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1、 20172017年中考复习专题：年中考复习专题：澄江六中澄江六中 陈家荣陈家荣2017年年6月月 中考题中出现最短路径问题，往往都涉中考题中出现最短路径问题，往往都涉及具体的计算和求值，需要结合勾股定理、及具体的计算和求值，需要结合勾股定理、平面直角坐标系、函数与方程知识，从而得平面直角坐标系、函数与方程知识，从而得出定量的结果。解决这类问题的关键，首先出定量的结果。解决这类问题的关键，首先要牢固掌握基础知识、基本思想方法和基本要牢固掌握基础知识、基本思想方法和基本问题模型，熟悉最短路径问题的常考题型。问题模型，熟悉最短路径问题的常考题型。中考导航中考导航【教学知识点教学知识点】：1、两点之
2、间，线段最短；、两点之间，线段最短；2、垂线段最短（构建、垂线段最短（构建“对称模型对称模型”实现转化）；实现转化）；3、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。【能力要求能力要求】：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想力及渗透数学建模的思想.【情感要求情感要求】：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣通过有趣的问题提高学
3、习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学用的数学 教学目标教学目标教学过程教学过程 一、基础知识一、基础知识1、两点之间，线段最短、两点之间，线段最短问题问题1：如图：如图1，定点，定点A,B之间有之间有4条路径条路径L1、L2、L3、L4，问哪条路径，问哪条路径最短？为什么？最短？为什么？理由：显然，理由：显然，L3最短。因为，两点之间，最短。因为，两点之间，线段最短（公理）。线段最短（公理）。问题问题2：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，：三角形两边之和大于第三边，两边之差
4、小于第三边，为什么？为什么？理由：理由：“三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边”事实上就是事实上就是“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”这一公理的直接应用。在这一公理的直接应用。在“三角形两边之和大于第三角形两边之和大于第三边三边”的不等式两端同时减去一边，可得到的不等式两端同时减去一边，可得到“三角形两边之差三角形两边之差小于第三边小于第三边”。2、点到线的最短路径问题、点到线的最短路径问题问题问题1：如图：如图2，P点到线段点到线段AB有三条路径有三条路径L1、L2、L3，问哪条路径最短？为什么？，问哪条路径最短？为什么？理由：显然，理由：显然，L2最短。因为，垂线段最短（
5、公理）最短。因为，垂线段最短（公理）二、基本思想方法：化归二、基本思想方法：化归（一）、平面问题中的最短路径问题常用轴对称、平移、旋转（一）、平面问题中的最短路径问题常用轴对称、平移、旋转（包括中心对称）等保距变换，化折为直，化曲为直加以解决。（包括中心对称）等保距变换，化折为直，化曲为直加以解决。（二）、立体问题平面化（二）、立体问题平面化1、多面体表面上两点间的最短路径问题，将其转化为平面内、多面体表面上两点间的最短路径问题，将其转化为平面内两点间的最短路径问题加以解决。两点间的最短路径问题加以解决。2、旋转体表面上两点间的最短路径问题，常将旋转体表面展、旋转体表面上两点间的最短路径问题，
6、常将旋转体表面展开成平面图形，用平面内两点间的最短路径问题加以解决。开成平面图形，用平面内两点间的最短路径问题加以解决。三、基本问题模型三、基本问题模型1、抽水站选址问题、抽水站选址问题:（1）、两点在直线异侧（）、两点在直线异侧（原理：两点之间，线段最短原理：两点之间，线段最短）例例1、如图、如图3：点：点A,B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。解：连接解：连接AB交直线交直线L于点于点P,点点P为所求点。此时，为所求点。此时，PA+PB的最小值是的最小值是AB线段的长。线段的长。理由：理由：“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”。（2
7、）、两点在直线同侧（）、两点在直线同侧（原理：线段最短原理：线段最短+1次轴对称次轴对称）练习练习1、如图、如图4：A、B在直线在直线L同侧，在同侧，在L上求一点上求一点P，使，使PA+PB最小。最小。解：作点解：作点B关于直线关于直线L的对称点的对称点B，连接，连接AB交直线交直线L于于P点，点，P点即为所求点。点即为所求点。理由：理由：B、B关于直线关于直线L对称，有对称，有PB=PB PA+PB=PA+PB=AB(线段最短）段最短）PA+PB最小。（两点之间，线段最短）最小。（两点之间，线段最短）2、造桥修路问题、造桥修路问题（1）、）、两点之间，线段最短两点之间，线段最短+平移平移例例
8、2、如图、如图5，村庄，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸位于一条小河的两侧，若河岸m n，现在要建设一，现在要建设一座与河岸垂直的桥座与河岸垂直的桥MN，问桥址应如何选择，才能使，问桥址应如何选择，才能使A村到村到B村的路程最短？村的路程最短？解：将解：将A点向下平移至点向下平移至A，使，使AA=河宽，连接河宽，连接AB交直线交直线n于于N,过过N作作NM直线直线m于于M,连连AM，线段，线段MN即为所架桥的位置。即为所架桥的位置。理由：理由：“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”。AM+MN+NB的值最小，最小值为的值最小，最小值为AB+MN.（2）、）、平移平移+轴对称轴对称练习练习
9、2、如图，在直线、如图，在直线L上求两点上求两点M、N，使，使MN=a，且使，且使 AM+MN+NB的值最小。的值最小。M、N即为所求点，此时即为所求点，此时AM+MN+NB最短。最短。理由：理由：由作图知由作图知AM=AN=AN,AM+MN+NB=AB+MN最小最小（两点之间，线段最短）（两点之间，线段最短）ABCD3、立体图形中的最短路径问题：、立体图形中的最短路径问题：例例3、如图是一个长方体木块，已知、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则处，则蚂蚁爬行的最短路径是蚂蚁爬行的
10、最短路径是 。理由理由：所以，蚂蚁爬行的最短路径是所以，蚂蚁爬行的最短路径是练习练习3、有一个圆柱，它的高等于、有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于厘米，底面半径等于3厘米在圆柱的底面厘米在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(的值取的值取3)。解：解：将圆柱的侧面展开如右图，可知蚂蚁爬行的最短路径是线段将圆柱的侧面展开如右图，可知蚂蚁爬行的最短路径是线段AB。BB=圆柱高圆柱高=12cm，AB=底面周长的一半底面周长的一半=3。AB 15答：蚂蚁爬行
11、的最短路程约为答：蚂蚁爬行的最短路程约为15厘米。厘米。四、中考题型训练四、中考题型训练1、正方形、正方形ABCD的边长为的边长为8，M在在DC上，且上，且DM2，N是是AC上的一动点，上的一动点，DNMN的最小值为的最小值为 。解：解：DN+MN=BM,DM=2，则，则CM=6在在RTBCMBCM中，中，所以，所以，DN+MN的最小值是的最小值是10102、如图，点、如图，点P关于关于OA、OB的对称点分别为的对称点分别为C、D，连接，连接CD交交OA于于M，交，交OB于于N，若，若CD18cm，则，则PMN的周长的最小值为的周长的最小值为_。解：解：P、C关于直线关于直线OA对称，对称，P
12、、D关于直线关于直线OB对称对称 CM=PM,DN=PN PMNPMN周长周长 =PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=18cm=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=18cm PMNPMN周长的最小值是周长的最小值是18cm 18cm（两点之间，线段最短）（两点之间，线段最短）18cm3、已知，如图、已知，如图DE是是ABC的边的边AB的垂直平分线，的垂直平分线，D为垂足，为垂足，DE交交BC于于E，且，且AC5，BC8，则，则AEC的周长为的周长为_。4、如图，直线、如图，直线l是第一、三象限的角平分线是第一、三象限的角平分线实验与探究：实验与探究：（1）、由图观察易知）、由图观察
13、易知A（0，2）关于直线）关于直线l的对称点的对称点A的坐标为（的坐标为（2，0），请在图中分），请在图中分别标明别标明B（5，3）、）、C（2，5）关于）关于直线直线l的对称点的对称点B、C的位置，并写出他们的的位置，并写出他们的坐标：坐标：B 、C ；归纳与发现：归纳与发现：（2）、结合以上三组点的坐标，你会发现：）、结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三）关于第一、三象限的角平分线象限的角平分线l的对称点的对称点P的坐标的坐标为为 ；BB解：解：DE垂直平分垂直平分AB BE=AEAECAEC的周长的周长=AE+CEAE+CE+AC=+A
14、C=BE+CEBE+CE+AC=+AC=BCBC+AC=8+5=13+AC=8+5=1313 CC(5,-2)(3,5)(b,a)运用与拓广运用与拓广（3）已知两点）已知两点D（1，3）、）、E（1，4），试在直线），试在直线l上确定一点上确定一点Q，使点使点Q到到D、E两点的距离之和最小，并求出两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。点坐标。解：作点解：作点E关于直线关于直线L的对称点的对称点E,连接接ED交直交直线L于点于点Q,点点Q即即为所求点。所求点。EE Q Q此时，此时，QD+QE=ED(两点之间，两点之间，线段最短）线段最短）点点Q的坐标为（的坐标为（-2，-2)5、如图，抛物线、如
15、图，抛物线 的对称轴是直线的对称轴是直线X=-1 且经过且经过A（1,0）和）和C（0,3）两点，与）两点，与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为B。（1）、在对称轴）、在对称轴x=-1上找一点上找一点N，使点，使点N到点到点A、C的距离之和最小，的距离之和最小，求点求点N的坐标，并求出的坐标，并求出NA+NC的最小值。的最小值。解：抛物线的对称轴是直线解：抛物线的对称轴是直线X=-1，A(1，0)知知B(-3，0),A、B关于直线关于直线X=-1对称，连接对称，连接BC交对交对称轴于称轴于N,点点N即为所求点。即为所求点。N连接连接AN,NA+NC=BC最短。最短。设设BC解析式为解析式为y=
16、kx+b过过B、C-3k+b=0b=3-3k+b=0b=3-3k+b=0解得解得k=1，b=3所以，所以，BC解析式为解析式为y=x+3当当x=-1时，时，y=2，所以，所以，N点坐标为（点坐标为（-1,2）NA+NC的最小值是的最小值是 NA+NC的最小值是的最小值是五、课时小结五、课时小结 这节课我们利用这节课我们利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”、“垂线段最短垂线段最短”、“勾股定理和它的逆定理勾股定理和它的逆定理”解决了生活中的几个最短路径解决了生活中的几个最短路径问题。更重要的是通过平移、旋转、轴对称等图形变换把实际问题。更重要的是通过平移、旋转、轴对称等图形变换把实际问题抽象成数学模型，用数学建模思想提高解决实际问题的能问题抽象成数学模型，用数学建模思想提高解决实际问题的能力。力。六、课后作业：完成中考训练题六、课后作业：完成中考训练题4、5两题。两题。