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1、2010.9电场强度矢量反映了静电场的力的性质。电场强度矢量反映了静电场的力的性质。电荷在电场中受到力的作用电荷在电场中受到力的作用，移动电荷，移动电荷时电场力做功时电场力做功电场具有能量。电场具有能量。如果静电力是保守力，则可以引入势能如果静电力是保守力，则可以引入势能概念，将电场力所做的功表示为电势能函数概念，将电场力所做的功表示为电势能函数的减少。的减少。11.1 11.1 静电场的保守性静电场的保守性电场力做的功只与运动电荷的始电场力做的功只与运动电荷的始末位置有关，而与电荷运动的路径末位置有关，而与电荷运动的路径无关。无关。电场不外乎由点电荷、电荷系和电场不外乎由点电荷、电荷系和连续
2、带电体产生。连续带电体产生。一、点电荷形成的电场中，静电力做的功一、点电荷形成的电场中，静电力做的功+将单位正电荷将单位正电荷 从从P1移到移到P2点时电场力所点时电场力所做的功做的功+在静止的点电荷的电场中，移动单位正电荷在静止的点电荷的电场中，移动单位正电荷，电场力电场力 所做的功只取决于被移动的电荷的起点所做的功只取决于被移动的电荷的起点和终点的位置而与移动的路径无关。和终点的位置而与移动的路径无关。其中其中二、电荷系形成的电场中，静电力做的功二、电荷系形成的电场中，静电力做的功与路径无关与路径无关三、连续带电体形成的电场中，静电力做的功三、连续带电体形成的电场中，静电力做的功静止的连续
3、的带电体可看作无数电荷元的静止的连续的带电体可看作无数电荷元的集合，它的场强的线积分同样只与始末位集合，它的场强的线积分同样只与始末位置有关而与路径无关。置有关而与路径无关。都只取决于起点都只取决于起点P P1 1和终点和终点P P2 2的位置而与联接的位置而与联接P P1 1和和P P2 2点间的路径无关。点间的路径无关。静电场是保守场，可以引入势能的概念静电场是保守场，可以引入势能的概念静电场的保守性的另外一种述形式：静电场的保守性的另外一种述形式：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。对于任何静电场，电场强度的线积分对于任何静电场，电
4、场强度的线积分势能的定义：保守力的功势能的定义：保守力的功=相应势能的减少相应势能的减少11.2 11.2 电势差和电势电势差和电势P1和和P2两点间的电势差，也叫该两点间的电压，两点间的电势差，也叫该两点间的电压，记作记作U12。对于给定的两点，其电势差具有完全确对于给定的两点，其电势差具有完全确定的值。定的值。一、电势差一、电势差电电势差：势差：a、b两点的电势差等于将单位正电荷从两点的电势差等于将单位正电荷从a点移到点移到b时，时，电场力所做的功。电场力所做的功。电势零点：电势零点：为了给出静电场中各点的电势值而选取为了给出静电场中各点的电势值而选取的参考位置。的参考位置。电势：电势：P
5、 P点的电势等于将单位正电荷从点的电势等于将单位正电荷从P P点沿任意点沿任意路径移到电势能零点时，电场力做的功。路径移到电势能零点时，电场力做的功。二、电势二、电势电势和电势差的单位：电势和电势差的单位：伏特伏特 1V=1J/C2、电势零点的选取：、电势零点的选取：视方便而定。视方便而定。电荷分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷电荷分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷远处。此时远处。此时1、电势是相对的、电势是相对的，与电势零的选取有关；，与电势零的选取有关；而两点间的电势差却与零点的选取无关。而两点间的电势差却与零点的选取无关。在实际问题中，常选地球的电势为零电势。在实际问题中，常选地
6、球的电势为零电势。3、利用电势差计算点电荷在静电场中移动时电场、利用电势差计算点电荷在静电场中移动时电场力做的功。力做的功。电荷电荷 q0 从从P1移到移到P2时，电场力做的功为：时，电场力做的功为：1 1、点电荷电场中的电势、点电荷电场中的电势如图如图P P点的场强为点的场强为 对称性对称性大小大小以以q q为球心的同一球面上的点电势相等为球心的同一球面上的点电势相等三、电势的计算三、电势的计算2、已知静止的电荷分布，求电势分布、已知静止的电荷分布，求电势分布选定电势零点；选定电势零点；求出电场分布；求出电场分布；选一条路径积分以求电势的分布。选一条路径积分以求电势的分布。方法一：方法一：方
7、法二：方法二：由点电荷电势公式，由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算利用电势叠加原理计算场源为场源为q1、q2 qn的点电荷系，电的点电荷系，电场中任一点的场中任一点的场强为：场强为：电势电势各点电荷单独存在时在该点电势的各点电荷单独存在时在该点电势的代数和代数和11.3 11.3 电势叠加原理电势叠加原理一、电势叠加原理一、电势叠加原理由电势叠加原理，由电势叠加原理，P P 的电势为的电势为点电荷系的电势点电荷系的电势连续带电体的电势连续带电体的电势由电势叠加原理，由电势叠加原理，P P 的电势为的电势为P P点电荷电势点电荷电势注意：这三个公式中，电势零点都选在无穷远！例例1、求电偶极子
8、电场中任一点、求电偶极子电场中任一点P的电势的电势由叠加原理由叠加原理其中其中r-r+例例2、求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知、求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知R、q解解:方法一方法一 微元法微元法方法二方法二 定义法定义法由电场强度的分布由电场强度的分布例例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q解解:方法一方法一 叠加法叠加法(微元法微元法)任一圆环任一圆环由图由图 方法二方法二 定义法定义法由高斯定理求出场强分布由高斯定理求出场强分布由定义由定义例：求无限长均匀带电直线的电场中电势分布例：求无限长均匀带电直线的电场中电势分布 选取电势零
9、点选取电势零点选离直线为选离直线为r0 的的 P0 点为电势零点。点为电势零点。电场分布电场分布无限长均匀带电直线的场强分布为：无限长均匀带电直线的场强分布为：方向垂直于带电直线方向垂直于带电直线 选取积分路线求电势分布选取积分路线求电势分布选取选取PP平行于带电直线，而平行于带电直线，而PP0与带电直线垂直。与带电直线垂直。P0r0PPl lrP0r0PPl lr故：故：故上式可一般地表示为：故上式可一般地表示为：选定电势零点后，选定电势零点后，该值就定了该值就定了与电势零点有关与电势零点有关的常数。的常数。等势面等势面 ：电场中电势相等的点组成的曲面电场中电势相等的点组成的曲面+11.4
10、11.4 等势面等势面+电偶极子的等势面电偶极子的等势面人人体体心心脏脏周周围围的的电电势势 等势面的性质等势面的性质 等势面与电场线处处正交，电场线指向电势降等势面与电场线处处正交，电场线指向电势降落的方向。落的方向。a,b为等势面上任意两点，移动为等势面上任意两点，移动q,从从a到到b 电荷沿等势面移动时，电场力不做功。电荷沿等势面移动时，电场力不做功。沿电力线移动沿电力线移动 两等势面相距较近处的场强数值大，相两等势面相距较近处的场强数值大，相距较远处场强数值小。距较远处场强数值小。沿电力线方向电势降低。沿电力线方向电势降低。功、电势差、电势能之间的关系功、电势差、电势能之间的关系11.
11、5 11.5 电势梯度电势梯度电场强度与电势之间的关系电场强度与电势之间的关系由电场强度的分布可求得电势的分布，那么由电场强度的分布可求得电势的分布，那么由电势分布能否求出电场强度的分布呢？由电势分布能否求出电场强度的分布呢？一、场强与电势的微分关系一、场强与电势的微分关系单位正电荷从单位正电荷从 a 到到 b 电场力的功电场力的功设电场强度沿设电场强度沿dl方向的分方向的分量为量为El=Ecosq q，故：，故：电场中某点场强沿某方向电场中某点场强沿某方向的分量等于电势沿此方向的分量等于电势沿此方向的空间变化率的负值。的空间变化率的负值。场强方向与电势场强方向与电势梯度方向相反梯度方向相反在
12、直角坐标中在直角坐标中:或或j j的梯度的梯度:物理意义：物理意义：电势梯度是一个电势梯度是一个矢量矢量，它的，它的大小大小为电势沿为电势沿等势面法线方向等势面法线方向(即场强方向即场强方向)的变化率，它的的变化率，它的方方向向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。例例1 1利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系，计算均匀带电计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。细圆环轴线上一点的场强。解解:例例2计算电偶极子电场中任一点的场强计算电偶极子电场中任一点的场强解：解：P(x,y)场强的矢量表示式为：场强的矢量表示式为：11.6 11.6 点电荷在外
13、电场中的静电势能点电荷在外电场中的静电势能静电力是保守力，可以引入势能的概念静电力是保守力，可以引入势能的概念势能：势能：将物体从将物体从P点移到势能零点时保守力做的点移到势能零点时保守力做的功即为功即为P点的势能。点的势能。电势电势j j：将单位正电荷从静电场中任意一点将单位正电荷从静电场中任意一点P移到移到电势零点时电场力做的功。电势零点时电场力做的功。电势能电势能W：电荷在外电场中任意一点所具有的电荷在外电场中任意一点所具有的势能。势能。11.8 11.8 静电场的能量静电场的能量静电能：静电能：设设n个静止的电荷组成一个电荷系。将各个静止的电荷组成一个电荷系。将各电荷从现有位置彼此分散
14、到无限远时，它电荷从现有位置彼此分散到无限远时，它们之间的静电所做的功定义为电荷系在原们之间的静电所做的功定义为电荷系在原来状态时的静电能。来状态时的静电能。注意：静电能只属于整个电荷系所有，不能分割注意：静电能只属于整个电荷系所有，不能分割!除除qi 外所有点电荷在外所有点电荷在qi 所在处的电势所在处的电势dq无限小，无限小，j j为连续带电体所有为连续带电体所有电荷在电荷元电荷在电荷元dq 所在处的电势所在处的电势一、静电场能量密度一、静电场能量密度设想一个表面均匀带电的气球，总电量为设想一个表面均匀带电的气球，总电量为Q，受电，受电荷间斥力作用膨胀。设某一时刻球的半径为荷间斥力作用膨胀
15、。设某一时刻球的半径为R，则，则其静电能为：其静电能为：（证明过程略）（证明过程略）(参见书参见书46-48页页11.7 电荷系的静电能）电荷系的静电能）气球继续膨胀使半径增大气球继续膨胀使半径增大dR时，由于电荷间斥力做时，由于电荷间斥力做了功，此带电气球的能量了功，此带电气球的能量减少了。所减少的能量为减少了。所减少的能量为（对上式求微分可得）：（对上式求微分可得）：带电球面内部场强为零，气半径增大带电球面内部场强为零，气半径增大dR意味着半意味着半径为径为R，厚度为，厚度为dR的球壳内的电场消失了，球壳外的球壳内的电场消失了，球壳外电场无变化。电场无变化。假设减少的能量原来就存在于那层球
16、壳内，可得到假设减少的能量原来就存在于那层球壳内，可得到该球壳内电场的能量为：该球壳内电场的能量为：已知球壳内电场强度已知球壳内电场强度E的大小为：的大小为：所以上式可写为：所以上式可写为：球壳内各处场强的大小基本相同，引入能量密度的球壳内各处场强的大小基本相同，引入能量密度的概念，用概念，用we表示。表示。适用于静电场的一般情况适用于静电场的一般情况二、静电场能量二、静电场能量如果知道带电系统的电场分布，则将静电如果知道带电系统的电场分布，则将静电场能量密度公式对全空间进行积分，就可场能量密度公式对全空间进行积分，就可求出该带电系统的电场的总能量。求出该带电系统的电场的总能量。例：在真空中一
17、个均匀带电球体，半径为例：在真空中一个均匀带电球体，半径为R，总电量，总电量为为q。试利用电场能量公式求此带电系统的静电能。试利用电场能量公式求此带电系统的静电能。解：解：均匀带电球体的场强分布：均匀带电球体的场强分布：故：故：课堂练习：课堂练习：已知已知1、由等势面确定、由等势面确定a、b点的点的场强的大小和方向（定性）场强的大小和方向（定性）2、求等量异号的同心带电球面的电、求等量异号的同心带电球面的电势差。已知势差。已知+q、-q、RA、RB求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c，电场力所作的功电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由O电场电场力作的功力作的功 3 3、如图已
18、知如图已知+q q、-q q、R R4、已知正方形顶点有四个等量的电点荷，、已知正方形顶点有四个等量的电点荷，q=4.010-9C，r=5cm求求将将求该过程中电势能的改变求该过程中电势能的改变从从O O电场力所做的功电场力所做的功5、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面。由图可看出：面。由图可看出：（A）EAEBEC,UAUBUC（B）EAEBEC,UAUBEBEC,UAUBUC（D）EAEBUBUCCBA 课堂练习：课堂练习：1.由等势面确定由等势面确定a、b点的场强的大小点的场强的大小和方向（定性）和方向（定性）已知已知错解：错解：2.求等
19、量异号的同心带电球面的电求等量异号的同心带电球面的电势差势差,已知已知+q、-q、RA、RB解解:由高斯定理由高斯定理由电势差定义由电势差定义 电势差：电势差：UAB=将单位正电荷由将单位正电荷由A点移到点移到B点点电场力作的功电场力作的功错解分析：错解分析：正解：正解：求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 由由O移至移至c，电场力所作的功电场力所作的功3 3.如图已知如图已知+q q、-q q、R R错解：错解：正解：正解：将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所作的功电场力所作的功错解：错解：正解：正解：图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面。图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面。由图可看出：由图可看出：（A）EAEBEC,UAUBUC（B）EAEBEC,UAUBEBEC,UAUBUC（D）EAEBUBUCCBA答案：答案：D课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷，课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷，q=4.010-9C，r=5cm求求将将求该过程中电势能的改变求该过程中电势能的改变从从O O电场力所做的功电场力所做的功电势能电势能