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1、上，在百分数的应用中，比例与它也有着相当密切的联系。加州版教材在学习应用百 分数的前一个单元，安排了比和比例 （ Ratios and Proportions)， 学习的内容有解决比 例和处理大于 100%和小于 1%的百分数。不得不说，这将会为学生学习如何应用百 分数做好一定的准备。并且，在应用百分数这个单元的第二节课就是 “ 百分数比例 ” (The Percent Proportion)， 即用比例来帮助理解、解决百分数问题。但是在我国的教 材中，无论是北师大版、人教版还是苏教版教材，无一例外地都是在学习百分数之后 才安排了比例的内容，与比例的结合性不强。 至于如何在百分数的教学中与比例
2、结合，下面将采用加州版教材中的一个例子进 行说明，如图 4-15。既然要想求得 120的 40%的多少，那么首先就应对题目中已知 的数量进行分析，再决定将各个数量放在比例中合适的位置上。在这个比例中，等号 左边的比表示部分与整体进行比较，本题已知 “ 整体 ” 是 120, “ 部分 ” 是未知量； 等号右边的比表示百分数，写成 的形式，本题中是 ，这样就得到 ，在学 习完如何处理比例之后便可轻松得到答案 48。在用比例辅助解决百分数问题时，因 为 100是固定不变的，所以这三个量任知其二就可知其一。由此，使用比例来帮助解 决百分数问题的优势也就不言而喻了，那就是在解题过程中省去了在 百分数与
3、分数、 小数之间的互化，也就降低了产生错误的概率。 图 4-15在百分数问题中应用比例找到 “ 局部 ” 4. 2. 2对课程标准的建议 教材是教学以及学习中的一部分，而课程标准则可以用来指导并参考。下面，将 对几个国家和地区的课程标准中对于百分数教学的要求展幵分析与探讨，并以此对我 国的课程标准提出相应的建议。 Rhonda J. Molix-Bailey er /.California Mathematics-Grade 6M. OH： Macmillan/McGraw-Hill Companies 2008： 351. 60 五年级 【数感】： 学生能理解小数，分数和百分数之间的关系。
4、(将百分数作为 100中的一部分来理解，找到分数的小数和百分数的等价形式， 计算一个整数的给定百分比是多少 o 六年级 【数感】： 学生解决涉及分数，比，比例和百分数的问题。 (计算一个数量给定的百分比是多少，解决涉及折扣，利息和小费的问题。） 【统计，数据分析和概率】： 学生确定概率并对事件做出预测 将概率作为比，比例和小数在 0-1之间来表示 ,作为百分数在 %-1 %之间表示。 八年级 【数感】： 将分数转换为小数和百分数，并使用这些表示法来估计，运算和应用。 计算一个数量增加和减少的百分比。 选择加州课标进行对比，是因为它有着清晰的结构框架和明确的课程目标。从表 4-5中可以清晰地看到
5、，加州课程标准分别在三个年级的 “ 数感 ” （ Number Sense)学 习中，对百分数的学习提出了要求。其中提到与百分数关联的概念有分数，小数，比 和比例；相关的领域还有统计与概率；题型涉及求一个数的百分之几是多少，以及百 分数的增加和减少。如此看来，加州课标中对于百分数学习的要求与其在教材中的呈 现几乎是一致的。而存有异议的一点在于，加州课标提出 “ 将百分数作为 100中的一 部分来理解 ” ，抛开这句话的正确与否不谈，这与教材中对于百分数的定义 “ 百 分数是将一个数字与 100进行比较所得到的比 ” 就是完全不同的。因此，在课程标准 与教材对于同一个概念的定义不相符的情况下，将
6、会对教师对于这个概念的把握产生 干扰，这需要引起我国课程标准与教材编写者的注意，即课标与教材在呈现某种概念 时应达到统一。 相较之下，我国的课程标准中对于百分数这部分内容的描述则要 “ 简练 ” 得多了， 即第二学段的课程内容中提出， “ 结合情境，理解百分数的意义；会进行小数、分数 和百分数的转化。 ” 也就是说我国的课程标准 对于百分数学习所提出的要求分为两点， 第一点是理解其意义；第二点是进行 “ 互化 ” 。不过，从我国各版本教材中所呈现出 的内容来看，这两点固然占据了相当重要的位置，但是并不代表全部。除此之外，百 分数教学中还包括它与比、概率等概念的联系，以及一系列的题目类型。因此，
7、课程 标准中这短短的一句话并不能涵盖百分数的学习，甚至于遗漏了一些相当重要的内 容，也就不能很好地引导教师对于百分数进行教学，充分发挥课程标准本身所具备的 价值。 Califorina Department of Education.K-12 Common Core Content Standards for MathonaticsEB/OL. http:/www, cde.cagov/be/ss/documents/mathstandards.pdf， 2013-03-01.表 4-5 内摘取的内容来自课程标准的第 20 页一第 39 页之间 . 61 4. 2. 2.1 与加州课程标准（表
8、 4-5)对比 完善对百分数学习内容的要求 表 4-5加州课程标准中有关百分数的内容 六年级 【数感和计算】： 将简单的分数，小数和 n分数相关联。 理解百分数，比和单位率之间的关系。 七年级 【数感和计算】： 联系分数，小数和百分数。 解决涉及整数 n分数和单位分率的问题。 使用 7?分数，比和比率來理解比例关系。 在给定情境中选择 恰当的表达形式（如分数，小数和 n分数）。 当解决涉及整数，小数和百分数的运算时使用估计，来帮助检验结果的合理性。 将概率以分数，小数和 H分数的形式来表达。 八年级 【数感和计算】： 解决涉及有一位小数 n分数和大于 1 %的 n分数的问题。 转换分数，小数和
9、 TT分数的等值形式。 当解决涉及整数，小数和 IT分数的运算时使用估计，来帮助检验结果的合理性。 解决现实生活情境中涉及百分数的问题。 百分数。使用百分号来表达的一个比。 n分数 :s味着 “ 每一 n” （ ut f a hundred)。 比如 ， 30%意味着 100中的 30 个 TT分数可以波表 $为一个分数， j!_: 分母是 1 “ 安大略省是加拿大基础教育规模最大的省份，该省的课程、教材、教学评价也 最为成熟、完善 ” ， 并且该省的课程标准不仅是为教师提供指导，也针对期望学生达 到的目标对家长和学生本身提供了清晰的描述。根据表 4-6,安大略省的课程标准中 对于百分数学习的
10、规定则与加州课程标准存在着相似之处。不过，这个课标中又提到 了 “ 解决百分数的运算时使用估计，来帮助检验结果的合理性 ” 。因为百分数这个概 念本身存在着一定的复杂性，再加上其他一些因素的干扰，经常会导致学生在有关百 分数的运算中出错。其中，有些错误答案与正确答案相去甚远，可以说几乎是不着边 际的。但若是学生能在相关的运算中学会估计的话，也就能够判断 _正确答案所属 的区 间，也就不至于出现一些较为离谱的错误了。实际上，这种估算的能力早在学生接触 百分数之前就需要培养起来，有多国的课程标准都曾提出要全面发展学生的运算方 法，不能仅仅局限于笔算，还要包括心算和估算。随着新一轮课程改革的进行，课
11、程 标准 （ 2011年版）中提出了要培养学生的估算意识与能力，体现了对估算这部分内 容的重视。因此，将估算与百分数的教学相结合，是亟需我国课程标准纳入的。 Ontario Ministry of Education.The Ontario Curriculum Grades 1-8 MathematicsEB/OL. http:/www.edu.gov. on.ca/ eng/curriculum/elementary/mathl8curr.pdf， 2013-03-07.表 4-6 内 摘 取 的 内 容 来 自 程 I示准的第 86 贞 一 第 132 lij 之 间 . 张文宇，张守波
12、 .加拿大小学数学课程标准中的空间观念评析 以安大略饵为例 叮外 H中小学教育 ， 2012, (6)： 53-58. 62 4. 2. 2. 2 与安大略省课程标准（表 4-6)对比 将估算与百分数教学结合 表 4-6安大略省课程标准中有关百分数的内容 4. 2. 2. 3 与新加坡课程标准（表 4-7)对比 明确百分数学习阶段的划分 表 4-7新加坡课程标准中有关百分数的内容 因为新加坡向来重视国民教育，并以 “ 问题解决 ” 为课程框架的核心，故选择新 加坡课程标准进行对比。从表 4-7中可以看到，新加坡课标对于百分数教学的描述是 相当清晰的，百分数的学习被明确分为了两个部分，第一部分是
13、百分数中的分数含义， 第二 部分是百分数中的比含义。特别是在第二部分中，课程标准对于比这一特点的描 述非常详细、全面，其中正是因为百分数可以表示两个量之间的比较关系，才能产生 大于 100%的百分数。因而，这样的内容安排方式是值得我国课程标准借鉴的。不过， 新加坡课程标准并没有使用如 “ 了解 ” 和 “ 理解 ”等动词，只是将知识点罗列出来。 一方面，可以说是赋予了教师一定的灵活性；而另一方面，则是让人疑惑学生究竟应 该对某个知识点掌握到何种程度。 针对百分数的教学，选用了以上一些国家的课程标准与我国的课程标准进行对比 与分析，目的在于根据其中一些 合理又有价值的内容来完善我国课标中对于百分
14、数的 呈现。总的来说，我国课程标准在编写百分数时过于简单，并未全面地展现出与其相 关联的概念、学习领域和题型等。与此同时，可以考虑在课程标准中对于百分数（以 及其他概念）进行定义与讲解，一方面可以通过肯定或修改对相关概念达成统一，避 免产生歧义；另一方面也可以更好地来指导教师的教学。 曹一鸣 .十三国数学课程标准评介 M.北京：北京师范大学出版社， 2012: 310-312. 63 六年级 【包括】： 用百分数表示整体的一部分 百分号（ )的使用 分数、小数和百分数之间的转换 求占整体给定百分数的部分 解决含百分数的两步文字应用题 折扣、消费税和年利率 【不包括】： 求盈利或亏损的百分数 求
15、增长或下降的百分数 将一个量表示为另一个量的百分数，例如： A是 B的 60% 用百分数比较两个量，例如： A比 B多 20% 中学一年级 【包括 L 把一个量表示成另一个量的百分数 比较两个量的百分数 大于 100%的百分数 按给定的百分数增加或减少一个量 含百分数的问题 4. 2. 3对教师的建议 下面，将依据学生学习百分数中的错误，对教材与课程标准的分析和教学实例对 教师的百分数教学提出相应的意见和改进措施。 4.2. 3.1完善知识储备，实现本质与关联的渗透 在 “ 让数学在思维的延展中转化为文化的演绎 ” 这篇教学实录中，教师说道 “ 百 分数的产生是为了比较和统计 ” ，但通过百分
16、数的发展来看却显然不是这样的。在 “ 认 识百分数 ” 这节课中导入百分数的阶段，教师都采取了各种不同的形式，若是从统计 这一角度入手的话，通常是采用如比较三人投篮成绩这一方法，由不便比较而将其通 分为分母是 100的分母，即为百分数。但这样的讲授方法体现出百分数的作用了吗？ 只不过是这三个分数的分母通分后恰好为 100而已。这时若能再在此基础上增添几组 数据，由找公分母难、通分不方便，而规定一个共同的分母 100,来说明其方便 比较就会是更有意义的。 至于百分号为何写成 “ ” ，也是很多学生关心的问题，教师之所以无法解释或 解释得不够准确，归根结底，还在在于自身对这部分内容的不了解。因此，
17、教师应先 完备自身的知识储备，这不仅要涉 及百分数这个概念的本质，同样还要包括它的关联。 而百分数的关联性也并非只是它与生活的密切联系，还应与其他学科（英语等）和其 他数学概念相互交融，因为无论是从历史的角度进行宙视，还是多种教学模型的使用， 都可以看出百分数和比例之间的关联，但是这却被人为的有意或是无意地割断了。 4. 2. 3. 2着重于 “ 比较 ” ，交互比较的类型、对象和顺序 尽管百分数的一个关键特征就是两个比较类型之间的差异，但是在 “ 认识百分数 ” 的这节课中，教材和教师都过多地强调了由部分与整体的比较而产生的百分数（如种 子的出芽率为 20%)， 而没有将其他比较的形式完整地
18、呈现出来。 其实，教材中对于百分数比较类型的呈现也并不是一直 “ 偏向 ” 部分与整体的， 实际上，在百分数学习的第二个阶段 百分数的应用中会出现很多涉及独立数量比 较的百分数。不过，更多的教学内容是解决百分数的问题，而不是再次认识百分数。 因此，当学生最先是以部分与整体的视角认识百分数，而后再用其解决涉及独立数量 进行比较的题目，也就会对百分数的理解造成偏差。特别是在涉及到如 200%这种大 于 100%的百分数时，教师其实并没有让学生由这样的数据是部分与整体的关系所无 法解释的，进而从两个量比较的角度进行思考，而这也就恰恰忽略了百分数的本质。 Glatzer的建议是，用以下问题的讨论来潜在
19、地连接到学生的直觉。 1.班里能有 100%的出勤率吗？ 2.班里能有 200%的出勤率吗？ 3.价格能增长 40%吗？ 4.价格能增 长300%吗？ 5.价格能减少 50%吗？ 6.价格能减少 200%吗？从这些问题可以看出，百 分数的教学应立足于学生的生活经验，并能通过同一情境中的不同百分数数据来引发 学生思考，使学生随着教师的教学设计来加强批判性思维，并能认识到不同比较类型 的存在。 David J.Glatzer.Teaching percentage:Ideas and suggestions.The Arithmetic Teacher, 1984 31 (6)： 24-26. 64