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1、2022/12/201第第 11 11 章章 电势电势一、一、静电场的保守性静电场的保守性二、二、电势差和电势电势差和电势三、三、电势叠加原理电势叠加原理四、四、等势面等势面五、五、电势梯度电势梯度六、六、点电荷在外电场中的点电荷在外电场中的电势能电势能2022/12/202b一、静电场的保守性一、静电场的保守性r与与引引力力场场相相类类似似，静静电电场场也也是是保保守守场场，静静电电力力是保守力，即静是保守力，即静电电力作功与具体路径无关。力作功与具体路径无关。1.静电场力所作的功静电场力所作的功 q点点电荷 q 产产生的静生的静电场电场中：中：将电量为 的点电荷由a点沿任意路径L移到b点电
2、场力所做的功2022/12/203两边积分即即静电场力作功与具体路径无关。静电场力作功与具体路径无关。q由若干静止的点电荷组成的电荷系：由场强叠加原理，同理可证明静电场力作功静电场力作功与具体路径无关。与具体路径无关。q静止的连续的带电体：一、静电场的保守性一、静电场的保守性b2022/12/204一、静电场的保守性一、静电场的保守性r在在静静电电场场中中，电电场场力力对对试试验验电电荷荷所所作作的的功功，只只取取决决于于试试验验电电荷荷 q0 及及其其始始末末位位置置，与与连连接接始始末末位位置置的的具具体体路路径径无无关关。这这个个性性质质称称为为静静电电场场的的保保守性守性。2.静电场的
3、保守性静电场的保守性 或者，对任何静电场，电场强度的线积分 只取决于始末位置，与连接始末位置的具体路径始末位置，与连接始末位置的具体路径无关。这个性质称为无关。这个性质称为静电场的保守性静电场的保守性。2022/12/205一、静电场的保守性一、静电场的保守性 3.静电场的环路定理静电场的环路定理 q静电场的保守性也可表述成另一种形式02022/12/206一、静电场的保守性一、静电场的保守性即：即：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。分等于零。上式称为上式称为静电场的环路定理静电场的环路定理。2022/12/207二、电势差和电势二、电势差和电势
4、r静静电电力力作作功功与与具具体体路路径径无无关关，只只取取决决于于试试验验电电荷荷的的始末位置始末位置。1.电势差电势差 r定义定义电势差电势差只由与只由与P1、P2位置有关的函数（称势位置有关的函数（称势函数）决定。函数）决定。r即即若在点电荷电场中若在点电荷电场中2022/12/208二、电势差和电势二、电势差和电势 2.电势电势则：电场中则：电场中 P1 点的电势点的电势p若选 P2 点为电势零点，即电势零点，即2022/12/209p故:电场中任一点P的电势为电势为其中其中P0 为电势零点为电势零点r上上式式表表明明，电电场场中中某某点点的的电电势势，等等于于把把单单位位正正电电荷荷
5、从从该该点点经经任任意意路路径径移移到到电电势势零零点点处处电电场场力所作的功。力所作的功。2022/12/2010二、电势差和电势二、电势差和电势r电电势势单单位位：焦焦尔尔/库库仑仑，称称为为伏伏特特，简简称称伏伏(V)。量。量纲纲L2MT-3I-1p当当电电荷荷只只分分布布在在有有限限区区域域时时，电电势势零零点点通通常常选选在在无限远处，这时无限远处，这时P点电势点电势2022/12/2011b二、电势差和电势二、电势差和电势r点点电电荷荷经经任意路径移任意路径移动动,电场电场力所作的功力所作的功 3.电场力作功电场力作功(用电势差表示用电势差表示)2022/12/2012p点电荷 从
6、P1点移到P2点时，静电场力做的功l描述静电场的物理量：电场强度电势二、电势差和电势二、电势差和电势其中P0 为电势零点若若 为为正正，则则电电场场力力作作正正功功时时，电电场场的电势降低的电势降低。2022/12/2013二、电势差和电势二、电势差和电势r点点电电荷荷空间任意一点的电势空间任意一点的电势 4.单单个点个点电电荷空荷空间间的的电势电势qpr积分路径沿位矢方向积分路径沿位矢方向2022/12/2014二、电势差和电势二、电势差和电势在在正正电电荷荷的的电电场场中中，各各点点的的电电势势均均为为正正 值，离电荷越远的点，电势越低；值，离电荷越远的点，电势越低；在在负负电电荷荷的的电
7、电场场中中，各各点点的的电电势势均均为为负负值值，离电荷越远的点，电势越高。离电荷越远的点，电势越高。即：沿着电力线方向，电势降低。即：沿着电力线方向，电势降低。2022/12/2015二、电势差和电势二、电势差和电势明确电势零点，明确电势零点，求出电场分布，求出电场分布，选一条积分路径积分。选一条积分路径积分。5.5.求空间的电势分布求空间的电势分布r 例例1:求求均均匀匀带带电电球球面面的的电电场场中中的的电电势势分分布布。球面半径为球面半径为R，总带电量为，总带电量为q。2022/12/2016二、电势差和电势二、电势差和电势解：解：1 选无穷远处为电势零点；选无穷远处为电势零点；2 场
8、强分布函数为：场强分布函数为：当 r R时，2022/12/2017二、电势差和电势二、电势差和电势3求电势分布函数：求电势分布函数：r R时，选径向为积分路径，则时，选径向为积分路径，则 r R时，选径向为积分路径，则时，选径向为积分路径，则2022/12/2018二、电势差和电势二、电势差和电势说明：均匀带电球面内各点电势相等，称等势体。说明：均匀带电球面内各点电势相等，称等势体。（常数常数）2022/12/2019二、电势差和电势二、电势差和电势RorRo均匀带电球面的电势分布均匀带电球面的电势分布2022/12/2020u一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q，若规定该球面上电势为零，则
9、球面 外距球心r处的P点的电势 _ 答案：课堂练习2022/12/2021二、电势差和电势二、电势差和电势例例2 2：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布解：解：（1 1）场强分布函数为）场强分布函数为方向沿径向方向沿径向（2 2）电势零点的选择）电势零点的选择rp选在选在 点（如图），距带电直线距离为点（如图），距带电直线距离为 。2022/12/2022二、电势差和电势二、电势差和电势u问题：电势零点能否选在无穷远处？为什么？问题：电势零点能否选在无穷远处？为什么？答：若将电势零点选在无穷远处，则答：若将电势零点选在无穷远处，则 电荷分布扩展到无穷
10、远时，电势电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能选在无穷远处。零点不能选在无穷远处。电势为无穷大值失去意义，故电势为无穷大值失去意义，故rp2022/12/2023二、电势差和电势二、电势差和电势33电势的计算电势的计算rp任意一点任意一点 P P 的电势的电势2022/12/2024三、电势叠加原理三、电势叠加原理 1.电势叠加原理电势叠加原理r在在由由多多个个带带电电体体产产生生的的电电场场中中，任任意意一一点点的的电电势势等等于于各各个个带带电电体体单单独独存存在在时时在在该该点点产产生生的的电电势势的代数和。这个结论称为的代数和。这个结论称为电势的叠加原理电势的叠加原理。由若干个带电体组
11、成的电荷系的电场：由若干个带电体组成的电荷系的电场：其电势：其电势：2022/12/2025三、电势叠加原理三、电势叠加原理 2.多个多个点点电电荷荷电场电场中中的的电势电势r单个点单个点电电荷荷的电势的电势r多个点多个点电电荷荷的总电势的总电势2022/12/2026三、电势叠加原理三、电势叠加原理 3.任意任意带电带电体体电场电场中的中的电势电势r任任意意带带电电体体可可以以看看作作由由无无穷穷多多个个电电荷荷元元组组成成，每个电荷元可以看成每个电荷元可以看成点点电电荷荷，则，则2022/12/2027三、电势叠加原理三、电势叠加原理例例1 一半径为一半径为R的均匀带电细圆环，所带总电量的
12、均匀带电细圆环，所带总电量为为q，求在圆环轴线上任意点，求在圆环轴线上任意点P的电势。的电势。XoRxPdq解：解：利用点电荷电势利用点电荷电势公式及电势叠加公式及电势叠加原理求解。原理求解。1 在圆环上任选一电荷元在圆环上任选一电荷元dq，该电荷元在，该电荷元在P点产生的电势为：点产生的电势为：4.例例题题2022/12/2028XoRxPdq2由电势叠加原理，由电势叠加原理，两边积分，得：两边积分，得：l若若x=0（P点位于环心点位于环心O处），处），则则三、电势叠加原理三、电势叠加原理l若xR，则2022/12/2029三、电势叠加原理三、电势叠加原理例例2求求均均匀匀带带电电圆圆盘盘轴
13、轴线线上上任任一一点点的的电电势势。已已知知盘盘半径半径为为 R，电电荷面密度荷面密度。xrOdrRP解：在解：在圆盘圆盘上上选选一个半径一个半径为为r，厚度，厚度为为dr的的细圆环细圆环。则该细圆环则该细圆环在在P点点产产生生电势为电势为2022/12/2030三、电势叠加原理三、电势叠加原理xrOdrRP而 ，两边积分2022/12/2031三、电势叠加原理三、电势叠加原理讨论讨论此时圆盘相当于一个点电荷。此时圆盘相当于一个点电荷。2022/12/2032三、电势叠加原理三、电势叠加原理讨论讨论2022/12/2033三、电势叠加原理三、电势叠加原理例例3 右图表示两个同心的均匀带电球面，
14、半径分右图表示两个同心的均匀带电球面，半径分 别为别为 ,分别带有电量分别带有电量。求距球求距球心距离为心距离为处的电势处的电势。解：解：1 外球外侧外球外侧 点电势点电势o由电势叠加原理，可知由电势叠加原理，可知2022/12/2034ooo0三、电势叠加原理三、电势叠加原理2022/12/20352两球面中间两球面中间 点的电势点的电势ooo120V三、电势叠加原理三、电势叠加原理2022/12/20363 内球内侧内球内侧 点的电势点的电势ooo=+=180V三、电势叠加原理三、电势叠加原理2022/12/2037三、电势叠加原理三、电势叠加原理r 已知电荷分布，求电势分布的方法：已知电
15、荷分布，求电势分布的方法：方法一：方法一：利用电势公式利用电势公式 ，先求场强分布函数，再求电势分布函数；先求场强分布函数，再求电势分布函数；方法二方法二：利用点电荷电势公式及电势叠加原理求解。利用点电荷电势公式及电势叠加原理求解。2022/12/2038u半径为R1的均匀带电球面1，带电量为Q1，其外有一同心的半径为R2的均匀带电球面2，带电量为Q2，则此两球面之间的电势差U12=为：（A）（B）（C）（D）答案：（A）课堂练习2022/12/2039u真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心O点 处 的 电 势 0=，若将一带电量为q的点电荷从无穷远
16、处移到圆心O点，则电场力作功A=。答案：2022/12/2040四、等势面四、等势面 1.等势面等势面在电场中电势相等的点所连成的曲面称为在电场中电势相等的点所连成的曲面称为等势面等势面。规定，相邻等势面之间电势差相等。则规定，相邻等势面之间电势差相等。则 等势面用来形象表示电场中电势的分布等势面用来形象表示电场中电势的分布;等势面能直观地反映电场的性质等势面能直观地反映电场的性质:2022/12/2041（1 1）等势面与电场线处处正交。）等势面与电场线处处正交。（2 2）沿着电场线方向，电势下降。）沿着电场线方向，电势下降。（3 3）等等势势面面疏疏密密度度反反映映场场强强大大小小。等等势
17、势面面密密集处场强大，稀疏处场强小。集处场强大，稀疏处场强小。2.等势面与电场线的关系等势面与电场线的关系 四、等势面四、等势面2022/12/2042点电荷电场及等势面点电荷电场及等势面均匀电场及等势面均匀电场及等势面 等量异号电荷电场及等势面等量异号电荷电场及等势面课堂思考题：课堂思考题：判断正误。其中实判断正误。其中实线代表电场线，虚线代线代表电场线，虚线代表等势面与纸面的交线。表等势面与纸面的交线。四、等势面四、等势面2022/12/2043导体导体p导体静电平衡条件的另一种表述导体静电平衡条件的另一种表述导体是等势体导体是等势体导体表面是等势面导体表面是等势面等势体等 势 面等 势
18、面四、等势面四、等势面例：例：P41,11.62022/12/2044求求:1):1)电量分布；电量分布；例例1 1 金属球金属球A A与金属球壳与金属球壳B B同心放置同心放置已知：球已知：球A A半径为半径为 ，带电为带电为 ,金属壳金属壳B B内外半径分别为内外半径分别为R R1 1、R R2 2 ,带电为带电为2)球球A A和壳和壳B B的电势的电势 、。四、等势面四、等势面2022/12/2045解：解：1)1)导体带电在表面导体带电在表面l球球A的电量只可能在球的表面的电量只可能在球的表面l壳壳B有两个表面有两个表面电量可能分布在内、外两个表面电量可能分布在内、外两个表面l由于由于
19、A、B同心放置同心放置仍维持球对称仍维持球对称在在A表面、表面、B内外表面电量分布均匀内外表面电量分布均匀2022/12/2046证明壳证明壳B B上电量的分布：上电量的分布：在在B B内作高斯面内作高斯面S S。因因B B内场强为内场强为0 0，高斯定理高斯定理电荷守电荷守恒定律恒定律思考思考：该：该结论对结论对内内表面表面的的形形状、内部状、内部带电状况带电状况有限制吗有限制吗？外表面相当于孤立带电表面外表面相当于孤立带电表面 由于由于曲率相同曲率相同 所以均匀分布所以均匀分布故：面故：面S S的电通量的电通量2022/12/2047等效等效:在真空中三个均匀带电的球面在真空中三个均匀带电
20、的球面利用叠加原理利用叠加原理球面电荷单独存在时球面电荷单独存在时对电势的贡献对电势的贡献第第1 1个个第第2 2个个 第第3 3个个2022/12/2048例：例：P42,11.72022/12/2049u关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？（A）电场中，场强为零的点，电势必为零；（B）电场中，电势为零的点，电场强度必为零；（C）在场强不变的空间，电势处处相等；（D）在电势不变的空间，电场处处为零。答案：(D)课堂练习2022/12/2050五、电势梯度五、电势梯度 1.电势梯度电势梯度q 为为等等势势面面的的法法线线方方向向，指指向向电电势势升升高高的的方方向向，与与
21、 反向。反向。对对任意方向任意方向 ,有有acbnl2022/12/2051五、电势梯度五、电势梯度q电电场场中中给给定定点点的的场场强强在在任任一一方方向向的的分分量量，等等于于电电势势沿沿该该方方向向的的变变化化率率的的负负值值。负负号号表表示示场场强强指指向向电势电势降低的方向。降低的方向。q电场电场强强度度acbnl2022/12/2052五、电势梯度五、电势梯度q定义定义电势梯度电势梯度(gradientgradient)矢量：矢量：acbnlq电电势势梯梯度度的的大大小小等等于于电电势势在在该该点点的的最最大大空空间间变变化化率率；方方向向沿沿等等势势面面法法向向，指指向向电电势势
22、增加的方向。增加的方向。2022/12/2053五、电势梯度五、电势梯度即即电场电场强强度度为电势为电势梯度梯度的负值的负值。2.电场强度与电势的关系电场强度与电势的关系由于由于2022/12/2054五、电势梯度五、电势梯度在直角坐标系中在直角坐标系中电电场场还还有有另另一一个个单单位位，即即伏伏特特/米米（V/m），与与牛顿牛顿/库仑库仑（N/C）同量纲。）同量纲。2022/12/2055五、电势梯度五、电势梯度归纳小结：归纳小结：电场强度与电势是描述电场性质的物电场强度与电势是描述电场性质的物 理量，两者有如下关系。理量，两者有如下关系。1 电势等于电场强度的线积分，即：电势等于电场强度
23、的线积分，即：2 电场强度等于电势梯度的负值，即：电场强度等于电势梯度的负值，即：（积分式）（积分式）（微分式）（微分式）2022/12/2056例1：点电荷的电场XoRxPdq例2 一半径为R的均匀带电细圆环，所带总电量为q，求在圆环轴线上任意点P的电场强度E。方法一：点电荷场强公式及叠加原理2022/12/2057方法二：利用电势和场强之间微分关系，先求电势，再求场强。XoRxPdq2022/12/20581掌握静电场的两条基本实验规律：库仑定律和叠加原理。2理解静电场的两个基本物理量：3掌握静电场的两条基本定理：高斯定理和环路定理。4掌握电场和电势的基本计算方法：用高斯定理、叠加原理和对
24、电势求梯度来计算电场；用定义式和叠加原理计算电势。5理解电场强度与电势的关系：用E来表示 是积分关系，用 来表示E是微分关系。电场强度E和电势 。学习要求2022/12/2059六、点电荷在外电场中的静电势能六、点电荷在外电场中的静电势能 1.定义定义静静电电场场是是保保守守场场，可可引引进进静静电电势势能能的的概概念念。若若试试验验电电荷荷 q0 在在静静电电场场中中从从 a 点点移移到到 b 点点电电场场力力作作正功，则正功，则电势电势能减少。能减少。定定义电势义电势能增量能增量W 2022/12/2060定定义电势义电势能能即即：一一个个电电荷荷在在电电场场中中某某点点的的电电势势能能等
25、等于于它它的的电电量与电场中该点电势的乘积。量与电场中该点电势的乘积。一般取一般取 r 时为势能零点，则空间任一点的电时为势能零点，则空间任一点的电势能为势能为六、点电荷在外电场中的静电势能六、点电荷在外电场中的静电势能2022/12/2061qqq课堂练习u如图，电量为q的点电荷位于正三角形的三个顶点上，位于三角形中心，三角形边长为a。求：在静电场中的电势能。答案：2022/12/2062 2.注意注意（1 1）电电势势能能是是属属于于系系统统的的，为为场场源源电电荷荷和和电电荷荷所所共有，它是验电荷与电场之间的相互作用能。共有，它是验电荷与电场之间的相互作用能。（3 3）电电势势能能的的单
26、单位位（SI）：焦焦耳耳（J J）；电电子子伏伏特（特（eVeV）：）：1eV1eV1.61.61010-19-19J J（2 2）电电势势能能的的量量值值只只有有相相对对意意义义，它它与与电电势势能能零零点的选择有关。点的选择有关。六、点电荷在外电场中的静电势能六、点电荷在外电场中的静电势能2022/12/2063（5 5）当当 时时，电电势势能能增增加加，电电场力作负功。场力作负功。（4 4）当当 时时，试试验验电电荷荷从从 a a 运运动到动到 b b 过程中，电势能减少，电场力作正功；过程中，电势能减少，电场力作正功；六、点电荷在外电场中的静电势能六、点电荷在外电场中的静电势能例题：P462022/12/2064