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1、第一节第一节 无穷级数的概念和性质无穷级数的概念和性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念二、级数的基本性质二、级数的基本性质一 、无穷级数的概念定义9.1 对于数列u1,u2, , un, ，用“+”号将其连接起来，得 u1+u2+un+,简记为 .称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项.1nnu无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加”运算？“相加”的结果是什么？定义9.2 称为级数 的前n项和.简称部分和.121 ( =1,2,)nniniSuuuun1nnu由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列1iiu，,21nSSS若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和
2、，记为 .若 不存在，则称级数 发散.SSnnlim1nnuSunn1nnSlim1nnu定义9.3 若 收敛，则称1nnu21nnnnuuSSr为级数 的余项.1nnu), 2 , 1(0nun定义9.4 若 中每项 皆为数，则称 为数项级数.1nnunu1nnu若 ，则称 为正项级数.1nnu例1 试判定级数 的收敛性.111111innu解 所给级数的前n项和,111111nuSniniin,limlimnSnnn因此所给级数 发散.11111n例2 判定级数 的收敛性.12111nnnrrrr解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给几何级数转化为例1，可知其发散.若 ，所
3、给级数前n项和1r.111 11 112rrrrrrrrSnnnn当|r|1时， ，因而 不存在，即级数 发散.rrnn1limnnSlim11nnr当r= 1时 ， 其前n项和. , 1 , 0为奇数为偶数，nn1) 1(1111nnS.111111nnrnnSlim可知 不存在.因此 发散.11) 1(nn . 1| , 1| ,1111rrrrnn发散收敛，且和为综合上述，可知例3 判定级数 的收敛性.1) 12)(12(2nnn) 12)(12(2532312nnSn解 所给级数的前n项和, 11211limlimnSnnn可知故所给级数收敛，且和为1.1211217151513131
4、11nn,1211n二、 级数的基本性质性质1 (1) 若级数 收敛，其和为S，又设k为常数，则 也收敛，且和为kS.1nnu1nnku(2)若 发散，且k0，则 必定发散.1nnu1nnku1nnu证 (1)设 ，由于 收敛， 因此应有 .nnuuuS21SSnnlim, )( 2121nnnnkSuuukkukuku又设由极限的性质可知,limlimlimkSSkkSnnnnnn即 收敛，且其和为kS.1nnku1nnku故 发散.(2)用反证法.若 设 收敛，则由()知 亦收敛，矛盾.1nnku11)(1nnnnukuk, 01kunn收敛，例4 判定级数 的收敛性.)0(11aarnn
5、解 由例2与性质1可知. 1| , 1| ,111rrraarnn发散为性质2 若 收敛，其和为S； 收敛，其和，则 必收敛，其和为 .1nnu1nnv1)(nnnvuS推论 若 收敛, 发散,则 必定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu例5 判定 的收敛性.1113521nnn解 注意到 与 皆为几何级数， 其公比分别为 与 ，111135 21nnnn31 21rr由例4可知 与 皆收敛，且111135 21nnnn, 221112111nn,21531153511nn由性质8.2可知 收敛，且其和为 .1113521nnn2192152性质3 在 中去掉或添加有限项，所得新级数与原来级
6、数的收敛性相同.1nnu证 在 中去掉或添加有限项所成新级数记为 ，当项数给定之后，两者的部分和之差是一个常数，因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数的收敛性相同.1nnu1nnv性质8.3表明，级数 的收敛性，与其前面有限项无关，而是取决于n充分大以后的 的状况.1nnunu例6 判定 的收敛性.n21212143解 级数 为等比级数，公比 ，21rn21212121211432.21212143收敛n由性质8.3可知.21212121211 432收敛因此n性质4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和不变.证 若 收敛.任意添括号得到一个新级数，如nuuu21).( )()(21
7、321nmSuuuuuuuummmkn第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m项之和.由于 ，所以 .因此SSmmlimSSnnlim,limlimSSmmnn即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.注意 收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级数.例如 (11)+(11)+ +(11)+ 收敛于0，但是去括号后可得新级数为发散级数.1) 1(1111n (1) 若 收敛， 发散，则 必定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu (2) 若 发散， 也发散，则 不一定发散.1nnu1nnv1)(nnnvu(3) 若 发散，则 与 不一定都发散.1nnu1nnv1)(nnnvu(4) 若添号之后
8、的级数发散，则原级数必定发散. (5) 若 发散，则添括号的新级数不一定发散.1nnu以下命题请给出证明或反例.性质5 (级数收敛的必要条件) 若 收敛，则必有1nnu. 0limnnu证 这只需注意 . 由于 收敛，因此 .1nnu1nnnSSuSSSSnnnn1limlim， 有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级数的通项的极限为零，并不一定能保证 收敛.1nnu. 0limlim )(limlim11SSSSSSunnnnnnnnn由极限的运算可知例7 判定级数 的收敛. 解 添括号得到新级数：n131211取其前n项(每个括号内算一项)，记其和为 ，则n 项项项项2322112222
9、121161161 818141412121nnnn1619181514131211,2212121nn项可见 ，即添号以后的级散发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛，由性质8.4知，添号以后级数亦必收敛，从而矛盾.nnlimnnn13121111级数称为调和级数. 调和级数 的一般项 ，它满足 但 不收敛. nn1nun1, 0limnnunnu利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知：若 或 不存在，则 必定发散. 这个性质可以作为判定级数发散的充分准则.nnnnuulim 0lim1nnu例8 判定级数 的收敛性.214332nn解 所给级数的通项 ，21nnun, 0121limlimnnunnn可知 为发散级数.214332nn例9 思考题设级数 为收敛级数，则下列级数收敛的有( )1nnu;2 .A1nnu; )2( .B1nnu;2 .C1nnu. .Dknnu分析 由级数的基本性质8.1及题设条件可知A收敛.由级数的基本性质8.3可知C，D也收敛.综合之，本例应选A，C，D.由于 收敛，由性质8.4(级数收敛的必要条件)可知 ，因此 .由级数发散的充分条件可知 发散.即B不收敛.1nnu0limnnu1)2(nnu02)2lim(nu