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1、 4.1 时间响应性能指标 4.2 一阶系统的时域分析 4.3 二阶系统的时域分析 4.4 高阶系统的时域分析 4.5 线性系统的稳定性分析 4.6 线性系统的稳态误差第四章 线性系统的时域分析 q时域法是自动控制系统最基本的分析方法时域法是自动控制系统最基本的分析方法,是学习复域法、频域法的是学习复域法、频域法的基础基础;q时域法可以时域法可以直接在时间域中对系统进行分析直接在时间域中对系统进行分析校正，具有直观，准确的特点；校正，具有直观，准确的特点；q时域法时域法可以提供系统可以提供系统时间响应时间响应的全部信息；的全部信息；q时域法是时域法是基于解析法求解系统的输出，所以基于解析法求解
2、系统的输出，所以比较烦琐比较烦琐。本本 章章 提提 要要 4.1 时间响应性能指标时间响应性能指标4 4.1.1.1.1 典型输入信号典型输入信号单位阶跃响应单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位脉冲响应、单位加速度响应。单位加速度响应。q典型输入信号典型输入信号单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位脉冲信号、单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位脉冲信号、单位加速度信号、正弦信号。单位加速度信号、正弦信号。q对应的输出分别被称为对应的输出分别被称为 A=1时称为时称为单位阶跃函数单位阶跃函数,其数学表达式为其数学表达式为1阶跃函数阶跃函数 A=1时称为时称为单位斜坡函数单位斜坡函数
3、,其数学表达式为其数学表达式为2斜坡函数斜坡函数 A=1/2时称为时称为单位抛物线函数单位抛物线函数,其数学表达式为其数学表达式为3加速度函数（加速度函数（抛物线抛物线）A=1A=1时称为时称为单位脉冲函数单位脉冲函数,其数学表达式为其数学表达式为4 4脉冲函数脉冲函数 5正弦函数正弦函数 四种典型单位输入信号四种典型单位输入信号 q动态动态过程；过程；（瞬态过程、过渡过程）指系统输出量从瞬态过程、过渡过程）指系统输出量从初始初始状态到最终状态状态到最终状态的响应过程。的响应过程。q稳态过程：稳态过程：当时间当时间t趋于无穷趋于无穷时，系统输出量的表现形式。时，系统输出量的表现形式。4.1.2
4、 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标时间响应由动态过程、稳态过程两部分组成。时间响应由动态过程、稳态过程两部分组成。性能指标：性能指标：包含动态指标和稳态指标包含动态指标和稳态指标稳：稳：稳：(基本要求基本要求基本要求)系统响应要收敛；系统响应要收敛；系统响应要收敛；准准准:(稳态要求稳态要求稳态要求 ）稳态输出与给定信号间的误差）稳态输出与给定信号间的误差）稳态输出与给定信号间的误差(稳态误差稳态误差稳态误差)要小要小要小快快快:(动态要求动态要求动态要求)过渡过程要平稳，迅速。过渡过程要平稳，迅速。过渡过程要平稳，迅速。说明说明 q阶跃响应性能指标阶跃响应性能指标 p tr0.5
5、 y(t)td tp01 tst稳态误差稳态误差v稳态性能：由稳态误差稳态性能：由稳态误差e ess ss描述。描述。v动态性能动态性能延迟时间延迟时间t td d：曲线第一次达曲线第一次达到终值一半所需时间。到终值一半所需时间。上升时间上升时间t tr r：从终值从终值10%10%上上升到终值升到终值90%90%所需时间；有所需时间；有振荡系统定义为从零第一次上升到终值所需时间。振荡系统定义为从零第一次上升到终值所需时间。峰值时间峰值时间t tp p：响应到达第一个峰值所需时间。响应到达第一个峰值所需时间。调节时间调节时间t ts s：到达并保持在终值到达并保持在终值 5 5误差带内所需的最
6、短时间误差带内所需的最短时间超调量超调量%：最大偏离量最大偏离量c(tc(tp p)与终值与终值c()c()之差的百分比，即之差的百分比，即c(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%动态性能指标定义动态性能指标定义1 1c(t)t调节时间调节时间tsc(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts+0.05-0.05c(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts动态性能指标定义动态性能指标定义2 20.950.05c(t)tAB动态性能指标定义动态性能指标定义3 3trtpts%=BA100
7、%0.05 4.2.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型R(s)C(s)E(s)-1/Ts结构图结构图(a)微分方程：微分方程：传递函数传递函数:式子中式子中T的含义随系统的不同而不同。的含义随系统的不同而不同。4.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析R(s)C(s)结构图结构图(b)j 0P=-1/Ts平面平面零极点图：零极点图：4.2.2一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应(无零点无零点)单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线TT2T3T010.632c(T)=0.632c()c(3T)=0.95c()c(2T)=0.865c()c(4T)=0.982c()输入输入输出输出输出响
8、应输出响应由此特点判别系统由此特点判别系统是否为一阶环节是否为一阶环节 性能指标：性能指标：c(t)=50%，td=0.69T c(t)=10%和和c(t)=90%tr=2.20T；c(t)=95%(允许误差允许误差5%)(t=3T)ts=3T单位阶跃响应的单位阶跃响应的斜率斜率:c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/T c(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1一阶系统特点一阶系统特点 1 1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2 2）初始斜率为）初始斜率为1/T1/T；3 3）无超调；稳态误差）无超调；稳态
9、误差e ess ss=0=0。输出响应输出响应 2T4.2.3一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应单单位位脉脉冲冲响响应应曲曲线线理想脉冲函数无法得到，理想脉冲函数无法得到，以以 的脉动函数代的脉动函数代替。替。无零点的一阶系统无零点的一阶系统(s)=Ts+11,T时间常数时间常数输入输入输出输出c(t)=T1e-Tt输出响应输出响应 4.2.4一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应单单位位斜斜坡坡响响应应曲曲线线T0T输入输入位置误差随时间增位置误差随时间增大大,最后为常值最后为常值T T无零点的一阶系统无零点的一阶系统(s)=(s)=Ts+11输出输出c(t)=t-T+Te-
10、t/T输出响应输出响应输出速度输出速度 4.2.5 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应 跟踪误差：跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-Te(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2 2(1-e(1-e-t/T-t/T)随时间推随时间推 移而增长，直至无穷。因此一阶系统移而增长，直至无穷。因此一阶系统 不能跟踪加速度函数。不能跟踪加速度函数。输出输出输入输入输出响应输出响应无零点的一阶系统无零点的一阶系统(s)=(s)=Ts+11 线性定常系统的特性线性定常系统的特性单位脉冲信号单位脉冲信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位斜坡信号单位斜坡信号单位加速度信号单位加速度信号线性系统输
11、入信号微分的响应，等于系统对输入信号响应的线性系统输入信号微分的响应，等于系统对输入信号响应的微分微分,系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，这一特性适用于任何阶线性定常连续系统，非线性的积分，这一特性适用于任何阶线性定常连续系统，非线性系统及线性时变系统不具有这种特性。系统及线性时变系统不具有这种特性。例例4.1 如图示如图示,（1 1）求）求K Kh h=0.1=0.1时的时的t ts s,（2 2）要求）要求t ts s=0.1s,=0.1s,求求K Kh h.KhC(s)R(s)E(s)100/s-解题关键解题关键：化闭
12、环传递函数为标准形式。：化闭环传递函数为标准形式。与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3(s),解解:(1)(2)要求要求ts=0.1(s),，即，即3T=0.1(s),Ts 例例4 4.2.2要求对应的时间常数要求对应的时间常数 ,求K0,KH由图示由图示，系统增益系统增益解解:依题意依题意则则1 1、3 3个图各如何求个图各如何求T T？2 2、调节时间、调节时间t ts s=？3 3、r(t)=vtr(t)=vt时，时，e ess ss=？4 4、求导关系、求导关系小结小结5 5、k1k1时时r(t)=(t)r(t)=1(t)r(t)=t c(t)=
13、T1e-Ttc(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/T时的时的一系列一系列问题问题c(T)=0.632c()c(3T)=0.95c()c(2T)=0.865c()c(4T)=0.982c()例例4 4.3.3 分子分母同阶的一阶系统分子分母同阶的一阶系统由由TS的定义的定义,(1-0.67)0.05=0.01650.0165+0.67=0.6865对应求对应求ts由由TS的定义的定义,(2.5-1)0.05=0.0752.5-0.075=2.425对应求对应求ts 4 4.3.1 .3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型可以用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。可以用二阶微分方
14、程描述的系统为二阶系统。已知已知RLC电路的微分方程电路的微分方程：为线性二阶微分方程，所以图示为二阶系统。为线性二阶微分方程，所以图示为二阶系统。RLCi(t)ur(t)uc(t)4 4.3.3二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析求拉氏变换，得二阶系统的传递函数求拉氏变换，得二阶系统的传递函数 为自然频率，单位为自然频率，单位rad/s；二阶系统的阻尼比，无纲量二阶系统的阻尼比，无纲量。典型二阶系统的闭环传典型二阶系统的闭环传递函数递函数标准形式标准形式R(s)C(s)(-)结构图结构图开环传递函数开环传递函数令闭环传递函数分母多项式为零，得闭环令闭环传递函数分母多项式为零，得闭环系统的特征
15、方程系统的特征方程 l 欠阻尼欠阻尼：0 1 闭环闭环系统的特征方程系统的特征方程闭环特征方程根（闭环极点）闭环特征方程根（闭环极点）这一节重点是各种输入时，不同特征根的状况，即这一节重点是各种输入时，不同特征根的状况，即 输入为单位阶跃信号输入为单位阶跃信号输出输出整理整理令：令：拉氏反变换，输出阶跃响应为拉氏反变换，输出阶跃响应为1.欠阻尼欠阻尼 (0 1)1)传递函数传递函数阶跃响应阶跃响应一对不相等的负实根一对不相等的负实根 j j 0 0S S2 2S S1 1 式中式中（T T1 1T T2 2）虚部不为零：响应曲线虚部不为零：响应曲线振荡发散振荡发散虚部为零虚部为零:响应曲线响应
16、曲线单调发散单调发散5.5.负阻尼负阻尼 (0)0)传递函数传递函数极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。一对实部为正的根一对实部为正的根 j j 0 0S S2 2S S1 1S S1 1S S2 22-1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2=j n01101j0j0j0j0二二阶系统单位阶系统单位阶跃响应定性分析阶跃响应定性分析2(s)=s2+2ns+n2n2-j1-2 nS1,2=nc(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+c(t)=1-(1+nt)e-tnc(t)=1-cosntj0j0j0j0T11T2111010 c(t)=1
17、-2sin(dt+)e-t11n过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼零阻尼零阻尼欠阻尼欠阻尼动画动画1动画动画2 q除不允许产生振荡的系统，通常采用欠阻尼状态，阻尼比除不允许产生振荡的系统，通常采用欠阻尼状态，阻尼比选择在选择在0.40.80.40.8之间，保证系统有好的运动动态。之间，保证系统有好的运动动态。q阻尼比决定了系统的振荡特性：阻尼比决定了系统的振荡特性：0 时，响应发散，系统不稳定；响应发散，系统不稳定；=0时，等幅振荡；等幅振荡；0 11（t0）q临界阻尼临界阻尼：=1=1（t0）q无阻尼无阻尼：=0=0（t0）q欠阻尼欠阻尼：0 0 11（t0）输入输入 R(s)=1/sR(s)=1
18、/s2 2，输出输出 误差的最大偏差为误差的最大偏差为误差响应的峰值误差响应的峰值误差响应求导并令为零，得误差峰值时间误差响应求导并令为零，得误差峰值时间稳态误差，稳态误差，e ess ss表示。即表示。即（t0）欠阻尼误差响应欠阻尼误差响应欠阻尼稳态输出欠阻尼稳态输出欠阻尼欠阻尼瞬态输出瞬态输出单位谐坡时单位谐坡时欠阻尼分析欠阻尼分析（t0）图是不同值的无因次误差响应曲线。显然，减小 值，减小稳态误差及峰值时间，但误差的最大偏离量增大，动态性能恶化。00.41.02.0tptp （t0）稳态误差和误差响应分别为稳态误差和误差响应分别为临界阻尼单位斜坡响应临界阻尼单位斜坡响应（t0）（=1）单
19、位谐坡时单位谐坡时临界阻尼临界阻尼分析分析情况这里不再讨论。情况这里不再讨论。过阻尼过阻尼 由终值定理求得稳态误差由终值定理求得稳态误差，因此，因此例例4 4.9.9 如图，讨论如图，讨论K K和和F F改变对改变对单位单位斜坡响应稳态误差斜坡响应稳态误差的影响。画小的影响。画小K K值，中等值，中等K K值和大值和大K K值时典型单位斜值时典型单位斜坡响应曲线。坡响应曲线。C(s)R(s)-E(s)解：解：闭环传函闭环传函结论结论2)2)增大增大K K或减小或减小F F会使会使减小，减小，导致最大误差偏离量增大，动态性能变坏。导致最大误差偏离量增大，动态性能变坏。3 3）K K增大一倍，增大
20、一倍，减小到原的一半，而减小到原的一半，而值减小到原来数值值减小到原来数值的的0.7070.707倍，这是因为倍，这是因为与与K K值的平方根成反比；若值的平方根成反比；若F F值减小值减小到原来数值的一半，到原来数值的一半，和和分别减小到原来数值的一半。因分别减小到原来数值的一半。因此增大此增大K K值比减小值比减小F F值较为合适。值较为合适。1)1)增大增大K K或减小或减小F F值，可以减小值，可以减小 4 4）单位斜坡响应在瞬态响应结束而达到稳态时，输出速度与）单位斜坡响应在瞬态响应结束而达到稳态时，输出速度与输入速度相同，但是输出量与输入量之间存在一个固定的位输入速度相同，但是输出
21、量与输入量之间存在一个固定的位置误差置误差 。5 5）三种不同）三种不同K K值的典型单位斜坡响应曲线如图所示。值的典型单位斜坡响应曲线如图所示。R(t)c(t)t0R(t)c(t)大k中等k小k 如图，如图，T Td d为微分时间常数，比为微分时间常数，比例因子是例因子是1 1，E(s)E(s)为误差信号。为误差信号。（1 1）比例）比例微分控制微分控制C(s)R(s)(-)Tds+1Go(s)E(s)U(s)开环增益开环增益开环传递函数开环传递函数闭环闭环传递函数传递函数阻尼比增大！阻尼比增大！增加一个闭环零点增加一个闭环零点 4 4.3.7.3.7 二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善
22、p 比例比例微分控制微分控制和和测速反馈控制测速反馈控制是两种常用的改善系统性是两种常用的改善系统性能的方法。能的方法。(1)引入比例引入比例-微分控制，阻尼比增加，从而微分控制，阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；(2)闭环闭环零点的出现，即加快系统响应速度，零点的出现，即加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼阻尼”作用。适当选择微分时间常数作用。适当选择微分时间常数d，使系统，使系统即有较好的平稳性，又在出现较小超调情况下，即有较好的平稳性，又在出现较小超调情况下，提高快速性。提高
23、快速性。(3)不影响系统误差，自然频率不变。不影响系统误差，自然频率不变。特点特点比例微分校正比例微分校正 输出量拉氏变换：输出量拉氏变换：闭环传递函数：闭环传递函数：其中其中输出响应为：输出响应为：式中式中单位阶跃信号作用下的输出响应单位阶跃信号作用下的输出响应C(s)R(s)(-)Tds+1Go(s)E(s)U(s)超调量超调量调节时间调节时间ts:令令 为实际响应与稳态输出之间的差，则下式成立为实际响应与稳态输出之间的差，则下式成立部分性能指标：部分性能指标：式中式中峰值时间峰值时间tp:对上式求导，令其为零。得对上式求导，令其为零。得输出响应输出响应取误差带取误差带 =0.05,由上式
24、解得由上式解得 闭环传递函数闭环传递函数开环增益开环增益K K(2)(2)测速反馈控制测速反馈控制 图图中输出量的速度信号反馈到输入端，与误差信号中输出量的速度信号反馈到输入端，与误差信号E(s)E(s)比比较后，改善系统的动态性能。较后，改善系统的动态性能。(s)R(s)(-)C(s)KtS(-)开环传递函数开环传递函数式中为阻尼比式中为阻尼比 例例4 4.10.10分析：分析：1 1）该系统能否正常工作？）该系统能否正常工作？2 2）要求）要求=0.707，系统如何改进？系统如何改进？等幅不衰减振荡，工作不正常等幅不衰减振荡，工作不正常）增加测速反馈，闭环传递函数）增加测速反馈，闭环传递函
25、数=0=0 无阻尼无阻尼解解1）两种控制系统比较如下两种控制系统比较如下:(1)(1)比例比例-微分控制不改变开环增益微分控制不改变开环增益K,K,测速测速-反馈控制改反馈控制改变变开环增益开环增益K 。（2 2）不变，阻尼比）不变，阻尼比 增大。分别为增大。分别为取取K Kt t=T=Td d，。（3 3）比例）比例-微分控制提供一个实零点，在相同的阻尼比微分控制提供一个实零点，在相同的阻尼比时，超调量大于速度反馈控制。时，超调量大于速度反馈控制。（4 4）比例）比例-微分控制对输入噪声有放大作用，输入端高微分控制对输入噪声有放大作用，输入端高频噪音严重时，不宜选用此方法。测速反馈控制无需设
26、频噪音严重时，不宜选用此方法。测速反馈控制无需设置放大器，适合任何输出可测的控制系统。置放大器，适合任何输出可测的控制系统。附加零点对附加零点对欠欠阻尼二阶系统的影响阻尼二阶系统的影响 j0当其它条件不变时，附加一个闭环零点：超调量超调量 上升时间上升时间、峰值时间峰值时间 1 1 零点有削弱阻尼的作用零点有削弱阻尼的作用2 2 零点越靠近原点该作用越明显零点越靠近原点该作用越明显当当z=z=时，为无零点的二阶系统时，为无零点的二阶系统附加零点对附加零点对过过阻尼二阶系统的影响阻尼二阶系统的影响 j0%=33%结论：结论：1 1 零点有削弱阻尼的作用零点有削弱阻尼的作用2 2 零点越靠近原点该
27、作用越明显零点越靠近原点该作用越明显上升时间减小上升时间减小t ts s可能大了也可能小了可能大了也可能小了无振荡有超调无振荡有超调哈哈哈哈！结结 论论 依依 旧旧 例例4.11 分子分母同阶的二阶系统分子分母同阶的二阶系统（单位阶跃响应）（单位阶跃响应）增加零点增加零点,削弱阻尼削弱阻尼,超调变大超调变大,上升时间变短上升时间变短,调节时间不一定小。调节时间不一定小。123你会求它们的初始斜率吗？你会求它们的初始斜率吗？13 与与的的t ts s相同相同 4 4.3.8.3.8 初始条件不为零的二阶系统响应初始条件不为零的二阶系统响应 二阶系统的微分方程二阶系统的微分方程初始值初始值不为零不
28、为零令令则则拉氏反变换拉氏反变换求上式的拉氏变换，考虑初始条件求上式的拉氏变换，考虑初始条件零输入响应零输入响应取取式中式中若若=0=0 有相同的衰减振荡特性有相同的衰减振荡特性零状态响应零状态响应 4 4.4.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析q三阶系统的暂态响应三阶系统的暂态响应q高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应 (难点难点)q闭环主导极点闭环主导极点重点重点 三阶系统的传递函数三阶系统的传递函数极点极点阻尼比阻尼比输入输入一阶因子引起的一阶因子引起的非周期指数衰减非周期指数衰减二阶因子引起二阶因子引起的阻尼振荡的阻尼振荡输出响应输出响应s1s2s3其中：其中：响应曲线分
29、析响应曲线分析1）当当=，为二阶系统；为二阶系统；2）附加一个实数极点附加一个实数极点（0 1,1,呈二阶系统特性；呈二阶系统特性；s s3 3距虚距虚轴轴远远,s s1 1、s s2 2距虚轴近距虚轴近,特性主要取决于特性主要取决于s s1 1、s s2 2。）1,00或或全全00-s2-5s-6=0稳定吗稳定吗？有两个正实部根有两个正实部根该系统不稳定该系统不稳定劳斯劳斯(routh)(routh)判据判据小结小结 s4 111s3 33s2 01sD(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0特殊情况特殊情况1 1：第一列某行出现：第一列某行出现0 0某行的第一列项为某行的第一列项为0，其余
30、各项不为，其余各项不为0或不或不全为全为0。（）用（。（）用（s+a）因子乘原特征方）因子乘原特征方程（程（a为任意正数），（）或用很小的正为任意正数），（）或用很小的正数数 代替零元素。代替零元素。劳斯表劳斯表第一列为零第一列为零 方法方法：(s+3)(s+3)乘原式，得乘原式，得D(s)=sD(s)=s5 5+6s+6s4 4+10s+10s3 3+6s+6s2 2+10s+3=0+10s+3=0 s5 11010s4 663s3 99.5s2-0.333s1 91.40s0 3s4 111s3 33s2 1s2 s1代替代替了了(3 -3)/方法方法 劳斯表出现零行劳斯表出现零行设系统特
31、征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s4517566601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根?由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程:有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行6s2+6=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数:12s1继续计算劳斯表继续计算劳斯表6第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定这是零行这是零行这是零行这是零行
32、12由综合除法由综合除法或或比较系数法比较系数法可得另两个根可得另两个根s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根:s1,2=j注意：注意：纯虚根为重根纯虚根为重根时，系统不再等幅振时，系统不再等幅振荡，而是振荡发散。荡，而是振荡发散。特殊情况特殊情况2 2：劳斯阵列出现全零行劳斯阵列出现全零行:系统在系统在s s平面有对称分布的根平面有对称分布的根大小相等符号相反的实根大小相等符号相反的实根对称于实轴的两对共轭复根对称于实轴的两对共轭复根共轭虚根共轭虚根动画动画 例例4 4.1.12 2 负反馈系统的开环传递函数负反馈系统的开环传递函数 （1 1）求系统稳定）求系统稳定K K1
33、 1的取值范围；的取值范围；（2 2）要求闭环极点全部位于）要求闭环极点全部位于s=-1s=-1垂线之左，求垂线之左，求K K1 1的取值范围。的取值范围。解解：（1）系统闭环传递函数为）系统闭环传递函数为闭环特征方程闭环特征方程 D(s)=s 3+30 s 2+6500 s+6500K1=0 劳斯表劳斯表6500K1 s 0 s 1 6500K130s 2 65001s 3 K1取值范围是取值范围是 K1（2 2）将）将s=z-1s=z-1代入原式，新特征方程代入原式，新特征方程 D(z)=zD(z)=z3 3+27z+27z2 2+6443z+(6500K+6443z+(6500K1 1-
34、6471)=0-6471)=0 劳斯表劳斯表6500K1-6471 z0 z16500K1-6471 27z2 64431z3 K1取值范围是取值范围是 误差定义误差定义G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输输入入端定义：端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)输输出出端定义：端定义：E(s)=C希希-C实实=-C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)误差误差E(s)=R(s)-C(s)总误差怎么求？总误差怎么求？误差定义有两种方式：误差定义有两种方式：1)E(s)=C 1)E
35、(s)=C希希-C-C实实 2)E(s)=R(s)-B(s)2)E(s)=R(s)-B(s)单位反馈时两种定义相同。单位反馈时两种定义相同。G1(s)H(s)C(s)G2(s)N(s)R(s)E(s)3.6线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 该公式使用条件该公式使用条件:q满足满足sE(s)sE(s)在在s s右半平面及虚轴上解析的条右半平面及虚轴上解析的条件，即件，即 sE(s)sE(s)的极点均位于的极点均位于s s左半平面。左半平面。q当当sE(s)sE(s)在坐标原点有极点在坐标原点有极点 时，虽不满足时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用结果与实际结虚轴上解析的条件，但使用结果与实际
36、结果一致，这时也可用此公式。果一致，这时也可用此公式。计算误差公式计算误差公式 例例4 4.15.15单位负反馈系统开环传递函数为单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,G(s)=1/Ts,输入分别为输入分别为1)r(t)=t 1)r(t)=t，2)r(t)=t2)r(t)=t2 2/2/2，3)r(t)=sint3)r(t)=sint，求稳态误差。，求稳态误差。解：解：误差闭环传递函数误差闭环传递函数2 2）,符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。使用终值定理要注意条件。使用终值定理要注意条件。3 3）,不符合应用条件不符合应用条件 。q用终值定理将得出错误结论。用终值定理将得
37、出错误结论。1 1）,符合终值定理应用条件符合终值定理应用条件E(s)C(s)R(s)-G0H0注意：注意：s 0s 0时，时，G G0 0H H0 0一定一定11s表示表示开环开环有有个极点在坐标原点个极点在坐标原点=0称为称为0 0型系统型系统 称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统=1=2=3提个醒提个醒！123系统型别系统型别设开环传递函数设开环传递函数G(s)H(s)=(is+1)i=1 m(Tjs+1)j=1n-ks此时的此时的k k为开环增益为开环增益 1.1.阶跃输入的稳态误差及静态位置误差系数阶跃输入的稳态误差及静态位置误差系数q稳态误差稳态误差q静态位
38、置误差系数静态位置误差系数时有差系统时有差系统q阶跃输入要使稳态误差为零阶跃输入要使稳态误差为零,必必须使用须使用型或型或型以上系统型以上系统,图示图示0型系统有误差。型系统有误差。2.2.斜坡输入的稳态误差及静态速度误差系数斜坡输入的稳态误差及静态速度误差系数q稳态误差稳态误差q静态速度误差系数静态速度误差系数q0型系统不能跟踪型系统不能跟踪斜坡输入，斜坡输入，型系存在有限误差，型系存在有限误差，要使稳态误要使稳态误差为零差为零,必须使用必须使用型或型或型以上型以上系统系统,图示图示型有差系统型有差系统。一阶一阶有差系统有差系统 =1 3.3.加速度输入的稳态误差及静态加速度误差系数加速度输
39、入的稳态误差及静态加速度误差系数q稳态误差稳态误差q静态加速度误差系数静态加速度误差系数q0，型系统不能跟踪型系统不能跟踪加速度加速度输输入，入，型系存在有限误差，型系存在有限误差，要使要使稳态误差为零稳态误差为零,必须使用必须使用型或型或型以上系统型以上系统,图示图示型有差系统型有差系统。二阶二阶有差系统有差系统 =2 典型输入下的稳态误差与静态误差系数典型输入下的稳态误差与静态误差系数G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)1+G(s)H(s)1若若系统稳定系统稳定,则则可用终值定理求可用终值定理求e ess ssess=lim s1+ksG0H0R(s)0sR(s)=R
40、/sr(t)=R1(t)ess=1+ksRlim0sr(t)=RtR(s)=R/s2ess=sRlim0sksr(t)=Rt2/2R(s)=R/s3ess=s2Rlim0skskpkvka 型型0 0型型型型 R1+kR k000R kRpRvRakkk000123非单位反馈怎么办？非单位反馈怎么办？啥时能用表格？啥时能用表格？表中误差为无穷时系统还稳定吗表中误差为无穷时系统还稳定吗?多多种种典典型型输输入入的的组组合合，根根据据线线性性迭迭加加原理求稳态误差。原理求稳态误差。例例4 4.1.15 5 系统输入系统输入r(t)=(r(t)=(+t+t+t t2 2/2)1(t)/2)1(t)，
41、求，求0 0 型、型、型、型、型系统的稳态误差。型系统的稳态误差。解：解：利用叠加原理，得系统的稳态误差利用叠加原理，得系统的稳态误差q动态误差系数还可以测查误差随时间的变化过程，因动态误差系数还可以测查误差随时间的变化过程，因实用性不大，在此不予讨论。实用性不大，在此不予讨论。例例4 4.1.16 6（1 1）如如图图示示A A，求求位位于于s=s=-2-2的的左左侧侧，且且阻阻尼尼比比不不小小于于0.50.5特特征征根根区区域域，并并求求特特征征根根区区域域K K、T T 取取值值范范围围和和跟跟踪单位斜坡输入的稳态误差。踪单位斜坡输入的稳态误差。R(S)C(S)_A（1 1）特征根分布范
42、围如图示）特征根分布范围如图示 得得依题意，依题意，0.5 0.5，得，得 ,。特征方程特征方程 D(s)=Ts D(s)=Ts2 2+s+K=0,+s+K=0,系统稳定的条件：系统稳定的条件：T T0,K0,K0 0。特征根特征根由由 得得令令得得T1/4T1/4得得K1/TK1/T，0T1/40T1/4，e ess ss=1/K=1/K解：解：结果结果 解解：误差为误差为 e(t)=r(t)-c(t)e(t)=r(t)-c(t)，根据误差定义根据误差定义应用终值定理应用终值定理若要若要e ess ss=0=0，K Kc c=1/K=1/K。注注：图图中中未未标标出出误误差差，因因不不满满足
43、足使使用用静静态态误误差差系系数数的的条条件，只能用一般方法求件，只能用一般方法求e ess ss。（2 2）如）如图图示示B B，求，求K Kc c值使稳态误差为零。值使稳态误差为零。R(s)C(s)B_ 例例4 4.1.17 7已知单位反馈系已知单位反馈系统开环传函为统开环传函为G(s)G(s)，输，输入为入为r(t)r(t)，试求，试求e ess ss。s2(0.1s+1)8(0.5s+1)G3(s)=s(s+4)(s2+2s+2)7(s+3)G2(s)=(0.1s+1)(0.5s+1)10G1(s)=r1(t)=1(t)r2(t)=tr3(t)=t20 0型型型型型型k=10k=21/
44、8k=8ess=1/11ess=8/21ess=1/8解：解：系统系统2 2不稳定，不稳定，系统系统3 3的的=2=2，ess ess=1/4 例例4 4.1.18 8已知图示系统的调节时间已知图示系统的调节时间t ts s=0.3=0.3秒，秒，试求试求r(t)=3t r(t)=3t 时时输出端定义输出端定义的误差终值的误差终值e ess ss。0.01s1khR(s)C(s)(s)=1/kh0.01s/kh+1ts=3T=0.03/kh=0.3kh=0.1E(s)=1+G(s)H(s)1H(s)R(s)ess=3 稳态误差随稳态误差随增大而增大。增大而增大。开环增益开环增益K=KK=K1
45、1/，当，当r(t)=tr(t)=t时时，（3 3）开环传递函数）开环传递函数 （2 2），增大时，阻尼比增大，超调量减小。增大时，阻尼比增大，超调量减小。（1 1）特征方程）特征方程 D(s)=s D(s)=s2 2+K+K2 2s+Ks+K1 1K K2 2=0=0 0 0时，系统稳定；时，系统稳定；=0=0时，系统临界稳定。时，系统临界稳定。例例4 4.1919图中图中K K1 1、K K2 2为正常数，为正常数，为非负常数。分析：为非负常数。分析：（1 1）值对稳定性的影响；值对稳定性的影响；（2 2）值阶跃响应动态性能的影响；值阶跃响应动态性能的影响；（3 3）值单位斜坡响应稳态误差
46、的影响。值单位斜坡响应稳态误差的影响。K11/s_R(s)c(s)E(s)解解:初始斜率=10010tC(t)(b)例例4 4.21.21 如图，系统如图，系统e ess ss=0=0，求，求K K、T T和和 的值。的值。解：解：qr(t)=1(t)r(t)=1(t)，e ess ss=0=0，G(s)G(s)应是应是I I型及型及I I型以上系统，即型以上系统，即 1 1。q由（由（b b）收敛，系统稳定，）收敛，系统稳定，特征式特征式D(s)=TsD(s)=Ts+1+1+s+s+s+a=0+s+a=0不能缺项，应有不能缺项，应有 2 2。q若若 =2 =2，分母、分子多项式最高次幂的差为
47、，分母、分子多项式最高次幂的差为3-1=23-1=2，此时单，此时单位阶跃响应的初始斜率为位阶跃响应的初始斜率为(a)R(S)C(S)_1/K结果与题意不符结果与题意不符，取取1 1K=10K=10有有由由(b)(b)图图 4 4.6.3.6.3扰动作用下的误差扰动作用下的误差q扰动作用下的稳态误差值反映了系统的扰干扰能力。扰动作用下的稳态误差值反映了系统的扰干扰能力。q理想状态下，系统对任意形式的扰动，稳态误差应该为零，理想状态下，系统对任意形式的扰动，稳态误差应该为零，但实际情况却不是这样。但实际情况却不是这样。开环传递函数开环传递函数G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)N(s)C
48、(s)扰动作用下的误差传函扰动作用下的误差传函扰动单独作用时，输出扰动单独作用时，输出 例例4 4.22.22图示，图示，N(s)=2/sN(s)=2/s。求。求K=40K=40，K=20K=20时系统在扰动作用下时系统在扰动作用下的稳态输出及稳态误差的稳态输出及稳态误差。解：解：E(s)=R(s)-H(s)C(s)E(s)=R(s)-H(s)C(s)代入代入C(s)=GC(s)=G1 1(s)G(s)G2 2(s)E(s)+G(s)E(s)+G2 2(s)N(s)(s)N(s)得得 令令R(s)=0R(s)=0，得，得N(s)N(s)作用下的输出作用下的输出误差表达式误差表达式2.5R(s)
49、E(s)N(s)C(s)扰动下的稳态输出扰动下的稳态输出将将N(s)N(s)、G G1 1(s)(s)、G G2 2(s)(s)、H(s)H(s)的表达式代入上式，得的表达式代入上式，得当当K=40K=40时时,当当K=20K=20时，时，K K减小使稳态输出增大，稳态误差的绝对值也增大减小使稳态输出增大，稳态误差的绝对值也增大.总误差总误差e ess ss=e=essrssr+e+essnssn例例4 4.23.23求图示系统的稳求图示系统的稳态误差态误差e ess ss。其中其中 r(t)=t,n(t)=-1(t)r(t)=t,n(t)=-1(t)解：解：令令n(t)=0,n(t)=0,E
50、r(s)=-H(s)C(s)R(s)因为系统稳定因为系统稳定,essr=limsEr(s)=s01令令r(t)=0,r(t)=0,En(s)=-Cn(s)H(s)essn=limsEn(s)=10sess=4145=+1s(s+1)(0.2s+1)+4 4(0.2s+1)s.1=s(s+1)(0.2s+1)+4s(s+1)(0.2s+1)s2.1=2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2(s)例例4.24 无零点单位反馈二阶系统无零点单位反馈二阶系统c(t)c(t)曲线如图示，曲线如图示，1 1、试求出该系统的开环传递函数及参数；、试求出该系统的开环传递函数及参数；2 2、确定串