第7讲.竞赛123班.教师版.pdf

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1、必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七讲教师版Page 65被世人誉为数学王子的德国数学家高斯曾经说过“如果说数学是科学的皇后,那么数论是数学皇后的皇冠。”大家熟知的“费马大定理”，“哥德巴赫猜想”就是这个皇冠上璀璨的明珠。有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。1.回顾数论知识体系；2.精讲数论经典范例。【例 1】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个

2、零件,第二道工序每名工人每小时可完成10 个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C 个 工 人,有 61015ABCk,那 么 k 的 最 小 值 为 6,10,15 的 最 小 公 倍 数,即6,10,1530。所以5A,3B，2C，则三道工序最少共需要53210名工人【例 2】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析】对90分解质因数:902335。因为 5|

3、126,所以 5|甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5。因为 2|105,所以 2|乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2。因为 9|105,所以 9|乙,即乙最多含有一个因数3，甲必含 9。综上所述，甲为18 的倍数，所以只能是18。注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最 大 值 如322357a,32235711b，则A、B的 最 小 公 倍 数 含 有 质 因 子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有 3个,3个,2个,1个,1个,即332,235711a b。专题回顾教学目标数论综合第七讲必

4、须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七讲教师版Page 66枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。【例 3】求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。由于任何数

5、除以11 所得余数都不大于10，所以222xyz10。从而 13x，03y，03z。所求三位数必在以下数中：100101102103110111112120121122130200201202211212220221300301310不难验证只有100，101两个数符合要求。【例 4】写出12个都是合数的连续自然数。【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7 个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与 127 之间共有 13 个都是合数的连续自然数：114，115，116

6、，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。（法二）如果设这12个数分别是a，1a，2a，11a，如果2a能被2到13 中任意一个数整除，那么a，1a，2a，11a，能分别被2、3、4,13整除，所以，只要取13!a即可得到符合条件的12个数。（法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算13!非常困难，所以应该选取折中的方法，设这12个数分别是5a，4a，4a，5a，6a。所以只要使a能被2到 6 的所有整数整除，并且保证1a和1a都是合数即可，通过试验可得到120a即是符合条件的值。枚举法经典精讲必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七

7、讲教师版Page 67【例 5】如图，有三张卡片，在它们上面分别写着1，2，3。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）【分析】因为这三个数字的和为6，能被 3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为123，根据同样的道理，用1，2组成的两位数也能被3整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有13，31，23，32 这四个了。其中13，31，23都是素数。最后一位数素数只有2，3。【拓展】a、b和c都是两位数，a、b的个位分别是7和5，c的十位是1,如果它

8、们满足等式2005abc，则_abc。【分析】既然a和 b 的个位分别是7 与 5，ab 的个位是 5，可知2005cab 的个位一定是0，而且。已知c的十位是1，所以10c.1995ab，既然a、b 的个位分别是7 与 5，可知57a，35b，所以573510102abc。【例 6】求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方【分析】设所求的四位数为xaabb，则10001001011 100 xaabbab，其中09a，09b。可见平方数x被11整除，从而x被211 整除 因此，数 10099abaab 能被11整除，于是ab 能被11整除但 018ab，

9、以11ab于是21191xa，由此可知 91a是某个自然数的平方对1a，2，9 逐一检验，易知仅7a时，91a为平方数，故所求的四位数是2774488。【前铺】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有 _个。【分 析】原 两 位 数 为 10ab，则 交 换 个 位 与 十 位 以 后，新 两 位 数 为 10ba，两 者 之 差 为1010927abbaab，即3ab，a、b 为一位自然数，即96，85，74，63，52，41满足条件。对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：1

10、.十进制表示形式：1010101010nnnnNaaa；2.二进制表示形式：1010222nnnnNaaa；3.带余形式：abqr；（奇数可以表示为21n，偶数表示为2n，其中n为整数）4.标准分解式：1212kaaakp pp；5.2的乘方与奇数之积式：2mnt；（其中t为奇数）。6.最大公约数与系数之积式：1mdm，1ndn，其中,m nd，11,1m n。代数表示法必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七讲教师版Page 68【例 7】求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）。【分析】设2n 满足条件，

11、令22100nab，其中0100b。于是100n，即101na。因此22100201bnaa，由此得201100a，所以4a。经验算，仅当4a时，41n满足 条件。若41n则2222404240100n。因此，满足条件 的最大的完全平方数为2411681。【例 8】从自然数1，2，3，1000 中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被 18 整除？【分析】设a，b，c，d 是所取出的数中的任意4个数，则18abcm，18abdn，其中m，n是自然数。于是18cdmn。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18 的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则1

12、18aar，118bbr，118ccr，其中1a，1b，1c 是整数。于是111183abcabcr。因为 18|abc，所以 18|3r，即 6|r，推知0r，6，12。因为 100055 1810，所以，从1，2，,，1000中可取 6，24，42，996共 56 个数，它们中的任意3个数之和能被18 整除。【例 9】如果2ab 被 5 除余数为2，3ab 被 5 除所得的余数为3，求证：ab 能被 5 整除。（a、b都是自然数）【分析】（法一）设252abk，354abl，解方程组252353abkabl得到1058731557lkaklb，所以151057lkab能被 5 整除。（法二

13、）由题目条件2 332abab 能被 5 整除，即 38ab 能被 5 整除，继而得到33ab能被 5 整除，所以ab 能被 5整除。【前铺】如果23ab 是 5 的倍数,证明：23ba 也是 5 的倍数。（a、b都是自然数）【分析】（法一）55ab 是 5 的倍数，所以552332ababab 是 5 的倍数。（法二）设 235abk，那么532kba，则53155232322kbkbbab，是 5 的倍数。【前铺】如果3ab 是 7 的倍数，求证2ba 也是 7 的倍数。（a、b都是自然数）【分析】（法一）3ab 是 7 的倍数，所以62ab 也是 7 的倍数，所以627aba 也是2ba

14、 也是 7 的倍数。（法二）设37abk，那么73kba，所以7723bkba也是 7 的倍数。【拓展】如果abc 是 5 的倍数，234abc 也是 5 的倍数，求证ac是 5 的倍数。（a、b、c都是自然数）【分析】ac=3 abc234abc，所以ac能被 5整除。必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七讲教师版Page 69【例 10】有一个自然数，它除以15、17、19 所得到的商(1)与余数(0)之和都相等，这样的数最小可能是多少。【分析】15.()15()1417.()17()1619.()19()18abcAaXXaAaXaaXAbXXbAbXbbXA

15、cXXcAcXccX14161872|abcaa 至少为 72，1515721080aaaAaXXX14161863|abcbb 至少为 63，1717631071bbbAbXXX14161856|abccc 至少为 56，1919561054cccAcXXX最小为 1081。【例 11】在1到 600中，恰好有3个约数的数有几个？【分析】3只能表示为21，所以符合条件的数含有的不同质因数只有1 个，且该质因数有2个，注意到有 3个约数的数一定是质数的完全平方，2，3，5，7，11，13，17，19，23 这 9 个数的平方数在1到 600之间，共有9 个符合要求。【拓展】在1到 100中，恰

16、好有6 个约数的数有多少个？【分析】6 只能表示为51 或 1121，所以恰好有6 个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：2222222222222222325272112132172192238323537311452532721种种种种所以符合条件的自然数一共有1842116 种。【例 12】两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如221653，16 就是一个“智慧数”在自然数列中从1开始数起，试问第1990 个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由。【分析】显然1不是“智慧数”，而大于1

17、的奇数22211kkk，都是“智慧数”。22411kkk，可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于22xy=xyxy（其中x、yN），当x，y奇偶性相同时，xyxy被4整除。当x，y奇偶性相异时，xyxy为奇数，所以形如42k的数不是“智慧数”，在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智慧数”，由于 19893663，所以 26564664 是第 1990 个“智慧数”。如何计算一个自然数的约数个数：a将该自然数用标准分解式表达：1212kaaakp pp；b将该自然数的约数用标准分解式表达：1212kbbbkppp，则11ba，22ba

18、，nnba；c对于任意的ib 可以取值 0 到ia 这1ia个整数；d根据乘法原理不同的约数有12(1)(1).(1)kaaa个。必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七讲教师版Page 70【拓展】如果自然数n使得 21n和 31n都恰好是平方数，试问53n能否是一个素数？【分析】如果221nk，231nm，则22534 2131422nnnkmkmkm 因为253312221nnmm，所以 21km（否则 53221nkmm）。从而 5322nkmkm 是合数。【拓展】将16表示成两个自然数的倒数之和，有多少中表示方法？请给出所有的答案。【分析】设有1116ab，

19、化简有26662233ab，所以6a是 36 的约数，一共有21219 个答案。分别是：1117426；1118246；1119186；11110156；11112126；1114276；1112486；1111896；11115106。1.假设 n 是自然数，d 是22n 的正约数证明：2nd 不是完全平方。【分析】设22nkd，k 是正整数，如果2nd 是整数x的平方，那么2222222k xkndnkk但这是不可能的，因为22k x 与2n 都是完全平方，而由22221kkkk得出22kk 不是平方数。2.（1986 国际数学奥林匹克）设正整数d 不等于2、5、13。求证：21d、51d

20、、131d这三个数中至少有一个不是完全平方数。【分析】21d、51d、131d这三个数中至少有一个不是完全平方数即可用反证法，设221dx,251dy,2131dz,其中x、y、z 是正整数由式知，x是奇数，不妨设21xn。代入有22121dn即2221dnn,式说明 d 也是奇数于是由、知y、z 是偶数，设2yp，2zq，代入、相减后除以4有222dqpqpqp。因 2d 是偶数，即22qp 是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而qp 和qp都是偶数，即 2d 是4的倍数，因此d 是偶数这与d 是奇数相矛盾，故命题正确。附加题目必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123

21、班第七讲教师版Page 713.将 95 写成若干个（至少两个）连续自然数的和，有多少种不同的写法？给出全部可能的答案。【分析】设这个自然数可以表示为k 个连续自然数和的形式，如果k 是奇数，那么一定存在中间数，即为p，则这 k 个连续自然数的和为kp，即为一个奇数和一个自然数的乘积形式，如果 k 是偶数，那么存在两个中间的数，即为q，1q，则这 k 个联系自然数的和为212kq，21q是奇数，k 为偶数，所以2k为整数，也是奇数与一个自然数的乘积形式。955 19，其大于1的奇约数有 5，19，95这三个，如果有奇数个连续自然数相加：当5k时，19p，即 5 个连续的自然数，中间数为19，有

22、 17，18，19，20，21；当19k或 95 时，在在自然数范围内没有符合条件的连续数。如果有偶数个连续自然数相加：当12k时，2195q，即2个自然数相加，中间两个数中较小的数是47，有 47，48；当2k5 时，2119q，即 10 个自然数相加，中间两数中较小的是9，有 5，6，14；当192k或 95 时，自然数范围内不存在符合条件的连续数。所以符合条件的自然数一共有3种。1.自然数n的数字和用S n 来表示。是否存在一个自然数n，使得1980nS n；【分析】1980nS n，表明1980n那么：1899189927S nS从而：19801980271953nS n；195319

23、53195319531971S；19541954195419541973S；19541955195519551975S；19621962196219621980S。当1962n时，1980nS n。巩固精练必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七讲教师版Page 722.一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的差。【分析】设原三位数是abc,交换后是cba，有：abc99cbaac，或者99cbaabcca因为差的个位数字是7，所以3ac，或者3ca。即差是 297。3.如果52ab 被11除余4的倍数，ab 被11除

24、余 3，求证：b 是11的倍数。（a、b 都是自然数）【分析】设5114abk，113abl，那么可以得到方程组:52114113abkabl,解得44113lb，所以 b 是11的倍数。4.红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字。小明将这4 张卡片如下图放置，使它们组成一个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10 倍的差。蓝白黄红小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是5544。那么红、黄、蓝三张卡上的数字分别是 _、_、_。【分析】设红、黄、白、蓝卡片上的数字分别是A，B，C，D，则有1000A+100B+10C+D-10 (A+B+C+D)=5544，110A+10

25、B-D=616。由上式可得A=5，B=7，D=4。必须有勇气正视无情的真理。列宁学而思教育五升六竞赛 123 班第七讲教师版Page 73“体操”（）一词，来源于希腊文，最早由古希腊语演变而来。年首届雅典奥运会设立了鞍马、吊环、跳马、双杠、单杠、爬绳项目，只设男子项目。年洛杉矶第届奥运会上，增设了自由体操。年的柏林第届奥运会上，体操比赛才真正形成目前的男子项比赛，这届奥运会还开设了女子项目，但女子项目的完善与定型直到年的罗马奥运会才完成。年，第届洛杉矶奥运会，艺术体操被列为正式比赛项目。在年悉尼奥运会上，蹦床被列为正式比赛项目。按照教科书的分类，体操包括竞技体操、艺术体操、蹦床、健美操、技巧个

26、竞技性项目。目前，竞技体操、艺术体操、蹦床同属奥运会体操项目。北京奥运会的竞技体操设项有：男子自由体操、鞍马、吊环、跳马、单杠和双杠；女子有跳马、自由体操、平衡木和高低杠。艺术体操包括集体项目和个人项目，集体项目分为相同器械和不同器械；个人项目包括绳、圈、球、棒、带操。蹦床分男子网上个人和女子网上个人项目。早年，尼泊尔的喜马拉雅山南麓很少有外国人涉足。后来，许多日本人到这里观光旅游，据说这是源于一位少年的诚信。一天，几位日本摄影师请当地一位少年代买啤酒，这位少年为之跑了 3 个多小时。第二天，那个少年又自告奋勇地再替他们买啤酒。这次摄影师们给了他很多钱，但直到第三天下午那个少年还没回来。于是，摄影师们议论纷纷，都认为那个少年把钱骗走了。第三天夜里，那个少年却敲开了摄影师的门。原来，他只购得4瓶啤酒，尔后，他又翻了一座山，蹬过一条河才购得另外6 瓶，返回时摔坏了 3 瓶。他哭着拿着碎玻璃片，向摄影师交回零钱，在场的人无不动容。这个故事使许多外国人深受感动。后来，到这儿的游客就越来越多,少年的举动赢得了大家一致的感动和无言的赞美。于是看似微不足道的事情流传为美谈。很显然，今天像这样的人已经很稀少了。正因为如此，诚信更加宝贵，我们也更需要诚信。只要还有一个人能坚持诚信，世界和我们就有希望。诚信像金子一样闪闪发光。