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1、会计学1无穷无穷(wqing)级数的概念与性质级数的概念与性质第一页，共74页。定义定义1 1 若有一个无穷数列若有一个无穷数列(shli)(shli)u1 u1，u2u2，u3u3，unun，此无穷数列此无穷数列(shli)(shli)构成下列表达式构成下列表达式 u1+u2+u3+u1+u2+u3+un+un+(1)(1)称以上表达式为称以上表达式为(常数项常数项)无穷级数，简称无穷级数，简称(常数常数项项)级数，记为级数，记为其中第n项un叫作级数(j sh)的一般项或通项.一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念第1页/共74页第二页，共74页。级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作
2、Sn.即：第2页/共74页第三页，共74页。第3页/共74页第四页，共74页。我们以级数的前n项和作为(zuwi)研究无穷多项和的基础.由级数(j sh)(1)的前n项和，容易写出：第4页/共74页第五页，共74页。定义定义2 2 如果如果(rgu)(rgu)级数级数 部分和数部分和数列列 有极限有极限s s，即，即则称无穷级数 收敛(shulin).s称为此级数的和.且有若 无极限，则称无穷(wqing)级数 发散.注意:称为级数的余项，为 代替s所产生的误差.第5页/共74页第六页，共74页。第6页/共74页第七页，共74页。二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性质性质1 1 若级
3、数若级数 收敛收敛(shulin)(shulin)于和于和s s，则它的各项同乘以一个常数则它的各项同乘以一个常数k k所得的级数所得的级数 也收敛也收敛(shulin)(shulin)，且其和为，且其和为ks.ks.第7页/共74页第八页，共74页。性质性质2 2 如果级数如果级数(j sh)(j sh)、分别分别收敛于收敛于即第8页/共74页第九页，共74页。性质性质3 3 在级数在级数(j sh)(j sh)前面加上或去掉有限项，前面加上或去掉有限项，不影响级数不影响级数(j sh)(j sh)的敛散性的敛散性.性质性质4 4 如果级数如果级数(j sh)(j sh)收敛，则对这级收敛，
4、则对这级数数(j sh)(j sh)的项任意加括号后所成的级数的项任意加括号后所成的级数(j sh)(j sh)仍收敛，且其和不变仍收敛，且其和不变.第9页/共74页第十页，共74页。注意：发散级数加括号后有可能收敛注意：发散级数加括号后有可能收敛(shulin)(shulin)，即，即加括号后级数收敛加括号后级数收敛(shulin)(shulin)，原级数未必收敛，原级数未必收敛(shulin).(shulin).推论推论(tuln)(tuln)：如果加括号以后所成的级数发散，：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散则原级数也发散.第10页/共74页第十一页，共74页。性质性质5 5(
5、收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项 趋于零，即级数(j sh)第11页/共74页第十二页，共74页。结论结论(jiln)：由此我：由此我们可得们可得第12页/共74页第十三页，共74页。注意:级数收敛的必要条件常用于级数发散(fsn)的判定.第13页/共74页第十四页，共74页。第二节第二节 正项级数正项级数(j sh)(j sh)及其及其敛散性敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别二、正项级数收敛的比较判别(pnbi)(pnbi)法法三、正项级数收敛的比值判别三、正项级数收敛的比值判别(pnbi)(pnbi)法法第14页/共74页第十
6、五页，共74页。一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法定义定义(dngy)(dngy)设级数设级数的每一项都是非(shfi)负数,则称此级数(j sh)是 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即正项级数.第15页/共74页第十六页，共74页。定理定理1 1 正项级数正项级数 收敛的充分收敛的充分(chngfn)(chngfn)必必要条件是：它的部分和数列要条件是：它的部分和数列snsn有界有界.第16页/共74页第十七页，共74页。证明证明:这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以(suy)原级数收敛.第17页/共74页第十八页，共74页。定理定理2 2(比较审敛法)设 和
7、 都是正项级数，且若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 也发散.二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法第18页/共74页第十九页，共74页。则有：若 发散(fsn)，则 也发散(fsn);且当 时，有 成立，则有：若 收敛，则 也收敛.推论设级数推论设级数 和和 是两个是两个(lin)(lin)正项级正项级数，且存在自然数数，且存在自然数N N，使当，使当 时，有（时，有（k0)k0)成立，成立，第19页/共74页第二十页，共74页。例例2 2 判定判定(pndng)p-(pndng)p-级数级数的敛散性.常数(chngsh)p0.第20页/共74页第二十一
8、页，共74页。第21页/共74页第二十二页，共74页。由此可得结论，p级数当 时发散(fsn)，p1时收敛.第22页/共74页第二十三页，共74页。第23页/共74页第二十四页，共74页。由比较判别法可知，所给级数(j sh)也发散.而级数(j sh)是发散(fsn)的；第24页/共74页第二十五页，共74页。定理定理(dngl)(dngl)(达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法)设设 为为正项级数，如果正项级数，如果(1)(1)当当 时，级数收敛；时，级数收敛；(3)当 时，级数(j sh)可能收敛，可能发散.(2)当 ()时，级数(j sh)发散.三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收
9、敛的比值判别法第25页/共74页第二十六页，共74页。第26页/共74页第二十七页，共74页。第27页/共74页第二十八页，共74页。例例7 7 判别判别(pnbi)(pnbi)级数级数解解:由比值判别(pnbi)法可知所给级数发散.第28页/共74页第二十九页，共74页。此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定;第29页/共74页第三十页，共74页。第三节绝对第三节绝对(judu)(judu)收敛与条件收敛与条件收敛收敛一、交错一、交错(jiocu)(jiocu)级数及其敛级数及其敛散性散性二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛第30页/共74页第三十一页，共74页。一、交错级数及其审敛
10、一、交错级数及其审敛法法定义定义(dngy)(dngy)正负项相间的级数，称为交错级数正负项相间的级数，称为交错级数.第31页/共74页第三十二页，共74页。定理定理(dngl)1(dngl)1(莱布尼兹定理莱布尼兹定理(dngl)(dngl)则级数收敛(shulin)，且其和 ，并且其余项 的绝对值:(1)级数(j sh)前项大于后项，即(2)级数(j sh)的通项趋于零，即 如果交错级数第32页/共74页第三十三页，共74页。证明证明:先证明前先证明前2n2n项的和项的和s2ns2n的极限存在，为此的极限存在，为此(wi(wi c)c)将将s2ns2n写成两种形式写成两种形式:由(1)式可
11、知s2n是单调(dndio)增加的；由(2)式可知s2n0和R20，则收敛半径(bnjng)R等于R1和R2中较小的一个.第54页/共74页第五十五页，共74页。性质性质(xngzh)1 (xngzh)1 如果幂级数如果幂级数 的和函数的和函数s(x)s(x)在其收敛域在其收敛域I I上连续上连续.性质(xngzh)2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式第55页/共74页第五十六页，共74页。即幂级数在其收敛(shulin)区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛(shulin)半径.第56页/共74页第五十七页，共74页。性质性质3 3
12、幂级数幂级数 的和函数的和函数s(x)s(x)在其收敛区间在其收敛区间(q jin)(R,+R)(q jin)(R,+R)内可导，且有逐项求导公式内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以(ky)逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第57页/共74页第五十八页，共74页。第58页/共74页第五十九页，共74页。第59页/共74页第六十页，共74页。第60页/共74页第六十一页，共74页。第五节第五节 函数函数(hnsh)(hnsh)展开成幂展开成幂级数级数一、泰勒级数一、泰勒级数(j sh)(j sh)二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数(j sh)(j s
13、h)第61页/共74页第六十二页，共74页。一、泰勒级数一、泰勒级数定义定义(dngy)(dngy)如果如果f(x)f(x)在点在点x0 x0的某邻域内具有的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒(ti l)级数.当x0=0时，泰勒(ti l)级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.第62页/共74页第六十三页，共74页。定理定理1(1(泰勒中值定理泰勒中值定理)如果函数如果函数(hnsh)f(x)(hnsh)f(x)在含在含点点x0 x0的区间的区间(a,b)(a,b)内，有一阶直到内，有一阶直到n n 阶的连续导数，阶的连续导数，则当则当x x取区间取
14、区间(a,b)(a,b)内的任何值时，内的任何值时，f(x)f(x)可以按可以按(x(xx0)x0)的方幂展开为：的方幂展开为：其中(qzhng)：第63页/共74页第六十四页，共74页。公式(3)称为函数(hnsh)f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.第64页/共74页第六十五页，共74页。定理定理2 2 设函数设函数f(x)f(x)在点在点x0 x0的某一邻域的某一邻域U(x0)U(x0)内内具有各阶导数，则具有各阶导数，则f(x)f(x)在该邻域内可展开成泰在该邻域内可展开成泰勒级数勒级数(j sh)(j sh)的充分必要条件是的充分必要条件是f(x)f(x)的泰勒的泰勒公式
15、余项公式余项Rn(x)Rn(x)当当 时的极限为零，即：时的极限为零，即：第65页/共74页第六十六页，共74页。二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 将函数展开(zhn ki)成x的幂级数(也称麦克劳林展开(zhn ki)式)的基本法，其一般步骤为：第66页/共74页第六十七页，共74页。第67页/共74页第六十八页，共74页。第68页/共74页第六十九页，共74页。第69页/共74页第七十页，共74页。间接展开法 利用(lyng)一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.第70页/共74页第七十一页，共74页。分别(fnbi)令q=x、x2有：第71页/共74页第七十二页，共74页。将(9)、(10)式分别(fnbi)从0到x逐项积分，得：第72页/共74页第七十三页，共74页。第73页/共74页第七十四页，共74页。