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1、ABPAl数数无无形形时时少少直直观观;形形少少数数时时难难入入微微。华华罗罗庚庚最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习 在公路在公路l两侧有两村庄，现要在公路两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一旁修建一所候车亭所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭试确
2、定候车亭P的位置。的位置。中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 2023温故而知新一温故而知新一最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二ABP 思考：本题运用了思考：本题运用了 .两点之间，线段最短两点之间，线段最短.随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索几几 何何 画画 板板巩固练习巩固练习l 在公路在公路l两侧有两村庄，现要在公路两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一
3、旁修建一所候车亭所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭试确定候车亭P的位置。的位置。中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 2023温故而知新一温故而知新一最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二ABP 思考：本题运用了思考：本题运用了 .两点之间，线段最短两点之间，线段最短.随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩
4、固练习巩固练习几几 何何 画画 板板l 如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L建建一泵站一泵站P分别向分别向A、B两村庄同时供水，要使泵站两村庄同时供水，要使泵站P到到A村、村、B村的距离之和最短，确定泵站村的距离之和最短，确定泵站P的位置。的位置。中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 2023温故而知新一温故而知新一AP 思考：本题运用了思考：本题运用了 .两点之间，线段最短两点之间，线段最短;轴对称、线段的垂直平轴对称、线段的垂直平分线的性质、分线的性质、转化思想、模型思想转化思想、模型思想最短路径问题最短路径问题最短路径
5、问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板上次更新:09 三月 2023随堂练习二随堂练习二中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题1.架架桥问题桥问题：如：如图图，A A、B B两地在一条河的两岸，两地在一条河的两岸，现现要在河上要在河上 造造一座一座桥桥MNMN，桥桥造在何造在何处处可使从可使从A A到到B
6、 B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的两岸是平行的直两岸是平行的直线线，桥桥要与河垂直。）要与河垂直。）ANM 思考：本题运用了思考：本题运用了 .两点之间，线段最短两点之间，线段最短,图形的平移、图形的平移、转化思想、模型思想转化思想、模型思想最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固
7、练习几几 何何 画画 板板上次更新:09 三月 2023随堂练习二随堂练习二中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题1.架架桥问题桥问题：如：如图图，A A、B B两地在一条河的两岸，两地在一条河的两岸，现现要在河上要在河上 造造一座一座桥桥MNMN，桥桥造在何造在何处处可使从可使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的两岸是平行的直两岸是平行的直线线，桥桥要与河垂直。）要与河垂直。）ANM 思考：本题运用了思考：本题运用了 .两点之间，线段最短两点之间，线段最短,图形的平移、图形的平移、转化思想、模型思想转化思想、模型思想最短路径问题最短路径问题
8、最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板上次更新:09 三月 20231.如图如图,已知正方形已知正方形ABCD，点，点M为为BC边的中点，边的中点，P为对角线为对角线BD上的一动点，要使上的一动点，要使PM+PC的值最小，的值最小，请确定点请确定点P的位置。的位置。随堂练习三随堂练习三中学数学复习中学数学复
9、习最短路径问题最短路径问题PABCDPM最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 2023随堂练习四随堂练习四2.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分别为分别为AB、BC边的中点，边的中点，P为对角线为对角线AC上的一动
10、点，要使上的一动点，要使 PM+PN的值最小，的值最小，试确定点试确定点P的位置。的位置。ABCDPMNP最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 2023随堂练习二随堂练习二2.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分别为
11、分别为AB、BC边的中点，边的中点，P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 PM+PN的值最小，的值最小，试确定点试确定点P的位置。的位置。ABCDPMNP最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板上次更新:09 三月 2023拓展探索拓展探索中学数学复习中学数学复习最短
12、路径问题最短路径问题1.如图，点如图，点P在在AOB内部，问如何在射线内部，问如何在射线OA、OB上分别找点上分别找点C、D，使，使PC+CD+DP之和最小？之和最小？P1P2CD最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板上次更新:09 三月 2023中学数学复习中学数学复习最短路径问题
13、最短路径问题2.饮马问题饮马问题:如如图图牧牧马马人从人从A A地出地出发发，先到草地，先到草地边边某一某一处处牧牧马马，再到河再到河边饮马边饮马，然后回到，然后回到B B处处，请请画出最短路径。画出最短路径。解：如解：如图图所示所示 分分别别作出点作出点A关于关于MN的的对对称点称点A1,点点B关于关于l的的对对称点称点B1，连连接接A1 B1,与与MN和和l分分别别交于点交于点C,D,则线则线路路ACDB即即为为所求。所求。MNlCDA1B1AB拓展探索拓展探索最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）
14、探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板上次更新:09 三月 2023中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题2.饮马问题饮马问题:如如图图牧牧马马人从人从A A地出地出发发，先到草地，先到草地边边某一某一处处牧牧马马，再到河再到河边饮马边饮马，然后回到，然后回到B B处处，请请画出最短路径。画出最短路径。解：如解：如图图所示所示 分分别别作出点作出点A关于关于MN的的对对称点称点A1,点点B关于关于l的
15、的对对称点称点B1，连连接接A1 B1,与与MN和和l分分别别交于点交于点C,D,则线则线路路ACDB即即为为所求。所求。MNlCDA1B1AB拓展探索拓展探索最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板x上次更新:09 三月 2023中考链接中考链接中学数学复习中学数学复习最短路径问题最
16、短路径问题2.如图，以矩形如图，以矩形OABC的顶点，的顶点，OA所在的直线为所在的直线为x轴，轴，OC所在的所在的直线为直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4,OC=2,点点E、F分分别是边别是边AB、BC的中点，的中点，在在x轴、轴、y轴上是否分别存在点轴上是否分别存在点N、M，使，使得四边形得四边形MNEF的周长最小？如果存在，请在图中确定点的周长最小？如果存在，请在图中确定点M、N的的位置，若不存在，请说明理由。位置，若不存在，请说明理由。MNE1F1最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探
17、究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板x上次更新:09 三月 2023中考链接中考链接中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题2.如图，以矩形如图，以矩形OABC的顶点，的顶点，OA所在的直线为所在的直线为x轴，轴，OC所在的所在的直线为直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4,OC=2,点点E、F分分别是边别是边AB、BC的中点，的中点，在在
18、x轴、轴、y轴上是否分别存在点轴上是否分别存在点N、M，使，使得四边形得四边形MNEF的周长最小？如果存在，请在图中确定点的周长最小？如果存在，请在图中确定点M、N的的位置，若不存在，请说明理由。位置，若不存在，请说明理由。MNE1F1最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板上次更新:
19、09 三月 2023课堂小结课堂小结中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题说说你的收获说说你的收获考察知识点：考察知识点：；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；数学思想：数学思想：；数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等；数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等；试题变式背景有试题变式背景有:;角、三角形、菱形、矩形、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。正方形、梯形、坐标轴等。数学模型：数学模型：.已知直线已知直线 l 和和 l 的同侧两点的同侧两点A、B，在直线上求作点在直线上求作点P，使，使PA+P
20、B最小。最小。最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板上次更新:09 三月 2023课堂小结课堂小结中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题说说你的收获说说你的收获考察知识点：考察知识点：；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等；两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的
21、平移等；数学思想：数学思想：；数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等；数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等；试题变式背景有试题变式背景有:;角、三角形、菱形、矩形、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。正方形、梯形、坐标轴等。数学模型：数学模型：.已知直线已知直线 l 和和 l 的同侧两点的同侧两点A、B，在直线上求作点在直线上求作点P，使，使PA+PB最小。最小。最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二
22、温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 2023巩巩 固固 练练 习习1.已知菱形已知菱形ABCD，M、N分别为分别为AB、BC边的中点，边的中点，P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 PM+PN的值最小，的值最小，试确定点试确定点P的位置。的位置。ABCDPMNP最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）
23、温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板变式（变式（1）中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 20231.变式（变式（1）.如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD，M、N分别为分别为 AB、BC边上的点，边上的点，P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 PM+PN的值最小，试确定点的值最小，试确定点P的位置。的位置。P最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温
24、故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习巩巩 固固 练练 习习几几 何何 画画 板板变式（变式（2）中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 20231.变式（变式（2）.如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD的边长为的边长为6，面积，面积为为30，BAD=60,点点M为为AB边的中点，点边的中点，点P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上
25、的一动点，要使 PM+PB的值最小，试确定点的值最小，试确定点P的位的位置，并求出置，并求出PM+PB的最小值的最小值.P最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩巩 固固 练练 习习巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板变式（变式（3）中学数学复习中学数学复习最短路径问题最
26、短路径问题上次更新:09 三月 20231.变式（变式（3）.如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD，M、N分别为分别为AB、BC边上的点，边上的点，P为对角线为对角线AC上的一动点，要使上的一动点，要使 MPN的周长最小，试确定点的周长最小，试确定点P的位置的位置.P最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩巩 固固 练练
27、 习习巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 20232.如图，已知点如图，已知点P是直线是直线x=1上的一动点，点上的一动点，点A 的坐标为（的坐标为（0，2），若），若OPA的周长最小的周长最小,试在试在图中确定点图中确定点P的位置。的位置。OP最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探
28、究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩巩 固固 练练 习习巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板中学数学复习中学数学复习最短路径问题最短路径问题上次更新:09 三月 2023随堂练习二随堂练习二3.如图，点如图，点A、B位于直线位于直线L同侧，定长为同侧，定长为a的线段的线段MN在直线在直线L上滑动，请问当上滑动，请问当MN滑到何处时，折线滑到何处时，折线AMNB长长度最短？。度最短？。A1NA2M最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题温故而知新温故而知新范例学习范例学习课堂小结课堂小结探究（一）探究（一）探究（二）探究（二）温故而知新一温故而知新一中考链接中考链接课堂小结课堂小结温故而知新二温故而知新二随堂练习二随堂练习二温故而知新温故而知新随堂练习一随堂练习一探究（二）探究（二）拓展探索拓展探索巩固练习巩固练习几几 何何 画画 板板