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1、4.1 数学期望一 、离散型随机变量的数学期望引例有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：已知随机变量的概率分布，如何计算其平均值？下页解：“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。第1页/共32页引例有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出分析：若甲射击N次，设击中环、环和环的次数分别为次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为由于概率是频率的稳定中心，以表示甲的平均击中环数则下页第2页/共32页引例有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出解：甲射手的水平较高。由于可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。下页第3页/共32页定义 设离散型随
2、机变量X X的概率分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3若级数，则称级数和为随机变量 X 的数学期望（或均值），记作E（X）随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不下页应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在第4页/共32页解:易知 X 1 3 P 0.4 0.6 下页 例1 设随机变量的 分布列为求 若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 是指甲队平均每次可得分第5页/共32页 例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随
3、机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率 0.2 0.4 0.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望解 设乘客的候车时间为 ,若该乘客8:20到车站，而8点到9点的一该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08趟车已于8:10开走，第二趟车9:10开，则他候车的时间为50 min，对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率,即的分布列为第6页/共32页 例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10
4、点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率 0.2 0.4 0.4解:某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望候车时间 的分布列为 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08从而该乘客候车时间的数学期望为第7页/共32页求随机变量X和Y的数学期望于是有解 由 的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为 例3 设二维离散型随机变量 的联合概率分布表为 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 1 2 5/8 3/8 1 2 3
5、 3/8 1/4 3/8第8页/共32页下页定理定理1 设二维离散型随机变量 的联合概率分布为则 证:关于X的边缘分布为于是有 同理可得 第9页/共32页定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如果积分收敛，记作E（X），即说明：如果积分 不收敛 ，则称随机变量 X 的数学期望不存在。下页则称积分值 为X的数学期望（或均值）。二、连续型随机变量 的数学期望的数学期望第10页/共32页试证X的数学期望不存在证 因为 下页例例4 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为即 不收敛，所以X的数学期望不存在 第11页/共32页求X的数学期望.例5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时
6、间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为下页解 由已知可得 第12页/共32页例例6 设二维连续型随机变量的概率密度函数为解 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为求E（X），E（Y）于是有 下页第13页/共32页则有 定理定理2 设二维连续型随机变量 的概率密度函数为 f(x,y)下页于是有 证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为第14页/共32页 三、随机变量函数的数学期望下页如果级数 收敛，则有 定理3 设 是随机变量，是的连续函数，则有(1)若 为离散型变量，其概率函数为(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分 收敛则有第15页/共32页3.如果(X,Y)为
7、离散型随机向量，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj=pij k=1,2,3,则Z=g(X,Y)的数学期望为 4.设二维随机向量（X，Y）为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y)，则Z=g(X,Y)的数学期望为：下页第16页/共32页下页解 因为 分布律为 所以 其中 求例7：设随机变量 ，第17页/共32页解 例8 设二维随机变量 的密度函数为 下页求 第18页/共32页解 例9 设二维随机变量 的密度函数为 下页求 第19页/共32页例9 设二维随机变量 的密度函数为 求 解 第20页/共32页 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服
8、从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?解 设每年准备该种商品y t 得到平均利润为下页则利润为第21页/共32页 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?解下页利润为得到平均利润为当y=2400时，取到最大值，故每年准备此种商品2400 t，可使平均利润达到最大第22页/共32页证 可将C看成离
9、散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定义即得E(C)=C.2.设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)下页证 设X的密度函数为 ，则有 3.设 为任意两个随机变量，都有 四、数学期望的性质 1.设C为常数，则有E(C)=C 第23页/共32页下页 3.设 为任意两个随机变量，都有 证 设二维随机变量 的密度函数为 ，边缘密度函数分别为和 则四、数学期望的性质推广到任意有限多个随机变量之和的情形 第24页/共32页4.设 为相互独立的随机变量，则有 证 因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足 推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形 所以 下页第25页/共
10、32页解 设随机变量例11 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求 i=1,2,10下页由题意，任一旅客在第i个车站不下车的概率为 表示第i站没有旅客下车，故20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为，于是得的分布律如下：Xi 0 1 P 0.920 1-0.920第26页/共32页例11 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站
11、下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求 解 随机变量下页 Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=10.920 这表明班车平均停车约9次 第27页/共32页解 例12 设二维随机变量 的密度函数为 下页试验证 ，但X和Y是不独立的第28页/共32页解例12 设二维随机变量 的密度函数为 下页试验证 ，但X和Y是不独立的所以X的边缘密度函数同理可得Y的边缘密度函数为 显然有 ，故X和Y是不独立的第29页/共32页1.离散型2.连续型3.Y=g（X）Y=g（X，Y）小 结第30页/共32页结束下页作业：97页 4，5，6，7第31页/共32页谢谢您的观看！第32页/共32页