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1、弯弯 曲曲 变变 形形第第 七七 章章目录1第七章第七章 弯曲变形弯曲变形7-1 7-1 概述概述7-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录目录目录27-1 7-1 概概 述述7-1目录37-1 7-1 概概 述述目录47-1 7-1 概概 述述目录57-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程1.1.基本概念基本概念挠
2、曲线方程：挠曲线方程：由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角挠度挠度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正7-2目录62.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响7-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程目录7由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，
3、得所以所以7-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程目录8 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。挠度。7-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程目录97-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程
4、为：7-3目录10 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。条件确定。位移边界条件位移边界条件（支承条件）（支承条件）光滑连续条件光滑连续条件(两段梁的交界面两段梁的交界面)弹簧变形弹簧变形7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录11 解题步骤：解题步骤：建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x 轴水平向轴水平向右，右，y 轴竖直向上；轴竖直向上；将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；的弯矩方程；将弯矩方程代入挠曲线近似微
5、分方程，并积分两次；将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次；根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；将要求的变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，将要求的变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。求指定截面的转角和挠度。目录12例例1 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分
6、方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次A AB BF F7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录134 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度A AB BF F7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录14例例2 用积分法计算图示简支梁的用积分法计算图示简支梁的 A，B，yC。EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：解：7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录15EIABCxx
7、yYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/27-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录16例例3 3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：2 2）弯矩方程）弯矩方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录173 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC AC 段：段：CB CB 段：段：7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录
8、184 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录195 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录206 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，令令 得，得，7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录21例例4 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形
9、连续条件是什么？条件和变形连续条件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x2xqqABCxxylEAa7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录22例例5 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？条件和变形连续条件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyll/2x1DDCx2x3l/2l/2l7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录23讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录优
10、点优点:数学方法；缺点：运算繁冗数学方法；缺点：运算繁冗247-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有：若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，7-4目录25故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
11、梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录26一、简单梁简单荷载下的变形一、简单梁简单荷载下的变形ABEIlABEIlABEIlmPq7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录27ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录28二、叠加法计算梁的变形二、叠加法计算梁的变形ABl/2EIl/2PCm=P
12、lABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl=+7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录29三、几种基本变化三、几种基本变化 悬臂梁悬臂梁abABPCEIyB30 外伸梁外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBCBCCBayc1P31例例 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面截面的挠度的挠度y yC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B
13、B截面的转角截面的转角。解解7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录32yC1yC2yC33 3）应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录33例例 已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长
14、，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。解解解解7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录343 3）将结果叠加）将结果叠加 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录35例例8 求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。AB C 2EI aaP
15、EI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=Pa解：解：C 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录36AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=PaC 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录37例例9 求图示外伸梁自由端的转角和挠度。求图示外伸梁自由端的转角和挠度。ABCll/2qP=ql/2ABll/2P=ql/2Fs=ql/2M=Pl2/4FsBC解：解：BCPqEIEI7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录38讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优
16、缺点？7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录397-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.1.刚度条件刚度条件7-5目录 梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件强度条件强度条件强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件。土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即或等于容许值，即407-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度
17、的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施7-5目录 机械类工程，传动轴是装在轴机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即于或等于容许值，即建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：41 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的
18、外伸梁B B 处的转角为：处的转角为：解解7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录例例 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。42例例 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.
19、5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录437-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施目录 1）增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI 因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形
20、等。如采用工字形、槽形、箱形等。447-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施选择合理的截面形状选择合理的截面形状目录452 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录减小梁的跨度减小梁的跨度 因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq462 2）改善结构形式，减
21、少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录472 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录483 3）采用超静定结构）采用超静定结构7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录493 3）采用超静定结构）采用超静定结构7-5 7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录507-6 7-6 用变形比较法解简单超静定
22、梁用变形比较法解简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约
23、束力代替多余约束的静定系统7-6目录51解解例例 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件524 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 所以所以4 4）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录53例例11 求图示结构中拉杆
24、求图示结构中拉杆BC 的轴力。的轴力。BCAEAqaEIlBAEIqFNBC解：解：去掉去掉BC 杆，带之以轴力杆，带之以轴力FNBC。7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录54例例11 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度均为均为EIEI，F F=40kN=40kN，q q=20kN/m=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：FBMMA AF
25、 FA AyB1 FBMMC CF FC CyB2物理关系物理关系解解7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁55FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CyB1yB2代入得补充方程：代入得补充方程：确定确定A A 端约束力端约束力7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁56FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CyB1yB2确定确定B B 端约束力端约束力7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁57MMA AF FA AMMC CF FC CA A、B B 端约束力已求出端约束力已求
26、出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图7-6 7-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁587-7 7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.1.刚度条件刚度条件 建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：7-5目录59 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角
27、为：处的转角为：解解目录例例7 7 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。7-7 7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施60例例7 7 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚
28、度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：目录7-7 7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施612.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录7-7 7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施622 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式目录7-7 7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施632 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型目录7-7 7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施643 3）采用超静定结构）采用超静定结构目录7-7 7-7 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施65小结小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁、掌握计算梁变形的积分法和叠加法变形的积分法和叠加法3 3、学会用、学会用变形比较法解简单超静定问题变形比较法解简单超静定问题目录66