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1、定义定义1 1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1+u2+u3+un+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项.一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念第1页/共74页级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：第2页/共74页第3页/共74页 我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和，容易写出：第4页/共74页定义定义2 2 如果级数 部分和数列 有极限s，即则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有若 无极限，则称无穷级数 发散.注意:称为级数的余项，为 代替
2、s所产生的误差.第5页/共74页第6页/共74页 二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性质性质1 1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.第7页/共74页性质性质2 2 如果级数 、分别收敛于即第8页/共74页性质性质3 3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质性质4 4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.第9页/共74页注意：注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.第10页/共74页性质性质5 5(收
3、敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项 趋于零，即级数第11页/共74页结论：结论：由此我们可得第12页/共74页注意:级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.第13页/共74页第二节第二节 正项级数及其敛散性正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法第14页/共74页 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法定义定义 设级数的每一项都是非负数,则称此级数是 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即正项级数.第15页/共74页定理定理1
4、1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.第16页/共74页证明证明:这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.第17页/共74页定理定理2 2(比较审敛法)设 和 都是正项级数，且若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 也发散.二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法第18页/共74页则有：若 发散，则 也发散;且当 时，有 成立，则有：若 收敛，则 也收敛.推论推论设级数 和 是两个正项级数，且存在自然数N，使当 时，有（k0)成立，第19页/共74页例例2 2 判定p-级数的敛散性.常数 p0.第20页/共74页第21页/
5、共74页由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.第22页/共74页第23页/共74页由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；第24页/共74页定理定理(达朗贝尔比值判别法)设 为正项级数，如果(1)当 时，级数收敛；(3)当 时，级数可能收敛，可能发散.(2)当 ()时，级数发散.三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法第25页/共74页第26页/共74页第27页/共74页例例7 7 判别级数解解:由比值判别法可知所给级数发散.第28页/共74页此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定;第29页/共74页第三节绝对收敛与条件收敛第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及
6、其敛散性一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛第30页/共74页 一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法定义定义 正负项相间的级数，称为交错级数.第31页/共74页定理定理1 1(莱布尼兹定理)则级数收敛，且其和 ，并且其余项 的绝对值:(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即 如果交错级数第32页/共74页证明证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2n0和R20，则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.第54页/共74页性质性质1 1 如果幂级数 的和函数s(x)在其
7、收敛域I上连续.性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式第55页/共74页即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第56页/共74页性质性质3 3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第57页/共74页第58页/共74页第59页/共74页第60页/共74页第五节第五节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第61页/共74页 一、泰勒级数一
8、、泰勒级数定义定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.第62页/共74页定理定理1 1(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：其中：第63页/共74页公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.第64页/共74页定理定理2 2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：第65页/共74页 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：第66页/共74页第67页/共74页第68页/共74页第69页/共74页间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.第70页/共74页分别令q=x、x2有：第71页/共74页将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：第72页/共74页第73页/共74页感谢您的观看！第74页/共74页