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1、第三节 二重积分的应用第四节 三重积分的概念及计算方法第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分高等数学电子教案 西电教师：任春丽第1页/共111页第一节 二重积分的概念及性质一、二重积分的概念1、引例（1）计算曲顶柱体的体积（如图）设曲面且在D上连续第一节 二重积分的概念及性质第2页/共111页解:step1 分割：任意划分D为n个小区域step2 近似：step3 求和:定义域第一节 二重积分的概念及性质第3页/共111页V=step4 取极限（2）计算平面薄板的质量第一节 二重积分的概念及性质第4页/共111页设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为且在D上连续解
2、：step1 分割：DXYO第一节 二重积分的概念及性质第5页/共111页step 2 近似：step3 求和：step4 取极限：上面引例可以看到：两个引例的实际意义第一节 二重积分的概念及性质第6页/共111页不同，但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上的二重积分的定义。2、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。如果和式极限从在，则称此极限值为f(x,y）在区域D上的二重积分，记作，即第一节 二重积分的概念及性质第7页/共111页积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号因而，引例（1）体积被积表达式第一节 二重积分的概念及性质第8页/共
3、111页引例（2）质量注 (1）极限存在指：任意分割、任意取点、和式极限值相等(2)在直角坐标系下，若用平行与x轴，y轴的直线族划分D,则XYO第一节 二重积分的概念及性质第9页/共111页从而（3）二重积分为数，与变量符号无关即故记第一节 二重积分的概念及性质第10页/共111页 3、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区域D上连续，则4、二重积分的几何意义（以D为底，f(x,y)未定的曲顶柱体的体积）（曲顶柱体体积的负值）第一节 二重积分的概念及性质第11页/共111页一般的曲顶柱体体积的代数和例1、计算解：由几何意义（上半球体的体积）第一节 二重积分的概念及性质第12页/共111页
4、二、二重积分的性质假设以下各积分存在性质1k为常数性质2性质3 （可加性）第一节 二重积分的概念及性质第13页/共111页（除分界线）性质4 如果性质5 (不等式性)如果在D上第一节 二重积分的概念及性质第14页/共111页特别的:性质6 (估值性)设第一节 二重积分的概念及性质第15页/共111页性质7 (积分中值定理)设f(x,y)在闭区域D上连续,则至少存在一点证明：第一节 二重积分的概念及性质第16页/共111页由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点第一节 二重积分的概念及性质第17页/共111页三、举例例2、设区域D:是变量y的奇函数XYO解：第一节 二重积分的概念及性质第18页/
5、共111页是变量x的偶函数注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立例3、估计下列积分值第一节 二重积分的概念及性质第19页/共111页（2）求D上的最大最小值XY o D解：第一节 二重积分的概念及性质第20页/共111页Ep4:第一节 二重积分的概念及性质第21页/共111页其中D由x=0,y=0及x+y=1围成解：Ep5：解：第一节 二重积分的概念及性质第22页/共111页第一节 二重积分的概念及性质第23页/共111页第二节 二重积分的计算方法（1）一、区域的类型及表示1、X-型区域：穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyooo第二
6、节 二重积分的计算方法第24页/共111页2、Y-型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交至多两点3、其它类型 如图非X-型，非Y-型区域xyycdooxy第二节 二重积分的计算方法第25页/共111页例1、闭区域D由所围成，使用联立不等式表示区域D解：法一、D是X型区域 则法二、D是Y-型区域且第二节 二重积分的计算方法第26页/共111页二、利用直角坐标计算二重积分解：一方面：曲顶柱体的体积另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算设：区域D为X-型得截面面积第二节 二重积分的计算方法第27页/共111页一般的综上：第二节 二重积分的计算方法第28页/共111页类似的，若D
7、为Y-型区域称为先x后y的二次积分情形仍成立关键，步骤如下：第二节 二重积分的计算方法第29页/共111页第一步：画区域D的图形第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出线方程，并用联立不等式表示区域第三步：将二重积分写成二次积分例2、计算其中区域D是由解：画图 求出交点（-1，1）及（4，2）(4,2)(-1,1)第二节 二重积分的计算方法第30页/共111页法一 D是X-型区域，且法二 D是Y-型区域，且(4,2)(-1,1)第二节 二重积分的计算方法第31页/共111页例3、计算，其中D由所围成解：D是X-型区域第二节 二重积分的计算方法第32页/共111页又 D是Y-型区域无法积分这说明
8、此积分先x后y的顺序的方法失效注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性。第二节 二重积分的计算方法第33页/共111页例4、改变二次积分的积分次序均为X-型，画出区域D如图视为Y-型区域解：第二节 二重积分的计算方法第34页/共111页则原式=例5、计算由曲面所围立体的体积解：立体如图，且在xoy面上投影区域第二节 二重积分的计算方法第35页/共111页第二节 二重积分的计算方法第36页/共111页第二节 二重积分的计算方法（2）三、利用极坐标计算二重积分对于某些二重积分，利用直角
9、坐标计算往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。如：积分区域为圆形，被积函数为时，可考虑极坐标系下计算。方法如下1、化为极坐标系下的二重积分，由定义且将区域D第二节 二重积分的计算方法第37页/共111页放在极坐标系中第一步 分割:用两族曲线r=常数同心圆=常数射线任意分割区域D为n个小区域除含边界的小区域外，其它小闭区域面积第二节 二重积分的计算方法第38页/共111页第二步 取且对应的直角坐标系为则从而其中为极坐标系下的面积元素 注:相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要换限第二节 二重积分的计算方法第39页/共111页2、化为二次积分情形（1）极点在D的外部情形（2）极点在D的边
10、界上D第二节 二重积分的计算方法第40页/共111页 情形（3）极点在D内D第二节 二重积分的计算方法第41页/共111页例1：计算D是由曲线解：第二节 二重积分的计算方法第42页/共111页例2、将化为极坐标系下的二次积分解：在极坐标系下第二节 二重积分的计算方法第43页/共111页例3、求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积。解：由对称性体积在极坐标系下故第二节 二重积分的计算方法第44页/共111页第二节 二重积分的计算方法第45页/共111页一、几何应用1、立体的体积:2、平面图形面积:3、曲面的面积:第三节 二重积分的应用第三节 二重积分的应用第46页/共111页解:（
11、方法:小元素法,即微分法）第三节 二重积分的应用第47页/共111页第三节 二重积分的应用第48页/共111页第三节 二重积分的应用第49页/共111页例1:求半径为a的球面面积。解:第三节 二重积分的应用第50页/共111页第三节 二重积分的应用第51页/共111页例2:解:第三节 二重积分的应用第52页/共111页第三节 二重积分的应用第53页/共111页1、平面薄片的重心二、物理应用第三节 二重积分的应用第54页/共111页质点系对y轴的静力矩质点系对x轴的静力矩质点系的质量第三节 二重积分的应用第55页/共111页(2)设有一平面薄片，区域为D，面密度P(x,y)(在D上连续)求:解:
12、第三节 二重积分的应用第56页/共111页第三节 二重积分的应用第57页/共111页例3:解:第三节 二重积分的应用第58页/共111页第三节 二重积分的应用第59页/共111页第三节 二重积分的应用第60页/共111页2、平面薄片的转动惯量第三节 二重积分的应用第61页/共111页解:第三节 二重积分的应用第62页/共111页例4:解:第三节 二重积分的应用第63页/共111页3、平面薄片对质点的引力例5:解:面积微元第三节 二重积分的应用第64页/共111页第三节 二重积分的应用第65页/共111页第三节 二重积分的应用第66页/共111页例6:解:第三节 二重积分的应用第67页/共111
13、页第三节 二重积分的应用第68页/共111页一、概念引例:解:第四节 三重积分的概念及计算方法第四节 三重积分的概念及计算方法第69页/共111页抽去其物理意义,引入三重积分的定义。定义:记作:第四节 三重积分的概念及计算方法第70页/共111页注:第四节 三重积分的概念及计算方法第71页/共111页1、先一后二法:二、直角坐标系下,的计算方法第四节 三重积分的概念及计算方法第72页/共111页先一后二积分法为z-x-y的积分顺序的三次积分类似的,有其他五种几分顺序第四节 三重积分的概念及计算方法第73页/共111页例1:解:第四节 三重积分的概念及计算方法第74页/共111页第四节 三重积分
14、的概念及计算方法第75页/共111页例2:解:第四节 三重积分的概念及计算方法第76页/共111页2、先二后一法先二后一法第四节 三重积分的概念及计算方法第77页/共111页第四节 三重积分的概念及计算方法第78页/共111页例3:解:方法一:先一后二法第四节 三重积分的概念及计算方法第79页/共111页方法二:先二后一法第四节 三重积分的概念及计算方法第80页/共111页例4:解:第四节 三重积分的概念及计算方法第81页/共111页练习:解:先一后二法第四节 三重积分的概念及计算方法第82页/共111页第四节 三重积分的概念及计算方法第83页/共111页解:第四节 三重积分的概念及计算方法第
15、84页/共111页先二后一法:第四节 三重积分的概念及计算方法第85页/共111页第四节 三重积分的概念及计算方法第86页/共111页一、柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第87页/共111页柱面坐标系下的三组坐标面:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第88页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第89页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第90页/共111页例1:解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第91页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第92页/共111页例2:
16、解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第93页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第94页/共111页 二、球面坐标计算三重积分1、球面坐标第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第95页/共111页球面坐标系下的三组坐标面:以o为心的球面以o为顶点的圆锥面过z轴的半平面第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第96页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第97页/共111页3、化为三次积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第98页/共111页如:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第99页/共111页例3:解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第100页/
17、共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第101页/共111页例4:解:利用球面坐标计算第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第102页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第103页/共111页三、三重积分的应用第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第104页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第105页/共111页例5:解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第106页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第107页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第108页/共111页例6:解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第109页/共111页第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分教师：任春丽第110页/共111页感谢您的观看！第111页/共111页