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1、1.7 闭区间连续函数的性质山东理工职业学院山东理工职业学院 主 讲 人：王小妮1.7 连续函数的性质第一章 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 1.有界性与最值定理 2.零点定理 3.介值定理211.7 连续函数的性质第一章 性质性质1 1 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 如果函数 与 在点 处连续，那么它们的和、差、积、商（分母在 处不等于零）也都在 处连续,即1.7 连续函数的性质第一章 判断函数 在 处的连续性.解 因为 和 在点 处是连续的，所以，根据上面的性质1，知 函数 在 处是连续的.例例1 11.7 连续函数的性质第一章 二、复合函数的连续性 如果函数 在点 处连
2、续，且 ，而函数 在点 处连续，那么复合函数 在点 也连续.性质性质2 2例例2 2 判断函数 在 处的连续性.解 函数 在 处连续，当 时，；函数 在点 处连续；所以，复合函数 在点 处也是连续的.1.7 连续函数的性质第一章 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.性质3三、初等函数的连续性例例3 3 求解 因为 是初等函数，且定义域为 由性质3可得 极限值等于函数值1.7 连续函数的性质第一章最值概念设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0I，使得对任一xI，恒有则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.注（1）最值与界的关系最值界（2）最大值可以等于最小值（3）函数在区间
3、I上可能取不到最值1.7 连续函数的性质第一章在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定取得它的最大值和最小值.最值定理几何意义abxoyu例y=x在(1,2)内xoy12在0，2上xoy12定理的条件是重要的l注1.7 连续函数的性质第一章设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0)，那么在开区间(a,b)内至少有一点使f()=0.零点定理零点定理几何意义如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧，那么曲线弧与x轴至少有一个交点.xoyabl注如果x0使f(x0)=0，则x0称为f(x)的零点.1.7 连续函数的性质第一章设函数f(x)在闭区间
4、a,b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点使f()=C.介值定理几何意义=()连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.1.7 连续函数的性质第一章例例4 4 证明方程 在区间 内至少有一个实根.证明 设 ，因为它在闭区间 上连 续，并且 ，所以根据推论可知，在 内至少有一点 ，使得 即 这个等式说明方程 在开区间 内至少 有一个实根.1.7 连续函数的性质第一章例例5 5 证明方程 至少有一个正根，且不超过 ，其中 ，.证明 设 ，可得 由零点定理可知，在 内至少有一点 ，使得 ，即 这个等式说明方程 在开区间 内至 少有一个实根.异异号号函数在其定函数在其定义域内连续义域内连续1.7 连续函数的性质第一章u例u例3 42+1=0证明方程有一个实根.在区间(0,1)内至少(,+)若f(x)在内连续,且存在,则内有界.f(x)在(,+)1.7 连续函数的性质第一章#1理解连续函数的和、差、积、商的连续性理解连续函数的和、差、积、商的连续性#2会判断复合函数、初等函数的连续性会判断复合函数、初等函数的连续性#3会用闭区间上连续函数的性质做题会用闭区间上连续函数的性质做题小 结