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1、9.4.3 直线与平面垂直的判定与性质（直线与平面垂直的判定与性质（3）1.1.斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影自学课本自学课本24页部分，理解以下概念的含义：页部分，理解以下概念的含义：（1）点在平面内的射影）点在平面内的射影（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的 射影射影.（1）点在平面内的射影）点在平面内的射影过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影平面内的射影.P Q（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段）平面的斜线
2、、斜足、点到平面的斜线段一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做时，这条直线叫做平面的斜线平面的斜线，斜线和平面的交，斜线和平面的交点叫点叫斜足斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段平面的斜线段.平面的斜线平面的斜线平面的斜线平面的斜线Q斜足斜足斜足斜足P点点点点P P到平面的斜线段到平面的斜线段到平面的斜线段到平面的斜线段（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影的射影.从斜线上斜足以外的一点向平面
3、引垂线，过垂足从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影这个平面内的射影.PQP斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影斜线段在平面内的射影斜线段在平面内的射影射影定理射影定理 从平面外从平面外一点一点一点一点向这个平面所引的垂线段和斜向这个平面所引的垂线段和斜线段中：线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；较长；（2）相等的斜
4、线段的射影相等，较长的斜线段的射影也）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短）垂线段比任何一条斜线段都短.AOBC（1）OB=OCAB=AC OBOCABAC（2）AB=ACOB=OC ABACOBOC（3）AO AB，AO AC注意：是过同一点引线注意：是过同一点引线注意：是过同一点引线注意：是过同一点引线射影的长短射影的长短斜线段的长短斜线段的长短 2、直线和平面所成的角、直线和平面所成的角平面的平面的一条斜线一条斜线和它在这个平面内的射影所成和它在这个平面内的射影所成的的锐角锐角，叫做这条，叫做这条斜线斜线和这个平面所成的角和这个平面所成
5、的角.BA a AOB（记为记为）是）是a与与 所成的角所成的角最小角定理最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角COD进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角这个平面内的直线所成的一切角中的最小角直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内=00 00 90000900证明：设直线证明：设直线OD是是 内与内与a不不同的任意一条
6、直同的任意一条直线线,过点过点A引引AC垂直垂直OD垂足为垂足为C.因为因为AB AC，所以所以AB/AO AC/AO即即sinsin AOC.因此因此AOC直线和平面成角直线和平面成角斜线和平面成角斜线和平面成角小结小结（1）点在平面内的射影）点在平面内的射影（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影的射影.2、直线和平面所成的角、直线和平面所成的角（4）射影定理）射影定理1、斜线在平面内的射影、斜线在平面内的射影（3）最小角定理）最小角定理（1）斜线和平面成角）斜线和平面成角（2）直线和平面成角）直线和平面成角例：已知：如图，例：已知：如图，AB是平面是平面 外的一条斜线，外的一条斜线，AB 平面平面 B，AO 平面平面 于于O，BG 为过为过B点在平面点在平面 内的一条直线，内的一条直线，求证：求证：