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1、第四节 函数极限一、函数连续的概念二、连续函数的局部性质三、闭区间上连续函数的性质四、初等函数在其定义域上的连续性 第1页/共20页一、最大值和最小值定理定义:第2页/共20页设 f(x)C(a,b),则 (i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy第3页/共20页y=f (x)a,b,y=f(x)a,b,此时,函数 f(x)恰好在 a,b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.则则第4页/共20页 (ii)y=f(x)为一般的连续函数时xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O第5页/共20页例如,第6页/共20页定理1(最
2、大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.第7页/共20页例如,y=x 在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.第8页/共20页证xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.第9页/共20页二、介值定理定义:第10页/共20页几何解释:第11页/共20页定理(介值定理)设函数)(xf在闭区间 ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf=)(及 Bbf=)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间()
3、ba,内至少有一点x，使得Cf=)()(bax.第12页/共20页几何解释:MBCAmab证由零点定理,第13页/共20页推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.例证由零点定理,第14页/共20页例证由零点定理,第15页/共20页由介值定理,至少存在一点 (x1,xn),使证:a x1 x2 xn b,证明:至少存在一点 x1,xn,使得设 f(x)C(a,b),例:第16页/共20页设 f(x)=x a sin x b,x 0,a+b,则 f(x)C(0,a+b ),而 f(0)=0 a sin 0 b=b 0,b 0)例证：第18页/共20页1)如果 f(a+b)0,则 =a+b 就是方程的根.即方程至少有一个不超过 a+b 的正根.定理,至少存在一个(0,a+b),使得 f()=0.2)如果 f(a+b)0,则 f(0)f(a+b)0,由根存在综上所述,方程在(0,a+b 上至少有一个根,第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页