.2.
14、解解：1.2.二、二、微分的几何意义微分的几何意义 由图由图2-5可知：可知：如图如图2-5所示，过曲线所示，过曲线上一点上一点作曲线作曲线.当自变量在当自变量在 处取得改变量处取得改变量时，我们得到曲线上另一点时，我们得到曲线上另一点 的切线，切线的斜率的切线，切线的斜率结论:函数函数在点在点的微分的微分 ，等于曲线在，等于曲线在点点的切线的切线上点的纵坐标对应于上点的纵坐标对应于的改变量的改变量.这就是这就是微分的几何意义微分的几何意义.1微分的基本公式 三、三、微分的基本公式与运算法则微分的基本公式与运算法则 微分的四则运算法则1).2).3).4).5).四微分形式不变性 是自变量时，
15、函数是自变量时，函数如果如果则则的微分为的微分为:因为因为,所以有所以有结论：结论：不论是自变量还是中间变量，函数不论是自变量还是中间变量，函数的微分总保持同一形式的微分总保持同一形式.微分形式不变性微分形式不变性例1 用两种方法求下列函数的微分：(1)(2)(3)解法解法1 1 根据微分的定义根据微分的定义(1)(2)(3)解法解法2 2 根据微分的基本法则和微分形式不变根据微分的基本法则和微分形式不变性性 (1)(2)(3)解：解：（1）因为因为所以所以(C为任意常数为任意常数).（2）同理同理 （3）同理同理 例2 2 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立.(1)(2)(3)解解（1）
16、因为因为所以所以(C为任意常数为任意常数).（2）同理同理（3）同理同理 五、五、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 当当很小时，很小时，亦即亦即 将上式移项得将上式移项得此式常用来计算函数此式常用来计算函数在点在点附近的函数值的近似值附近的函数值的近似值.(2)(1)例例1 1 半径为半径为1010的球充气后半径增加了的球充气后半径增加了0.02,0.02,求求球球的体积大约增加了多少的体积大约增加了多少?解解 设球的体积为设球的体积为，半径为，半径为，则，则由已知由已知，设球的体积的增加量为，设球的体积的增加量为 因为因为很小，所以可以用微分很小，所以可以用微分来近似代替来近似代
17、替 而而于是于是即球的体积大约增加了即球的体积大约增加了,.例例2 计算计算 的近似值的近似值解解 由于所求的是余弦函数值由于所求的是余弦函数值,故选取函数故选取函数于是于是因为因为所以取所以取(此时此时 很小很小),代入上式得代入上式得即即在公式在公式（2）中）中,当当 时时,得得 （3）当当很小时，可用公式（很小时，可用公式（3）求函数）求函数在在附近函数值的近似值附近函数值的近似值.当当很小时，可得很小时，可得工程上常用的近似公式工程上常用的近似公式(1)(6)(5)(3)(4)(2)一一 隐函数及其求导法隐函数及其求导法 第四节第四节 隐函数和由参数方程隐函数和由参数方程 所确定函数的
18、导数所确定函数的导数形如形如 的函数，叫做显函数的函数，叫做显函数,如：如：由方程由方程所确定的所确定的与与叫做叫做隐函数隐函数.例如圆的方程例如圆的方程以及以及等等等等因变量因变量 与自变量与自变量的关系是由一个的关系是由一个的方程的方程所确定的所确定的.之间的函数关系之间的函数关系含有含有显函数有时很容易化成隐函数显函数有时很容易化成隐函数.（1）在给定的方程两边分别对）在给定的方程两边分别对 求导数，遇到求导数，遇到（2）从（）从（1）所得式中解出）所得式中解出 （或（或 ）即可）即可.隐函数求导方法隐函数求导方法:时看成时看成 的函数，的函数，的函数看成的函数看成 的复合函数；的复合函
19、数；例例1 求由方程求由方程 所确定的函数所确定的函数 的导数的导数.解：将方程两边对解：将方程两边对 求导数，得求导数，得所以所以说明说明：将此函数化为显函数再求导，可得同样结果：将此函数化为显函数再求导，可得同样结果.例例2 2 求由下列方程所确定的函数的导数：求由下列方程所确定的函数的导数：(1)(2)解：解：(1)方程两边对方程两边对 求导数，得求导数，得解解 出，得出，得（2）方程两边对）方程两边对 求导数，求导数，得得解得解得例例3 求圆求圆 在点在点 的切线方程的切线方程.解解 方程两边对方程两边对 求导数，得求导数，得解解 出，得出，得把点把点的坐标代入，得切线的斜率的坐标代入
20、，得切线的斜率由直线方程的点斜式，得由直线方程的点斜式，得整理得切线方程为整理得切线方程为l含多次积、商、幂的函数含多次积、商、幂的函数对数求导法例4 求下列函数的导数：(1)(2)l形如形如 的函数的函数解：（解：（1）此函数是幂指函数，两边取自然对数）此函数是幂指函数，两边取自然对数解出解出 ，即得所给函数的导数为即得所给函数的导数为:化为隐函数，得化为隐函数，得:上式两边对上式两边对求导数，得求导数，得（2）两边取对数并根据对数的运算法则，得 上式两边对上式两边对求导数，得求导数，得解出解出 ，即得原函数的导数为，即得原函数的导数为:二、二、由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的
21、函数的导数 一般地，参数方程一般地，参数方程可以确定可以确定 与与函数关系函数关系.这种关系，有时可以用显函数表示出来这种关系，有时可以用显函数表示出来.例如例如 消去参数消去参数可得可得（称为普通方程），（称为普通方程），由此可求出由此可求出之间的之间的，根据导数又称微商这一结论，在根据导数又称微商这一结论，在中同除以中同除以，得：，得：即即这就是参数方程所确定的这就是参数方程所确定的与与方法，其结果一般仍为关于参数的解析式方法，其结果一般仍为关于参数的解析式.的分子和分母的分子和分母之间的函数的求导之间的函数的求导但对于有些参数方程，它所确定的但对于有些参数方程，它所确定的关于关于的函数的
22、函数关系，很难化为普通方程关系，很难化为普通方程.例例1 已知参数方程已知参数方程，求，求解解 根据参数方程的求导公式根据参数方程的求导公式 因为因为所以所以解解:因为因为所以，所求切线的斜率为所以，所求切线的斜率为将将代入所给参数方程中，得切点代入所给参数方程中，得切点所以，切线的方程为所以，切线的方程为 整理得整理得 解解 因为因为所以所以于是所求切线的斜率为于是所求切线的斜率为一、高阶导数的概念 第五节 高阶导数 一般地，函数一般地，函数的导数的导数仍然是仍然是的函数，如果是可导函数，则可以继续求它的导数，的函数，如果是可导函数，则可以继续求它的导数，这相当于对函数，这相当于对函数求了两
23、次导数，求了两次导数，我们称我们称为为的二阶导数，的二阶导数，记作记作，或或 ，或，或 例例1 1求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数(1)(3)(2)解解(1)(2)(3)的导数的导数三阶导数：三阶导数：或或 或或四阶导数：四阶导数：三阶导数的导数三阶导数的导数或或 或或一般地一般地,的的阶导数的导数叫作阶导数的导数叫作的的阶导数阶导数，记作记作 或或或或高阶导数：高阶导数：二阶及二阶以上的导数二阶及二阶以上的导数例2 求下列函数的各阶导数.解解（1）依此类推，可得依此类推，可得（1）（2）（2）（3）由此可得由此可得（3）一般地*例例3 求由方程求由方程确定的隐函数的确定的隐函数的解解
24、 将方程两边对将方程两边对 求导，得求导，得所以所以 二阶导数二阶导数.解解 因为因为 所以所以二二 、二阶导数的力学意义二阶导数的力学意义 设物体作变速直线运动，其运动方程设物体作变速直线运动，其运动方程运动的速度是路程运动的速度是路程对时间对时间的导数，即的导数，即若速度若速度仍是时间仍是时间的函数，我们可以求速度的函数，我们可以求速度对时间对时间的导数，的导数，表示，即表示，即.在力在力学中，学中，物体运动的加速度，也就是说，作直线运动的物体，其物体运动的加速度，也就是说，作直线运动的物体，其速度速度是路程是路程对时间对时间的二阶导数的二阶导数.则物体则物体此时，此时，并用并用称为称为加加例例 已知作直线运动物体的运动方程为已知作直线运动物体的运动方程为，求物体运动的加速度，求物体运动的加速度.解：因为解：因为 所以所以 注：由于二阶导数是在一阶导数的基础上再求一次导数，所以不需要引进新的公式.