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1、斜斜 线线 在在 平平 面面 上上 的的 射射 影影 直直 线线 和和 平平 面面 所所 成成 的的 角角pO 自一点向平面引垂自一点向平面引垂线，线，垂足垂足垂足垂足叫做这点在这叫做这点在这个平面上的个平面上的射影射影射影射影；这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的面的垂线段垂线段垂线段垂线段。Q 一条直线和一个平面一条直线和一个平面相交相交，但，但不和这个平面垂不和这个平面垂直直，这条直线叫做这个平，这条直线叫做这个平面的面的斜线斜线斜线斜线，斜线和平面的，斜线和平面的交点叫做交点叫做斜足斜足斜足斜足。斜线上一点与斜足间斜线上一点与斜足间的线段叫做这点
2、到这个平的线段叫做这点到这个平面的面的斜线段斜线段斜线段斜线段。ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段斜线段斜线段斜线段在这个平面上的射影在这个平面上的射影在这个平面上的射影在这个平面上的射影。斜线上任意一点斜线上任意一点在平面上的射影，一在平面上的射影，一定在斜线的射影上。定在斜线的射影上。ACBDE 垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜
3、线段都短 从平面外一点从平面外一点向这个向这个平面所引的垂线段和斜线平面所引的垂线段和斜线段段AB、AC、AD、AE中，那一条最短？中，那一条最短？ACBOOB=OC AB=ACOBOC AB ACAB=AC OB=OCAB AC OBOC 射影相等的两条斜线段相等，射影射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长斜线段的射影也较长ACBO 定理定理 从平面外从平面外一一点点向这个平面所引的向这个平面所引的垂线段和斜线段中，垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较射影相等的两条
4、斜线段相等，射影较长的斜线段也较长长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短 1.点点P是是ABC所在所在平面外一点，且平面外一点，且P点到点到ABC三个顶点距离三个顶点距离相等，则相等，则P点在点在ABC所在平面上的所在平面上的射影是射影是ABC的的 心。心。PCBAO练习练习外外练习练习2.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线一定是平行直线 （）（2）两条相交直线在同一平
5、面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （）（3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （）(1)(2)(3)(4)练习练习3AGFEDCBHO1O2 平面的一条斜线和平面的一条斜线和它在平面上的射影所成它在平面上的射影所成的锐角，叫做的锐角，叫做这条直线这条直线这条直线这条直线和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角。一条直线垂直与平面，它
6、们一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所所所所成的角是成的角是成的角是成的角是0 0 的角的角的角的角。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90。AlBODl是平面是平面 的斜线，的斜线，A是是l上任意一点，上任意一点，AB是平面是平面 的垂线，的垂线，B是垂足，是垂足，OB是斜线是斜线l的射影，的射影，是是斜线斜线l与平面与平面 所成的角所成的角.与与AODAOD的大小关系如何？的大小关系如何？CAlBOD 与与AODAOD的大小关系如何？的大小关系如何？在在
7、RtAOB中，中，在在Rt AOC中，中，ABAC，sinsinAODAOD 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。斜线和平面所成斜线和平面所成的角，是这条斜线和的角，是这条斜线和平面内任意的直线所平面内任意的直线所成的一切角中最小的成的一切角中最小的角。角。C最小角原理最小角原理问题：问题：a,a与与OA所成的角中所成的角中最大是最大是_，最小是，最小是_。例题例题 例例1.如图，如图，AO是平面是平面的斜线，的斜线，AB 平面平面于于B，OD是是内不与内不与OB重合的重合的直线
8、，直线，AOB=，BOD=，AOD=，求证：求证：cos =cos cos ABODC 练练习习4(1).AO与平面与平面 斜交，斜交，O为斜足，为斜足，AO与与平面平面 成成 角，角，B是是A在在 上的射影上的射影,OD是是 内的直线，内的直线，BOD=30，AOD=60，则则sin =。(2)练习练习6.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？5.已知斜线段的长是它已知斜线段的长是它在平面在平面上射影的上射影的2倍，倍，求斜线和平面求斜线和平面所成的所成的角。角。ABO 如图，斜线段如图，斜线段AB是其射影是其射影OB的的两倍，求两倍，求AB与平面与平面
9、所成的角。所成的角。如果两条直线与一个平面所成的角相如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？等，它们平行吗？例例2.线段线段MN长长6厘米，厘米，M到平面到平面的距离是的距离是1厘厘米，米，N到平面到平面的距离是的距离是4厘米，求厘米，求MN与平面与平面所成所成角的余弦值。角的余弦值。MNMNMNMNOOMOM就是就是MN与与所成的角所成的角移出图移出图移出图移出图MNNMO614MMONN614ABCDE正四面正四面ABCD,求求CE与平面与平面BCD所成的角。所成的角。作业作业1作业作业2ABDA1B1CD1C1求求AB1与平面与平面ACC1A1所成的所成的角。角。ABaaaabbbbABONM 从从平面内一点平面内一点发出的发出的斜线段，长度虽然相等，斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。但射影不一定相等。从从平面外不同点平面外不同点发出发出的斜线段，长度虽然相等，的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。但射影不一定相等。