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1、4242420 030 01(, )( , ).( , )( , ),limx ykxkx yykxxk xk令令沿沿着着曲曲线线趋趋于于则则,.k该该极极限限值值随随 的的变变化化而而变变化化 故故极极限限不不存存在在1 0221 041(, )( , )(, )( , )limln().ln()limxx yx yxeexy 2222221.00 x yxyyxyxy二二、2220 00 000 0(, )( , )(, )( , )lim( , )lim( , ),x yx yx yf x yfxy 0 0( , )( , ).f x y故故在在点点处处连连续续2.cos ,sin ,x
2、ryr令令2222220 00(, )( , )sin coslimsin()limsinx yrxyrxyrxyr 则则22000 0sinlimsin cos( , ).rrrfr0 0( , )( , ).f x y故故在在点点处处连连续续第1页/共22页第一页，共23页。11 3 .习习题题22221 22.(),()xfxyyfxy一一、112 21.()sinlnyxyyxy 2223122.(:,( ),zzyxyyxyy 提提示示202( , ),( ),yzfxxxxyxzyxycy 又又即即20111( , ),f xczyxy 又又即即123. , . , .DDA二二、
3、1.ln ,xzyyx 三三、1xzxyy 211ln,lnxxxxxxyyxzyy zzxyyy2(1)xyyzx xy 2.cossin ,cosxyxyxyxyzyexex zxex2sin ,1cossin ,xyxyxyxxxyyxzex zzexex cosxyyyzex 23323.3,3,6,xyxxzx yyzxy x zxy2233,6xyyxyyzzxyzxy 第2页/共22页第二页，共23页。11.4习习题题1 222一一、. dxdyln dz3322222.(:233xyfx yy xcxxyyx 提提示示322( , )( )3xf x yx yxyy 22( )
4、,fxxyyy 则则222fxxyyy 又又2( )yy 3( ),3yyc 即即3322( , )33xyf x yx yxyc因因此此3.2, 2 1. ,2. ,3. ,4.ADDD二二、11.5习习题题1.zzuzvxu xvx 212 ln3uuvyv22232ln(32 )(32 )xxxyyyxy zzuzvyu yvy 222 ln( 2)xuuvyv第3页/共22页第三页，共23页。2.,uxy 令令则则dzdzudzu dydxdu xdu y dx22(1)1xxexx e 3.duu dyu dzudxy dxz dxx222()cossinsin111axaxaxax
5、eeaeyzaxxexaaa 124.(1),vwxyvwffffyz令令且且分分别别表表示示则则11222211,uuxuyffffxyyyzzz123(2),vwsvx wxy sxyzffffff令令且且分分别别表表示示则则123,ufyfyzfx 233,uuxfxzfxyfyz223222ln(32 )(32 )xxxyyyxy 第4页/共22页第四页，共23页。25.:( )( )( )( ),zyyyF uxF uyF uF uxxx 证证明明1( )( ),zxxF uxF uyx 2( )( ).zzxyxyxF uxyxF uxyzxyxy226.:,2( ),zzuuxy
6、xfuxu x 解解 设设则则2222( )2( ) 22( )4( )zfuxfuxfux fux 22( ) 24( )zxfuyxyfux y 2222( )2( ) 22( )4( )zfuyfuyfuy fuy 2( ),zzuyfuyu y 第5页/共22页第五页，共23页。217.(1)ln ,lnln(ln )xxzzxyzzyxyyyy 解解(2)220,xyzxyzx将将两两边边对对 求求偏偏导导1220,22zxyzyzxxxyzxyz .xyzyzzxxyxyz 则则220,xyzxyzy同同理理将将两两边边对对 求求偏偏导导2220,22zxyzxzyyxyzxyz
7、2.xyzxzzyxyxyz 则则第6页/共22页第六页，共23页。128 .:,证证明明 令令且且记记uvucxaz vcybz0( , ),则则方方程程两两端端分分别别对对求求导导 可可得得u vx y112120,zzzccabxxxab 则则212120,zzzcacbyyyab 则则.zzabcxy则则第7页/共22页第七页，共23页。11.6习习题题221.:(62 )(4)0,(6)(42 )0ffxyyxxyxy解解 令令:解解得得驻驻点点分分别别为为 (3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4),2(3,2),80,0,18,1440,ABCACB 对对于于点点
8、( , )(3,2)f x y利利用用极极值值的的充充分分条条件件可可以以判判别别在在点点处处取取得得极极大大值值，(3,2)36.f 且且极极大大值值为为2.:解解222(2241)0(22)0 xxfexyyxfeyy 令令解解得得1,1,2xy 22222(2242),xfexyyx 又又22222(44),2,xxffeyex yy 2212 ,0,2 ,40,( , ), 12Ae BCe ACBef x y则则故故在在处处1, 122ef 取取得得极极小小值值 且且极极小小值值为为第8页/共22页第八页，共23页。2223.:, ,x yxyl解解 设设直直角角三三角角形形的的直直
9、角角边边长长分分别别为为则则有有( , ),f x yxyl直直角角三三角角形形的的周周长长为为222( , , )(),F x yxylxyl 构构造造辅辅助助函函数数0,0,0,xyFFF 令令得得2221201200 xyxyl 2,2xyl解解得得,因因此此具具有有最最大大周周长长的的直直角角三三角角形形为为等等腰腰直直角角三三角角形形2.2l且且腰腰长长为为第9页/共22页第九页，共23页。则长方体的体积为则长方体的体积为高为高为宽为宽为设长方体的长为设长方体的长为解解,:.zyx42222, ,4,Vxyzx y zxyza且且满满足足构构造造辅辅助助函函数数),(),(22224
10、azyxxyzzyxF 有有则令则令,0000 FFFFzyx 040202022222azyxzxyyxzxyz 32 38 3,.39xyzaVa解解得得则则第10页/共22页第十页，共23页。2222dxyz5.:( , , ),x y zd解解 设设椭椭圆圆上上任任一一点点的的坐坐标标为为则则所所求求距距离离 的的平平方方为为22212( , , ,)F x y zxyz 引引入入辅辅助助函函数数2212()(1),xyzxyz 有有令令0000021 FFFFFzyx,1212122222022020010 xxyyzxyzxyz 13213223xyz 解解得得13213223xy
11、z 或或maxmin95 3,95 3dd则则第11页/共22页第十一页，共23页。711.习题习题,cos)(,sin)(,cos)(:.2211ttzttyttx 解解,222112 t处时处时曲线在点曲线在点:),(切线方程为切线方程为则切线的方向向量为则切线的方向向量为21122211121 zyx :法平面方程为法平面方程为0222121 )(zyx 0242 zyx即即处的法向量处的法向量在点在点与曲面与曲面曲面曲面解解),(:.0002222zyxxmzmxy :分别为分别为,02201ymn ,02201zn 则切线的方向向量为则切线的方向向量为,kyjmzizyzymkjin
12、nT00000021244201022 第12页/共22页第十二页，共23页。000000022yzzmzyyzyxx :则切线方程为则切线方程为0000000220:()()()y zxxmzyyy zz法法平平面面方方程程为为2012101233 ),(,),(,),(:.yxzFFxyzezyxF则则令令解解2 1 00( , , ),zF 042 yx:则切平面方程为则切平面方程为002112 zyx:法线方程为法线方程为则则令令解解,),(:.14222 czbyaxzyxF000000000000222czzyxFbyzyxFaxzyxFzyx ),(,),(,),(,)()()(
13、:0222000000 zzczyybyxxax切平面方程为切平面方程为000000:xxyyzzaxbycz法法线线方方程程为为第13页/共22页第十三页，共23页。第第十十二二章章重重积积分分112.习题习题dxdyxydxdyxyyozzxxyDD 140则则面均对称面均对称关于关于提示提示,:(42R一一、 dxdyxyxoyDD则则面上的四分之一圆面上的四分之一圆是是其中其中,123004sin cos)Rr drd )()(.,. 111011011121xxxxdyyxdxdyyxdxDB提示：提示：二、二、5561210 xxDdyyxdxdyx :.解解三、三、6132222
14、2022 yyDdxxyxdydxyx)()(:. 解解第14页/共22页第十四页，共23页。 22121121xxDdyyxfdxdyyxfdxdyxf),(),(),(: 四、解四、解211( , )( , )yDyf x y ddy f x y dx 则则轴围成轴围成及及积分区域由曲线积分区域由曲线解解五、五、,:.xxy211 21011xdyyxfdxI),(2.:ln ,yxxex解解 积积分分区区域域由由曲曲线线直直线线及及 轴轴围围成成 则则10( , )yeeIdyf x y dx myxxy质量质量的交点为的交点为与与直线直线六、解六、解),(:1123422210 yyD
15、dxyxdydxdyyx)(),( 6176610221022 xDdyyxdxdxdyyxV)()(:七、解七、解第15页/共22页第十五页，共23页。212.习题习题 cossin)sin,cos(.10201rdrrrfd一、一、 2241142baR .,:.220201xaxyaxD 积分区域积分区域解解二、二、 cos,sin,cos,arryrxxaxy222 得得令令对于对于43420220ardrrdIa cos故积分故积分,:.2102xyxxD 积分区域积分区域解解24cos ,sin,xryryx 将将代代入入中中解解得得1220140 cossinrdrrd则原积分则
16、原积分第16页/共22页第十六页，共23页。)(:.1142020222 edrredderDyx 解解三、三、643222140 drrddxyDtanarctanarctan:.解解422322141adxyxdydyxyayaaD )()(:. 解解四、四、3223322022abdrrddyxbaD :.解解:五、解五、解 DdyxV )(22 cossin,cosaraxyxryrx 中解得中解得代入代入将将2240222323ardrrdVa cos则则第17页/共22页第十七页，共23页。312.习题习题 2222101111yxxxdzzyxfdydxI),(一、一、22111
17、011( , , )zyzzzyIdzdyf x y z dx 22110yxDxyzdzdxdyxyzdxdydz:二、解二、解,| ),(01221 yxyxyxD 122121Dxydxdyyx)(4811212102210 xxydyyxdx)( yDxzdzdxdyxzdxdydz01:三、解三、解0221211221 xDdyydxxdxdyxy第18页/共22页第十八页，共23页。412.习题习题)sin:(. AadrrddA52020441 提示提示一、一、)cossincossin:(. 203201052 dddrrC 提示提示:)(:.Dxoyzyxz面的投影区域面的投
18、影区域的交线在的交线在及及解解二、二、52541222 ,| ),(422 yxyxD,5252020 zrr .)( 85252020222 rdzdrdrrdvyx则则 ,),(:.AyxayxDDxoy 222面的投影区域面的投影区域在在解解则则,:2020 Ara).(sin)(5520342022154aArdrdrddvyxAa 第19页/共22页第十九页，共23页。:.Dxoyyxzyxz面的投影区域面的投影区域在在与与解解三、三、222261 ,| ),(422 yxyxD则则,:262020rzrr . 332262020 rrdzdrdrdvV面的投影区域面的投影区域在在与
19、与解解xoyzyxazzyx22222222 :.222002( , )|,:,Dx yxyara 22raazr .320022adzdrdrdvVraara 则则面的投影区域面的投影区域在在与与解解xoyyxzyxz22223 :.222101 02( , )|,:,Dx yxyrrzr 212006.rrVdvrdrddz 则则第20页/共22页第二十页，共23页。,| ),(:2222Rzyxzyx 球体所围区域球体所围区域四、解四、解,),(222zyxkzyxu 设球体上任一点的密度设球体上任一点的密度0020:,rR .sin),(402002RkddkrdrrdvzyxumR 则则512.习题习题 2一、一、,:zxzz zxxx 022二、解二、解220,yyyyzzzz DDyxdzadzzS 21222 Ddyxaa 222222022204222aadrraarda cos面的投影区域为面的投影区域为锥面与柱面在锥面与柱面在三、解三、解xoy:222( , )|,Dx yxyx. 22122 DDyxddzzS则则第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的观看(gunkn)！第22页/共22页第二十二页，共23页。NoImage内容(nirng)总结第1页/共22页。第21页/共22页。感谢您的观看(gunkn)第二十三页，共23页。