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1、3-2 稳定性分析3-3 稳态误差计算3-1 一阶和二阶系统的分析和计算第三章 线性系统的时域分析法第三章 线性系统的时域分析法在典型输入信号作用下,任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成.(1)动态过程:又称过渡过程或瞬态过程,(2)稳态过程:当时间t趋于无穷时,系统输出量的表现方式.控制器电炉测量元件r(t)c(t)r(t)01tc(t)01tc(t)01tc(t)01tc(t)01t动态过程动态过程稳态过程稳态过程动态性能：延迟时间延迟时间 t td d上升时间上升时间 t tr r 峰值时间峰值时间 t tp p调节时间调节时间 t ts s超调量超调量%:%:稳态
2、性能-稳态误差ess3-2 稳定性分析1.1.稳定的概念和定义稳定的概念和定义 定义定义:在扰动发生后在扰动发生后,系统的过渡过程是衰减的系统的过渡过程是衰减的(即系统能即系统能 回到平衡状态回到平衡状态)则该系统是稳定的则该系统是稳定的.2.2.稳定的充要条件稳定的充要条件特征方程特征方程 D(s)=0D(s)=0系统的脉冲响应为：系统的脉冲响应为：特征根实部特征根：r(t)0tc(t)0tc(t)0tc(t)0tj0s s特征根全部位于左半S平面 稳定判据 设设:a:a0 000 (1)(1)稳定必要条件稳定必要条件 a ai(i=0,1,2,n)i(i=0,1,2,n)00 (2)(2)
3、劳思稳定判据劳思稳定判据 1)1)劳思表劳思表 c cij ij=c c=c c c c c c i-i-列；列；j-j-行行 c cS Sn na a0 0a a2 2a a4 4a a6 6S Sn-1n-1a a1 1a a3 3a a5 5a a7 7S Sn-2 n-2 c c1313c c2323c c3333c c4343S Sn-3n-3c c1414c c2424c c3434c c4444S Sn-4n-4c c1515c c2525c c3535c c4545 S S2 2C C1,n-11,n-1C C2,n-12,n-1S S1 1C C1,n1,nS S0 0C C
4、1,n+11,n+1=a=an n稳定充分必要条件稳定充分必要条件C C1,j 1,j 0 0(j=0,1n+1)(j=0,1n+1)例例:设系统特征方程为设系统特征方程为 s s4 4+2s+2s3 3+3s+3s2 2+4s+5=0+4s+5=0试用劳思判据试用劳思判据判断该系统的稳定性判断该系统的稳定性.解解:该系统劳思表为该系统劳思表为 s s4 4 1 3 5 1 3 5 s s3 3 2 4 02 4 0 s s2 2 (23-14)/2=1 5 0(23-14)/2=1 5 0 s s1 1 (14-25)/1=-6(14-25)/1=-6 s s0 0 5 5 由于劳思表的第一
5、列系数有两次变号由于劳思表的第一列系数有两次变号,故该系统不稳定故该系统不稳定,且有两个正根且有两个正根.2)2)劳斯稳定判据的特殊情况劳斯稳定判据的特殊情况.劳思表中某行的第一列项为零劳思表中某行的第一列项为零,而其余各项不为零而其余各项不为零,或或不全为零不全为零.例例:特征方程为特征方程为D(s)=sD(s)=s3 3-3s+2=0-3s+2=0 其劳思表为其劳思表为 s s3 3 1 -31 -3 s s2 2 0 2 0 2 s s2 2 D(s)(s+a)=0 (a0)D(s)(s+a)=0 (a0)若若:D(s)(s+3)=0 s:D(s)(s+3)=0 s4 4+3s+3s3
6、3-3s-3s2 2-7s+6=0-7s+6=0 列出新的劳思表如下列出新的劳思表如下:s s4 4 1 -3 6 1 -3 6 s s3 3 3 -7 0 3 -7 0 s s2 2 -2/3 6 0 -2/3 6 0 s s1 1 20 0 0 20 0 0 s s0 0 6 6 由新劳思表可知由新劳思表可知,第一列有两次符号变化第一列有两次符号变化,故系统不稳定故系统不稳定,且有两个且有两个正实根正实根.劳思表中出现全零行劳思表中出现全零行.例例:已知系统特征方程为已知系统特征方程为 D(s)=s D(s)=s6 6+s+s5 5-2s-2s4 4-3s-3s3 3-7s-7s2 2-4
7、s-4=0-4s-4=0 试用劳思判据判断该系统的稳定性试用劳思判据判断该系统的稳定性.s s6 6 1 -2 -7 -4 1 -2 -7 -4 s s5 5 1 -3 -4 1 -3 -4 s s4 4 1 -3 -4 (1 -3 -4 (辅助方程辅助方程F(s)=0F(s)=0系数系数)s s3 3 0 0 0 0 0 0用全零行前一行系数构造辅助方程用全零行前一行系数构造辅助方程:F(s)=s F(s)=s4 4-3s-3s2 2-4=0-4=0辅助方程对辅助方程对s s求导求导,得得:4s:4s3 3-6s=0-6s=0 用导数方程的系数取代全零行相应的元得到用导数方程的系数取代全零行
8、相应的元得到:s s6 6 1 -2 -7 -4 1 -2 -7 -4 s s5 5 1 -3 -4 0 1 -3 -4 0 s s4 4 1 -3 -4 1 -3 -4 s s3 3 4 -6 0 (dF(s)/d(s)=0 4 -6 0 (dF(s)/d(s)=0 系数系数)s s2 2 -1.5 -4 -1.5 -4 s s1 1 -16.7 0 -16.7 0 s s0 0 -4 -4由于劳思表第一列数值有一次符号变化由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定故系统不稳定,且且有一个正实部根有一个正实部根.其其特征根特征根是是2,j,(-1j3)/22,j,(-1j3)/2 辅助
9、方程辅助方程:F(s)=s:F(s)=s4 4-3s-3s2 2-4=(s-4=(s2 2-4)(s-4)(s2 2+1)=0+1)=03)3)劳思稳定判据的应用劳思稳定判据的应用例例:设比例设比例-积分积分(PI)(PI)控制系统如图所示控制系统如图所示.其中其中,K,K1 1为与积分器为与积分器时间常数有关的待定参数时间常数有关的待定参数.G(s)=.G(s)=n n2 2 /s(s+2/s(s+2n n)已知参数及已知参数及 n n=86.6,=86.6,试用劳思稳定判据确定使闭环系统试用劳思稳定判据确定使闭环系统稳定的稳定的K K1 1取值范围取值范围.G(s)G(s)解解:根据图写出
10、系统的闭环传递函数为根据图写出系统的闭环传递函数为因而闭环特征方程为因而闭环特征方程为代入已知的代入已知的 和和 n n列出相应的劳思表列出相应的劳思表:s s3 3 1 7500 1 7500 s s2 2 34.6 7500 K 34.6 7500 K1 1 s s1 1 (750034.6-7500 K (750034.6-7500 K1 1)/34.6 0)/34.6 0 s s0 0由劳思稳定判据由劳思稳定判据,令劳思表中第一列各元为正令劳思表中第一列各元为正,750034.6-7500 K750034.6-7500 K1 1 0 07500 K7500 K1 1 00得系统稳定的得
11、系统稳定的K K1 1值范围为值范围为 0 K0 K1 1如果要求闭环系统的极点全部位于如果要求闭环系统的极点全部位于s=-1s=-1垂线之左垂线之左,问问 K1K1值范围又应值范围又应取多大取多大?可令可令s=ss=s1 1-1,-1,代入原特征方程代入原特征方程,得到如下新特征方程得到如下新特征方程:(s (s1 1-1)-1)3 3+34.6(s+34.6(s1 1-1)-1)2 2+7500(s+7500(s1 1-1)+7500K-1)+7500K1 1=0=0整理得整理得相应的劳思表为相应的劳思表为 s s1 13 3 s s1 12 2 31.6 7500K 31.6 7500K
12、1 1 s s1 11 1 (31.67433.88-7500 K (31.67433.88-7500 K1 1+7466.4)/31.6 0+7466.4)/31.6 0 s s1 10 0 7500 K7500 K1 1令劳思表中第一列各元为正令劳思表中第一列各元为正,即使得全部闭环极点位于即使得全部闭环极点位于s=-1s=-1垂线之垂线之左的左的K K1 1的取值范围的取值范围:1K 11essn=-1/G1(0)减小及消除的essn方法1.G1(0)=K1 essn 2.G1(s)=k1/s essn=lims/k1=0令N（s）=1/sessn=-G2(0)H(0)/1+G1(0)G
13、2(0)H(0)例例:系统如图所示。图系统如图所示。图中中R(s)=RR(s)=R0 0(s)/s(s)/s为阶为阶跃输入信号跃输入信号;M;M为比例为比例控制器输控制器输;N(s)=n;N(s)=n0 0/s/s为阶跃扰动为阶跃扰动.试求系统试求系统的稳态误差的稳态误差.解解:令扰动令扰动N(s)=0.N(s)=0.型系统型系统 系统对阶跃输入信号的稳态误系统对阶跃输入信号的稳态误差为零差为零.令令R(s)=0,R(s)=0,扰动作用下误差信号为扰动作用下误差信号为 系统在阶跃扰动转矩作用下的稳态误差系统在阶跃扰动转矩作用下的稳态误差问：当问：当N(s)=nN(s)=n0 0/s/s时，为使
14、时，为使e essnssn=0,=0,则则G G1 1(s)=?(s)=?解：设解：设G G1 1(s)=K(s)=K1 1/s/s则则e essnssn=limsE(s)=lim(-sk=limsE(s)=lim(-sk2 2n)/sn)/s2 2(Ts+1)+k(Ts+1)+k1 1k k2 2=0=0D(s)=sD(s)=s2 2(Ts+1)+k(Ts+1)+k1 1k k2 2=Ts=Ts3 3+s+s2 2+k+k1 1k k2 2=0=0设设G G1 1(s)=k(s)=k1 11+(1/T1+(1/T1 1s)s)D(s)=TD(s)=T1 1TsTs3 3+T+T1 1s s2
15、 2+k+k1 1k k2 2T T1 1s+ks+k1 1k k2 2=0=0当当T T1 12 2k k1 1k k2 2TT1 1TkTk1 1k k2 2 即即 T T1 1TT时时可使可使e essnssn=limsE(s)=0=limsE(s)=0不稳定稳定(s)=c(s)/R(s)=k/(s+k)=1/(Ts+1)(s)=c(s)/R(s)=k/(s+k)=1/(Ts+1)-时间常数时间常数 T=1/k (kT=1/k (k为开环增益为开环增益)2)2)单位阶跃响应单位阶跃响应 r(t)=1(t)R(t)=1/sr(t)=1(t)R(t)=1/s c(s)=(s)R(s)=1/(
16、Ts+1)1/s=(Ts+1-Ts)/(Ts+1)s c(s)=(s)R(s)=1/(Ts+1)1/s=(Ts+1-Ts)/(Ts+1)s =1/s-T/(Ts+1)=1/s-T/(Ts+1)h(t)=c(t)=1-e h(t)=c(t)=1-e-t/T-t/T=c=cs s+c+ct t t 0t 03-1 3-1 一阶和二阶系统的分析和计算一阶和二阶系统的分析和计算一阶系统一阶系统:1)1)数学模型数学模型一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应,具备如下两个重具备如下两个重要特点要特点:.可用时间常数可用时间常数T T去度量系统的输出量的数值去度量系统的输出量
17、的数值.响应曲线的斜率初始值为响应曲线的斜率初始值为1/T.1/T.动态性能指标动态性能指标:t:td d t tr r t ts s=3T=3T峰值时间峰值时间t tp p和超调量和超调量%都不存在都不存在.3)3)单位脉冲响应单位脉冲响应 r(t)=(t)R(s)=1 r(t)=(t)R(s)=1 c(s)=1/(Ts+1)c(s)=1/(Ts+1)c(t)=(1/T)e c(t)=(1/T)e-t/T-t/T t t 004)4)单位斜坡响应单位斜坡响应 r(t)=t R(s)=1/sr(t)=t R(s)=1/s2 2 c(s)=1/c(s)=1/s s2 2(Ts+1)(Ts+1)=
18、1/s1/s2 2-T/s+-T/s+T T2 2/(Ts+1)/(Ts+1)c(t)=(t-T)+Te c(t)=(t-T)+Te-t/T -t/T t t 00 c cs s c ct t k kv v=limsG(s)=lims(1/Ts)=limsG(s)=lims(1/Ts)=1/T=k=1/T=k e essss=R/K=R/Kv v=T=T二阶系统二阶系统:1)1)数学模型数学模型:n n -自然频率自然频率 -阻尼比阻尼比 (或相对阻尼系数或相对阻尼系数)2)2)单位阶跃响应单位阶跃响应 D(s)=sD(s)=s2 2+2+2n n s+s+n n2 2=0=0 0 (0 (负
19、阻尼负阻尼)闭环极点分布如图闭环极点分布如图:系统的动态过程为系统的动态过程为震荡发散或单调发散震荡发散或单调发散D(s)=sD(s)=s2 2+2+2n n s+s+n n2 2=0=0=0 (=0 (无阻尼无阻尼)特征方程有一对纯虚根特征方程有一对纯虚根,s,s1,21,2=j=jn n c(s)=c(s)=n n2 2/(s/(s2 2+n n2 2)s)s h(s)=1-cos h(s)=1-cosn nt tt t 00 闭环极点分布如图闭环极点分布如图:系统的阶跃响应为等幅震荡系统的阶跃响应为等幅震荡.c(t)0Rtc(t)0Rt 取拉氏反变换得取拉氏反变换得:001 (1 1 (
20、过阻尼过阻尼)s s1,21,2=-=-n n n n2 2-1-1设设输出量拉氏变换输出量拉氏变换:对上式取拉氏反变换对上式取拉氏反变换:c(t)0Rt欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析001 可选合适的可选合适的K K和和T Td d，使，使 e essss d d例例:设系统设系统 G(s)=k(1+TG(s)=k(1+Td ds)/s(1.67s+1)H(s)=1s)/s(1.67s+1)H(s)=1 求当求当r(t)=tr(t)=t时时,e,essss且且 d d=0.5,=0.5,选择选择k k和和T Td d.解解:一型系统一型系统 e essss=R/k=
21、R/kv v=1/k=1/kv v k=k k=kv v=1/=1/e essss=1/0.2=5=1/0.2=5 当当T Td d=0=0时时 D=sD=s2 2+0.6s+3=0+0.6s+3=0 2 2n n=0.6 =0.6 n n2 2=3 =3 n n由由 +(1/2)T+(1/2)Td d n n =d d则则 T Td d =(2/=(2/n n)()(d d 动态性能指标动态性能指标:t:tr r=0.7s T=0.7s Tp p =1.63s=1.63s%=42.4%T%=42.4%Ts s =3.73s (=3.73s (步骤略步骤略)例例:测速反馈控制测速反馈控制静态静
22、态:G(s)=C(s)/E(s)=:G(s)=C(s)/E(s)=n n2 2/s(s+2/s(s+2n n+k+kt t n n2 2)一型一型:k:kv v=limsG(s)=limsG(s)=n n/(2+k/(2+kt t n n)e esrsr=1/k=1/kv v=(2+k=(2+kt t n n)/)/n n=2/=2/n n+k+kv v动态动态:(s)=(s)=n n2 2/s/s2 2+(2+(2n n+k+kt t n n2 2)s+)s+n n2 2 D(s)=s D(s)=s2 2+(2+(2n n+k+kt t n n2 2)s+)s+n n2 2=0=0 n n=
23、const=const t t=+(1/2)k=+(1/2)kt t n n d d=+(1/2)T=+(1/2)Td d n n 例例:图示系统图示系统:1):1)当当k kt t=0=0时的各项指标时的各项指标.2)2)t t时的时的k kt t 及各项性能指标及各项性能指标.解解:1)k:1)kt t=0 G(s)=10/s(s+1)=0 G(s)=10/s(s+1)e essss=1/k=1/kv v而而 n n则则%=60%t%=60%ts s=7=7 t td d=0.35 t=0.35 tr r=0.55 t=0.55 tp p2)2)由由 t t=+(1/2)k=+(1/2)k
24、t t n n=0.5 k=0.5 kt t G(s)=C(s)/E(s)=10/s(s+1+10k G(s)=C(s)/E(s)=10/s(s+1+10kt t)一型一型:e:essss=1/kv=lim s G(s)=(1+10k=1/kv=lim s G(s)=(1+10kt t)/10=0.316)/10=0.316 则则%=16.3%t%=16.3%ts s t td d=0.43 t=0.43 tr r=0.77 t=0.77 tp p P-DP-D控制与测速反馈控制的比较控制与测速反馈控制的比较控制与测速反馈控制的比较控制与测速反馈控制的比较1)1)附加阻尼来源附加阻尼来源:P-
25、D:P-D控制的阻尼作用产生于系统的输入端控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统误差信号的速度而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统 输出响应速度输出响应速度,因此对于给定的开环增益和指令输入速因此对于给定的开环增益和指令输入速度度,后者对应较大的稳态误差后者对应较大的稳态误差.2)2)使用环境使用环境:P-D:P-D控制对噪声有明显的放大作用控制对噪声有明显的放大作用,当系统输入当系统输入端噪声严重时端噪声严重时,一般不宜选用一般不宜选用P-DP-D控制控制.3)3)对开环增益和自然频率的影响对开环增益和自然频率的影响:P-D:P-D控制对系统的开环增控
26、制对系统的开环增益和自然频率均无影响益和自然频率均无影响;测速反馈控制虽不影响自然频测速反馈控制虽不影响自然频率率,但会降低开环增益但会降低开环增益.4)4)对于动态性能的影响对于动态性能的影响:P-D:P-D控制相当于在系统中加入实零控制相当于在系统中加入实零点点,可以加快上升时间可以加快上升时间.在相同阻尼比的条件下在相同阻尼比的条件下,P-D,P-D控制控制的超调量大于测速反馈系统的超调量的超调量大于测速反馈系统的超调量.S=-1/TS=-1/Td d=-a =-a 设无闭环零点系统设无闭环零点系统 0 0(s)(s)则有闭环零点系统则有闭环零点系统 (s)=(s)=0 0(s)(1+s/a)(s)(1+s/a)=0 0(s)(a+s)/a(s)(a+s)/a 对应对应 h h0 0(t)(t)h(t)=h h(t)=h0 0(t)+h(t)+h0 0(t)/a(t)/a则在相同闭环极点时，有闭环零点系统比无闭环零点系统则在相同闭环极点时，有闭环零点系统比无闭环零点系统 ：响应速度加快，超调量变大。响应速度加快，超调量变大。c(t)0Rt