十一章多元函数积分学.pptx

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1、第一节 二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质1引例：曲顶柱体的体积（1）曲顶柱体 以曲面为顶（）以平面上的有界闭域为底，侧面是以的边界线为准线、母线平行于轴的柱面的立体（如图）称为曲顶柱体（2）曲顶柱体的体积如果曲顶柱体的高度不变，则它的体积等于底面积高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求 第1页/共97页例如，级数的一般项为又如级数的一般项为简言之，数列的和式称为级数.定义2设级数（111）的前项之和为称Sn为级数的前项部分和当依次取1，2，3，时，第2页/共97页新的数列，数列称为级数的部分和数列若此数列的极限存在，即(常数),则S 称为的和，记作此时称级数收敛如果

2、数列没有极限，则称级数发散，这时级数没有和第3页/共97页当级数收敛时，其部分和是级数和S的近似值，称为级数的余项，记作，即例1判定级数的敛散性.解已知级数的前n项和是：第4页/共97页因为,所以这个级数收敛,其和为1.例2判定级数的敛散性第5页/共97页解已知级数的前n项和是因为，所以这个级数发散.例3讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性.第6页/共97页解(1)前n项和当时，所以级数收敛，其和当时，所以级数发散.(2)当时，于是第7页/共97页所以级数发散.当时，其前n项和显 然，当n时，Sn没 有 极 限.所 以，级 数 发散.综上所述，等比级数，当时收敛,当时发散.第8页/共97页例如

3、，级数1+2+4+8+2n-1+是公比为2的几何级数,由于，所以级数是发散的级数是公比为-1的几何级数,由于，所以该级数发散.注意几何级数的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.第9页/共97页例4把循环小数化为分数.解把化为无穷级数这是公比为的几何级数，由等比数列求和公式第10页/共97页所以这个无穷级数的和为，即2数项级数的基本性质 性质1如果级数收敛，其和为s,k为常数，则级数也收敛，其和为ks；如果级数发散，当k0时，级数也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.第11页/共97页性质2

4、若级数与分别收敛于与，则级数，收敛于性质3添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.性质4 若级数收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛.第12页/共97页例如级数（1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+却是发散的.性质5（两边夹定理）如果且和都收敛，则也收敛第13页/共97页性质6（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则例5判别级数的敛散性解因为所以级数发散.例6判别级数的敛散性.第14页/共97页解级数与级数都收敛，故由性质2知，级数收敛.注意 性质6可以

5、用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使，也不能由此判定级数收敛.下面的例9正说明了这一点：，但级数发散.第15页/共97页例7证明调和级数是发散级数.证调和级数部分和如图，考察曲线第16页/共97页，所围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有第17页/共97页而，表明A的极限不存在，所以该级数发散.第18页/共97页二、正项级数及其敛散性如果0（n=1,2,3），则称级数为正项级数定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的

6、部分和数列有界.例1证明正项级数是收敛的证因为于是对任意的有第19页/共97页即正项级数的部分和数列有界，故级数收敛.定理2（比较判别法）设和是两个正项级数，且(1)若级数收敛，则级数也收敛；(2)若级数发散，则级数也发散.第20页/共97页例2 讨论级数（）的敛散性解 当时，因为发散，所以由比较判别法知，当时，发散.当时，顺次把级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它的各项显然小于级数第21页/共97页对应的各项，而所得级数是等比级数，其公为 ，故收敛，于是当时，级数收敛.综上所述，级数当时发散，当时收敛.注意级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关级数敛散性

7、的结论必须牢记.第22页/共97页 例3判定级数的敛散性.解 因为级数的一般项满足而级数是p2的级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.第23页/共97页例4 判别级数的敛散性.解因为而是由调和级数去掉前两项后所得的级数，它是发散的，所以由比较判别法知级数发散.第24页/共97页定理3（达朗贝尔比值判别法）设是一个正项级数，并且，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散.例5判别下列级数的敛散性(1)；(2)第25页/共97页 解(1)所以级数发散；(2)所以级数收敛.第26页/共97页要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的

8、必要条件如果，则级数发散，否则需进一步判断.(2)用比值判别法如果，即比值判别法失效，则改用比较判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数，级数等.第27页/共97页三、交错级数及其敛散性级数称为交错级数.定理4（莱布尼兹判别法）如果交错级数满 足 莱 布 尼 兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数收敛，其和S，其余项第28页/共97页例6判定交错级数的敛散性.解此交错级数，满足：(1)；(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛 定义3对于任意项级数,若收敛，则称是绝对收敛的；若收敛，而

9、发散，则称是条件收敛的.第29页/共97页定理5绝对收敛的级数必是收敛的.事实上，如果收敛，由于故从性质1及性质5知也是收敛的.例7判定级数的敛散性.解因为，而级数收敛，故由比较判别法可知级数收敛，从而原级数绝对收敛.第30页/共97页例8判别级数的敛散性，说明是否绝对收敛.解因为故由比值判别法可知级数收敛，所以原级数绝对收敛.第31页/共97页例9判别级数是否绝对收敛.解 因为故由比值判别法可知级数发散，从而原级数不是绝对收敛.第32页/共97页例10证明级数条件收敛.证由莱布尼兹判别法知级数收敛，而为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛.第33页/共97页 第二节 幂级数 一、幂级数的

10、概念1.1.函数项级数如果级数 (11.2)的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数（2.2）为函数项级数，un(x)称为一般项或通项.当x在I中取某个特定值 时，函数项级数(2.2）就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收敛点。若发散，则称点 为这个级数的发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域.对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数第34页/共97页S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数，即其中x 是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作，则在收敛域

11、上有2.幂级数的概念 形如(11.3)第35页/共97页的函数项级数，称为的幂级数，其中常数称为幂级数的系数.当0时，（11.3）幂级数变为(11.4)称为x 的幂级数.(1)幂级数的收敛半径x的幂级数各项取绝对值，则得到正项级数第36页/共97页由比值判敛法其中当时，若，即，则级数(11.4)收敛，若即，则级数（11.4）发散.这个结果表明，只要就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂第37页/共97页级数发散，当x=R 时，级数可能收敛也可能发散.称为幂级数（11.4）的收敛半径.当时，则级数（11.4）对一切实数x都绝对收敛，这时收敛半径.如果幂级数仅在x

12、0一点处收敛，则收敛半径R0.定理1如果x的幂级数（11.4）的系数满足则(1)当时，第38页/共97页(2)当时，(3)当时，(2)幂级数的收敛区间若幂级数(11.4)的收敛半径为R，则（-R，R）称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间的端点xR代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.第39页/共97页例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域(1)(2)(3)解(1)因为所以幂级数的收敛半径.所以该级数的收敛域为（-，+）；第40页/共97页(2)因为所以所给幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散；当x=-

13、1时，级数为交错级数，收敛故该级数的收敛域为-1,1).第41页/共97页(3)因为所以所给幂级数的收敛半径.因此没有收敛区间，收敛域为，即只在处收敛.第42页/共97页例2求幂级数的收敛半径解所给级数缺少偶次方项，根据比值法求收敛半径当，即时，所给级数绝对收敛；当，即时，所给级数发散.因此，所给级数的收敛半径.第43页/共97页二、幂级数的性质性质1幂级数的和函数在收敛区间内连续，即若，x（-R，R）则在收敛区间内连续.性质2 设记，则在（-R,R）内有如下运算法则：(1)加（减）法运算第44页/共97页(2)乘法运算性质3（微分运算）设，收敛半径为R，则在（-R,R）内这个级数可以逐项求导

14、，即且收敛半径仍为R.第45页/共97页性质4（积分运算）设，收敛半径为R，则在（-R,R）内这个级数可以逐项积分，即且收敛半径仍为.例3已知，利用逐项积分的性质，可以得到第46页/共97页当x=-1时，收敛；当x=1时，发散.故收敛域为-1,1)，即第47页/共97页例4求的和函数解设两端求导得两端积分得即第48页/共97页当x=-1时，收敛；当x=1时，收敛，所以第49页/共97页三、将函数展开成幂级数 1泰勒公式与麦克劳林公式(1)泰勒公式定理2（泰勒中值定理）如果函数f(x)在x0的某邻域内有直至n+1阶导数，则对此邻域内任意点x，有的n 阶泰勒公式第50页/共97页成立，其中为阶泰勒

15、公式的余项，当时，它是比高阶的无穷小，余项的拉格朗日型表达式为(2)麦克劳林公式在泰勒公式中当时，则有麦克劳林公式第51页/共97页其中，2、泰勒级数与麦克劳林级数设f(x)在所讨论的邻域内具有任意阶导数称级数第52页/共97页为在处的泰勒级数，其系数称为在处的泰勒系数.其前 n+1项和由泰勒公式得：第53页/共97页因此当时，必有即泰勒级数收敛，其和函数为.反之，如果级数收敛于于是得到下面的定理.第54页/共97页 定理3如果在的某个邻域内，函数具有任意阶导数，则函数的泰勒级数（11.6）收敛于的充分必要条件是：当时泰勒余项如果在处的泰勒级数收敛于，就说在处可展开称泰勒级数，则(11.6)式

16、为在处的泰勒展开式，也称关于的幂级数，也记为第55页/共97页当时，（11.6）式成为称为函数f(x)的麦克劳林展开式，也记为第56页/共97页3、将函数展开成幂级数的方法 (1)直接展开法把 f(x)展开成的幂级数，可按下列步骤进行：求出f(x)的各阶导数计算f(x)及其各阶导数在x0处的值，第57页/共97页写出幂级数并求出它的收敛区间；考察当x在收敛区间内时，余项的极限是否为零，如果为零，则由上式所求得的幂级数就是f(x)的幂级数的展开式.第58页/共97页 例1将函数展开成 x的幂级数 解因为 n=1，2，3，所以，n=1，2，3，又,f(0)=1因此得级数，它的收敛区间为.对于任何实

17、数x，有第59页/共97页因是收敛级数的通项，所以而是有限正实数，因此即,因此从而得到的幂级数展开式第60页/共97页例2将函数展开成x的幂级数 解因为，n1，2，3而f(n)(0)顺次循环取四个数1，0，-1，0，所以得级数对于任何有限实数，第61页/共97页于是得的幂级数展开式类似地，还可以得到下述函数的幂级数展开式：（-1，1）第62页/共97页当m为实数时，它的收敛半径R=1，在处展开式是否成立，要根据m的数值，看右端级数是否收敛而定.例如当m=-1时(-1,1)第63页/共97页(2)间接展开法间接展开法是指从已知函数的展开式出发，利用幂级数的运算规则得到所求函数的展开式的方法.例3

18、将函数展开成x的幂级数 解 已知（-，+）第64页/共97页而利用逐项求导公式，得到（-，+）第65页/共97页 例4将函数展开成x 的幂级数 解已知（-1，1）将上式从0到x逐项积分，得到第66页/共97页这个级数的收敛半径R=1当x1时，右端级数成为这个级数是收敛级数.当x-1时，右端级数成为这个级数是发散级数.因此第67页/共97页四、幂级数的应用 1.函数值的近似计算例5计算的e近似值解：e 的值就是函数e 的展开式在x=1时的函数值，即 e取e则误差第68页/共97页第69页/共97页故若要求精确到，则只需即即可.例如要精确到，由于，所以取即e读者可以在计算机上求此值(e).例6制作

19、四位正余弦函数表解由于只需制作的正余弦表就行了.第70页/共97页我们使用正余弦的展开式.注意这两个级数都是满足莱布尼茨条件的交错级数,去掉前若干项之后剩余项仍为满足莱布尼茨条件的交错级数.由莱布尼茨判定定理就可知,若取这两个级数的前若干项作为近似时,误差不超过所弃项中的第一项.因为所以要作的四位正余弦表只需要取到至多项,即取作 表 时须注意x以弧度为单位.第71页/共97页2.求极限 例7求解把cosx 和的幂级数展开式代入上式，有第72页/共97页 第三节 傅里叶级数在本节中，将讨论另一类重要的、应用广泛的函数项 级 数 三 角 级 数.三 角 级 数 也 称 为 傅 里 叶（Fourie

20、r）级数.所谓三角级数，就是除常数项外，各项都是正弦函数和余弦函数的级数，它的一般形式为(1)其中都是常数，称为系数.特别当时，级数只含正弦项，称为正弦级数.当时，级数只含常数项和第73页/共97页余弦项，称为余弦级数.对于三角级数，我们主要讨论它的收敛性以及如何把一个函数展开为三角级数的问题.一、以 为周期的函数展开为傅里叶级数 由于正弦函数和余弦函数都是周期函数，显然周期函数更适合于展开成三角级数.设f(x)是以为 周 期 的 函 数，所 谓 的 傅 里 叶（Fourier）级数展开就是寻找一个三角级数第74页/共97页使得该级数以 f(x)为和函数，即 f(x)=先解决这样的问题：如果以

21、为周期的函数可表为式（1）所示的三角级数，那么如何确定和.为了求出这些系数，先介绍下列内容.1三角函数系的正交性在三角级数（1）中出现的函数（2）第75页/共97页构成了一个三角函数系，这个三角函数系有一个重要的性质，就是定理1（三角函数系的正交性）三角函数系（2）中任意两个不同函数的乘积在上的积分等于0，具体的说就是有第76页/共97页这个定理的证明很容易，只要把这五个积分实际求出来即.2.f(x)的傅里叶级数为了求（1）式中的系数，利用三角函数系的正交性，假设（1）式是可逐项积分的，把它从到逐项积分：由定理1，右端除第一项外均为0，所以第77页/共97页于是得为求，先用乘以（11.7）式两

22、端，再从到逐项积分，得由定理1，右端除k=n的一项外均为0，所以于是得第78页/共97页类似地，用sinnx乘以（11.7）式两端，再从到逐项积分，可得用这种办法求得的系数成为f(x)的傅里叶系数.综上所述，我们有定 定理2求f(x)的傅里叶系数的公式是(3)第79页/共97页由f(x)的傅里叶系数所确定的三角级数成为f(x)的傅里叶级数.显然，当f(x)为奇函数时，公式（3）中的，当为偶函数时，公式（3）中的所以有推论 当f(x)是周期为的奇函数时，它的傅里叶级数为正弦级数其中系数第80页/共97页当f(x)是周期为的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数其中系数3.傅里叶级数的收敛性上述定理3

23、（收敛定理）设 以为周期的函数f(x)在上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：（1）没有断点或仅有有限个第一类间断点；（2）至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，且有：第81页/共97页（1）当x是的连续点时，级数收敛于f(x)；（2）当x是的间断点时，级数收敛于这一点左右极限的算术平值例1正弦交流I(x)=sinx电经二极管整流后（图11-2）变为为整数，把f(x)展开为傅里叶级数.第82页/共97页 图 11-2解由收敛定理可知，f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x).第83页/共97页计算傅里叶系数：所以，f(x)的傅里叶展开式为（-x+.第84页/共97页例2 一矩形波

24、的表达式为求 f(x)的傅里叶展开式.解 由收敛定理知，当时，的傅里叶级数收敛于f(x).当时，级数收敛于又因为f(x)奇函数，由定理2的推论可知展开式必为正弦级数，只需按推论的公式求即可.第85页/共97页所以，的傅里叶展开式为第86页/共97页4.或 上的函数展开成傅里叶级数求f(x)的傅里叶系数只用到f(x)在上的部分，即f(x)只在上有定义或虽在外也有定义，但不是周期函数，仍可用公式（11.9）求f(x)的傅里叶系数，而且如果f(x)在上满足收敛定理条件，则f(x)至少在内的连续点上傅里叶级数是收敛于f(x)的，而在处，级数收敛于第87页/共97页类似地，如果f(x)只在上有定义且满足

25、收敛定理条件，要得到f(x)在上的傅里叶级数展开式，可以任意补充f(x)在上的定义（只要公式（11.9）中的积分可行），成为函数的延拓，便可得到相应的傅里叶级数展开式，这一展开式至少在内的连续点上是收敛到f(x)的.常用的两种延拓办法是把f(x)延拓成偶函数或奇函数.例3 将函数分别展开成正弦级数或余弦级数.第88页/共97页解为把 f(x)展开成正弦级数，把f(x)延拓为奇函数，再用推论的公式计算由此得上的展开式也即f(x)在上的展开式为在处，上述正弦级数收敛于第89页/共97页为把f(x)展开成余弦级数，把f(x)延拓为偶函数然后用推论的公式求出于是得到在上的余弦级数展开式由此例也可见到在

26、上的傅里叶级数展开式不是惟一的.第90页/共97页二、以2 l 为周期的函数展开成傅里叶级数设 f(x)是以2l为周期的函数，且在-l,l上满足收敛定理的条件，为了将周期2l转换为，作变量代换，即，可以看出，当x在区间-l,l上取值时，t 就在上取值.设则F(t)是以为周期的函数且在上满足收敛定理条件.于是可用前面的办法得到F(t)的傅里叶级数展开式第91页/共97页然后再把 t 换回 x,并注意到，于是就得到傅里叶级数展开式例4 如图11-3所示的三角波的波形函数是以2为周期的函数 f(x)，f(x)在-1,1上的表达式是求f(x)傅里叶展开式.解 作变换，则得F(t)在表达式为第92页/共97页利用例3的后半部分可直接写出系数于是得F(t)的表达式把t换回x 即得仿照例3的做法，也可把上0,l的函数展开成正弦级数和余弦级数.第93页/共97页图11-3第94页/共97页 例5设 f(x)是周期为4的函数，它在-2,2)上的表示式为将f(x)展开为傅里叶级数.解 先求f(x)的傅里叶系数，这里 l=2.第95页/共97页根据收敛定理，得的傅里叶级数为第96页/共97页感谢您的观看！第97页/共97页