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1、第10章 多元函数积分学6（对坐标的曲线积分）对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念定义定义设设为为平面上的由点平面上的由点到点到点的有向光的有向光滑曲线，且函数滑曲线，且函数（或（或）在）在上有定义，上有定义，用用上的点：上的点：把把任意地分成任意地分成个有向小弧段：个有向小弧段：记记（或（或）为有向小弧段）为有向小弧段在在轴（或轴（或轴）轴）上的投影，在上的投影，在上任取一点上任取一点，作和式，作和式：（或（或），当小弧段中），当小弧段中的最长值的最长值趋于零时，极限趋于零时，极限存在，则称该极限值为函数存在，则称该极限值为函数（或（或）在有向
2、曲线）在有向曲线上对上对坐标坐标x（对坐（对坐标标y）的曲线积分）的曲线积分，记为：，记为：（或（或）xOyn),(yxP),(iiixiniiixP1),(iniiiLxPdxyxP10),(lim),(),(yxPLiyBLA),(yxQiiMM1LLLiMiiMM1xyiiMM1iniiiyQ1),(iniiixP10),(lim）（或iniiiyQ10),(lim),(yxQiniiiLyQdyyxQ10),(lim),(对坐标的曲线积分又称为对坐标的曲线积分又称为第二类曲线积分第二类曲线积分；两个；两个曲线积分结合在一起，记为：曲线积分结合在一起，记为：简记为：简记为：对坐标的曲线积
3、分的性质：对坐标的曲线积分的性质：设设是有向曲线弧，是有向曲线弧，是与是与方向相反的有向曲方向相反的有向曲线弧，则：线弧，则：如果将如果将分成分成两段，则：两段，则：LLdyyxQdxyxP),(),(LdyyxQdxyxP),(),(LLLLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(L21LL、21),(),(),(),(),(),(LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算1.平面曲线上的对坐标的曲线积分的计算法平面曲线上的对坐标的曲线积分的计算法设有向曲线设有向曲线的参数方程为：的参数方程
4、为：且且对应于对应于的起点，的起点，对应于对应于的终点，则的终点，则对坐标的曲线积分转化为如下计算：对坐标的曲线积分转化为如下计算：L)(,tyy t)(txx LLtdttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(dttxtytxPdxyxPL)()(),(),(dttytytxQdyyxQL)()(),(),(例例计算曲线积分：计算曲线积分：，积分路径，积分路径为：在为：在椭圆椭圆上，从点上，从点经一、二、三象限经一、二、三象限到点到点。解：积分路径解：积分路径的参数方程为：的参数方程为：练习（练习（P301）1.计算计算，其中，其中是从点是从点沿上半椭圆沿上半椭圆周：周：到点到点的一段弧。的一段弧。)0,(aAtbytaxsincos12222byax)230( t230)cos(sin)sin(cosdttatbtbtaydxxdyLLLLydxxdy),0(bB230abdtab23Ldyxxydx22L)0,(a12222byax)0,(a