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1、在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 13平面几何是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现，名牌中学的选拔考试几何题目，分值较高，并且难度有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多样，但通过总结归纳，掌握小学奥数中的基本几何模型，有助于解决更多几何新题、难题。1.回顾等积与倍比模型；2.相似三角形模型以及燕尾（共边）定理的运用；3.图形变换。模型之相似三角形性质：GFCBEDAGFCBEDA如图/DEBC，BD和 CE 相交(延长线)交于A，则有如下等量关系。ADAEDEAFABACBCAG；2222:ADE
2、ABCSSAFAGDEBC：专题回顾教学目标几何模型及应用第二讲在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 14【例 1】如图，长方形ABCD 中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于 G、H，已知5AHcm，3HFcm，求 AG。EDCFHGBAFHGDCBAEO【分析】注意三角形AHB和三角形DHF相似，利用三角形相似的性质可以得到:5:3AB DFAHHF，作 OE 垂直于AD，且交AF于点O，又因为E为AD中点，则有:1:2OE DF，所以3:5:10:32AB OE，:10:3AG GO，115342
3、2AOAF，所以1040A4=1313G。【例 2】如右图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.DEFCBADEFCBADEFCBA【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接CF，因为 BDDC，2ECAE，三角形ABC 的面积是30，模型之燕尾定理（共边定理）：两个有公共边的三角形ABD和 ABC，ABC 与 DC 交于点M，则三角形ABC 的面积与三角形ABD的面积之比等于
4、CM 与DM的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立）MDCBAMDCBAMDCBAMDCBA在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 15所以1103ABEABCSS，1152ABDABCSS。根据燕尾定理，12ABFCBFSAESEC，1ABFACFSBDSCD,所以17.54ABFABCSS，157.57.5BFDS，所以阴影部分面积是30107.512.5。（法二）连接DE，有题目条件可得到1103ABEABCSS，11210223BDEBECABCSSS，所以11ABEBDESAFFDS，111111
5、2.5223232DEFDEAADCABCSSSS，而211032CDEABCSS。所以阴影部分的面积为12.5。【例 3】（08 年清华附中入学考试）如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为_。DCBADCBA【分析】连接ADCDBCAB、，则可根据格点面积公式，可以得到ABC 的面积=41122，ACD 的面积=3313.52，所以:BO OD=:4:7ABCACDSS，所以44123471111ABOABDSS。经典精讲模型运用在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 16 拓展 如图，每个
6、小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积。EDCBA 拓展 因为:2:5BD CE，且 BDCE，所以:2:5DAAC，551022577ABCDBCSS。【例 4】如下图，D、E、F、G 均为各边的三等分点，线段EG 和DF把三角形ABC 分成四部分，如果四边形FOGC 的面积是24 平方厘米，求三角形ABC 的面积。EDOGCFBAEDOGCFBA【分析】设三角形以AB为底的高为h,:2:3FGAB；:1:2EDFG；三角形 OGF 以 GF 为底的高是122339hh；又三角形CFG 以 FG 为底的高是23h,三角形 OGF 的面积:三角形 CGF 的面积22:1:393hh所以三角
7、形CFG 的面积3241831(平方厘米)而三角形 CFG 的面积占三角形ABC 的224339，所以三角形ABC 的面积是41184092（平方厘米）。在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 17【例 5】如图，长方形ABCD 中，E、F分别为 CD、AB边上的点，DEEC，2FBAF，求:PMMNNQ。BQCENMFDPAHKBQCENMFDPA【分析】作MKDE，NHEC；:2:3,:4:3AFDEBF CE，:3:2EMMA，:3:4ENNB，:3:2EKDK，:3:4EHHC，则69912,5577
8、DKKEEHHC；6991 2:():7:1 8:1 05577P MM NN Q。【例 6】如图所示，在四边形ABCD 中，E，F，G，H分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分四边形 PQRS 的面积之比。FBESRCQGPDHA【分析】（法一）设1AEDSS,2BGCSS,3ABFSS,4DHCSS。连接BD知112ABDSS，112ABDSS，112ABDSS，212BCDSS；所以121122ABDBCDABCDSSSSS；同理3412ABCDSSS。于是1234ABCDSSSSS；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形PQRS；因此四块阴影的面积和就等于
9、四边形PQRS 的面积。（法二）特殊值（只用于填空选择）将四边形画成正方形，就如【例11】，结论很容易得到在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 18【例 7】如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH，求四边形 EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？POKJNMHGFECDBAPOKJNMHGFECDBA【分析】如图，分层次来考虑：（1）23BMDABDSS，23BPDCBDSS，所以22()33MBPDABDCBDABCDSSSS又因为DOMPOMSS,MNP
10、BNPSS,所以12MNPOMBPDSS；121233MNPOABCDABCDSSS。POKJNMHGFECDBAPOKJNMHGFECDBA（2）已知13MJBD，23OKBD；所以:1:2MJBD；所以:1:2MEEO,即E是三等分点；同理，可知F、G、H都是三等分点；所以再次应用（1）的结论，可知，11113339EFGHMNPOABCDABCDSSSS。在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 19【例 8】如图，在四边形ABCD 中，105ABCADB，60CDB，75CBD，15ABCD厘米，求四边
11、形ABCD 的面积。ABDCCCDBA【分析】将BCD 沿BD剪下，翻转，再贴在BD边上，如图。75105180C DBADBCBDADB即A、D、C 三点共线18045AADBABD18090CCAC即ABC 是直角三角形四边形面积等于ABC 的面积即112.5 平方厘米。【例 9】如图，在三角形ABD中，当AB和 CD 的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程。3040E?BACDBAC3040【分析】因为 ABCD,于是可以将三角形ABC 的边BA边与 CD 边对齐，如图。因为110BCA，所以70ACD，于是7040110ACCACDDCCACDDCCACDABC；即ACC
12、CC D，结合C A 只是 CA 移动的变化，所以ACA C可得到AB C A 是一个等腰梯形。于是18011070ADC,（如果学生无法理解这一步，可以延长AC 和A C，构造等腰梯形CC E,再并说明AA E也是等腰三角形）703040ADC。图形变换在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 20【例 10】一张边长为 20厘米的正方形纸片，从顶点起 5厘米处，沿 45度角下剪(如右图)，中间形成一个小正方形。小正方形的面积是多少平方厘米?5cm45454545DOCBEA【分析】如下图，延长AD和 BC，
13、相交于 O 点。OCD 是等腰直角三角形，20OBOCCBCDCB(厘米)。OAB是等腰直角三角形，20204100OCDS（平方厘米）大正方形的面积是AOB 的 4 倍。又因为大正方形面积等于ADCB 的 4 倍加上小正方形的面积。小正方形的面积是三角形COD 的 4 倍，等于22450CD(平方厘米)。【例 11】在正方形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的 _分之 _。DHGCFBEADHGCFBEA【分析】如图，通过操作，三角形BOD 的面积=正方形 BOQP
14、 的面积同理，其它相应部分的三角形面积都可转化为一个小正方形的面积，也即，大正方形是由五个小正方形组成的。所以，阴影部分的面积为大正方形面积的15。【点评】这样的解法比较巧妙，应用全等三角形的知识。一般地，还可以如下解：因为H是AD中点，所以AMMN，12HMDN；所以三角形AHM的面积=14三角形 AND=15三角形 ADG=120正方形 ABCD,又根据三角形ADG+三角形 CBE+三角形ABH+三角形 CDF=正方形 ABCD所以，重复加了4 个类似于AHM的三角形，少加了中间的阴影部分，都能等于大正方形，可知，四边形 MNOQ 的面积=4 个三角形的面积之和=1420正方形 ABCD
15、A=15正方形 ABCD。在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 21【拓展】若E、F、G、H分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的 _分之 _。【分析】思路同上，但要注意，四个三角形ABH之和=146正方形ABCD=23正方形 ABCD。因为:1:3:6OE CQ OQ，又可以计算出，三角形OBE 的面积=11106正方形ABCD=160正方形ABCD。所以空白部分的面积为21343605（正方形ABCD 的面积）,所以阴影部分的面积为32155。【例 12】（08 年 迎
16、春 杯 决 赛）如 图，已 知4ABAEcm，BCDC，90BAEBCD，10ACcm，则SABCACECDESS_2cm。CDEBAOCACDEBA【分析】将三角形ABC 绕A点和 C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC 和A DE，再连接A C，显然的ACAC，ACA C，ACA CAC，所以ACA C 是正方形。三角形AEC 和三角形A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形ACA C 中有如下等量关系：AECA DCSS；AECA DCSS；CEDC DESS。所 以SABCACECDESSSAECACECDESS12ACA CS110105022cm。图形变换
17、方法技巧归纳总结：主要方法：1.割补 2.翻转 3.旋转.4.平移主要技巧：1.尽量将图形转化为基本图形（正方形、等腰直角三角形、等边三角形等）处理；2.图形若出现相等的边，考虑通过图形转化将这两条边对应部分的图形缝合；3.图形中出现互补（两个角和为180）、互余（两个角和为90）角，考虑将对应部分的图形缝合。NQOMEBFCGDHA在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 22【例 1】如图所示，梯形ABCD 中，AB平行于 CD,又3BD,4AC,5ACBD,试求梯形ABCD 的面积。CDBAECDBA【分
18、析】如下图，将AB沿 AC 平移至 CE,连接BE,在三角形BDE中，有3BD，4BE，5DE，有222BDBEDE，所以三角形BDE为直角三角形。梯形面积为13462。【例 2】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F是 BC 边上任意一点，三角形AME、三角形BMF、三角形NFC 的面积分别为14、20、12。求三角形NDE 的面积。CDNFEMBAhCDNFEMBA【分析】如图，设上底为2a，下底为 3a,三角形ABE与三角形ABF的高相差为h,20146ABFABEBMFAMESSSS。1262ah。即6ah。又11336922CDECDFDENCFNSSSSah。129
19、21DEN。附加题目在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 23【例 3】如图，在正方形ABCD 中，E、F分别在 BC 与 CD 上，且2CEBE，2CFDF，连接BF，DF，相交于点 G，过 G 作 MN，PQ 得到两个正方形MGQA 和正方形PCNG，设正方形 MGQA的面积为1S，正方形 PCNG 的面积为2S，则12:SS_。MCPEBGNFDQA【分析】连接BD、EF。设正方形边长为3，则2CECF，1BEDF，所以，2EF=22+22=8，2BD=23+23=18。因为，22EFBD=8 18=
20、144=212，所以，EF BD=12。由梯形蝴蝶定理，得DEFSBEGSDFGSBDGS2EF2BD EF BDEF BD8:18:12:124:9:6:6所以，BEGS=64966BDFES=625BDFES。因为BCDS=332=92，CEFS=222=42，所以，BDFES=BCDS-CEFS=52，所以，BEGS=62552=35。因为正方形PCNG 的边长等于BEG 底边BE对应的高，所以，CN=35 21=65，NP=365=95。因为1S=9595=8125，2S=6565=3625，所以，1S 2S=81253625=94。1.三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D为A
21、B中点，E为 AC 中点，F为 BC 中点，求阴影部分的面积。ECFBDA【分析】设 CD 交BE于 OCD 交EF于M:1:1S ABO S BCOAE EC:1:1S ACO S BCOADDB1535S BCO1527.5S BDC17.51.8754S FCM，所以阴影面积51.8753.125 平方厘米。巩固精练在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 242.如右图，长方形ABCD 中，16EF，9FG，求 AG 的长。GFEDCBA【分析】25DGAGAGGBGE，又9D GF GG BG AA
22、G，925AGAG即2259225AG，15AG。3.如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中90BPC，10APcm，求四边形ABPC 的面积。BDPCADBDPCA【分析】因为BAC 和BPC 都是直角，和为180，所以ABP和ACP 的和为 180，旋转三角形APC，使 AC 和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形AD P，面积为 1010250平方厘米。4.如下图，六边形ABCDEF 中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行 CD，BC 平行EF，对角线FD垂直于BD，已知24FD厘米，18BD厘米，试求六边形ABCDEF 的面积是多
23、少平方厘米。FEDCBAABCDEF【分析】如图，我们将BCD 平移使得 CD 与AF重合，DEF平移使得ED与AB重合，这样就组成一个长方形，显然有面积2418432 平方厘米，即ABCDEF 的面积为 432 平方厘米。在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！爱因斯坦学而思教育五升六竞赛 123 班第二讲教师版Page 25羽毛球于年起源于英格兰格拉斯哥郡的巴德明顿（），年被列为汉城奥运会表演项目，后于年开始成为奥运会正式比赛项目，共设男、女单打和双打块金牌。年亚特兰大奥运会又增设了混合双打，使奥运会羽毛球项目的金牌总数增至枚。年北京奥运会羽毛球比赛将于年月日至日在
24、北京工业大学体育馆举行。国际奥委会把参加奥运会羽毛球比赛的选手限定在人之内，每个项目根据世界排名选出单打前名、双打和混合双打各对选手直接参赛。但每个项目中至少包括五大洲的各名选手或对选手参加。这些选手必须在该洲世界排名领先。如果在世界排名中仍没有某洲的选手，则由在积分期间最近一次该洲锦标赛冠军参加。奥运会东道主拥有不少于两名选手参赛的权利。每个国家或地区在个项目中最多有个席位，多出的席位依次让给排名列后的国家和地区选手。羽毛球场地呈长方形，长米，单打场地宽米，双打场地宽米。奥运会羽毛球赛用球需经过世界羽联批准。奥运会羽毛球赛馆需将个适合比赛的三种速度的球储存于安全的仓库中。球拍由参赛运动员自备
25、，由于不符合规定的球拍并未给球员带来明显的有利，因而裁判员对运动员的球拍并不做严格检查。年月，羽毛球世界联合会在日本东京举行的年度代表大会上决定实行分的新赛制，北京奥运会也将采用这一赛制。分赛制对于调动运动员积极性、减少运动员受伤，以及改进电视转播效率等比原来的分制有更大优势。牧人把羊群赶到牧场去放牧，看见有几只野山羊混杂在羊群里。傍晚，他将所有的羊都赶进羊圈。第二天，暴风雨大作，牧人不能到牧场去放牧，只好在羊圈里饲养。他丢给自己的羊一点点草料，仅限于它们不被饿死，而为了想把外来的那几只野山羊留下，成为自己的，他却给它们很多草料。雨停后，牧人把所有的羊都赶向牧场。来到山下时，那些野山羊全都逃跑了。牧人指责它们忘恩负义，得到了特殊照顾，却仍要逃走。野山羊回过头来说：“正因如此，我们更要小心谨慎了。因为你特殊照顾我们这些昨天刚来的，而过于冷淡你以前一直饲养的。显而易见，今后再有其他的野山羊来，你一定又会冷落我们去偏爱它们。”牧人喜新厌旧，野山羊识破了他的圈套逃走了。试问，如果牧人不背弃原先的羊，野山羊还会逃走吗?交朋友一样，喜新厌旧的人最终交不到一个朋友。不善待旧朋友，又怎能令新朋友信服呢?1、交朋友不要喜新厌旧。2、喜新厌旧的人交不到朋友。