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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第2讲.竞赛123班.教师版第2讲.竞赛123班.教师版几何模型及应用第二讲教学目标平面几何是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现，名牌中学的选拔考试几何题目，分值较高，并且难度有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多样，但通过总结归纳，掌握小学奥数中的基本几何模型，有助于解决更多几何新题、难题。1. 回顾等积与倍比模型；2. 相似三角形模型以及燕尾（共边）定理的运
2、用；3. 图形变换。专题回顾模型之相似三角形性质： 如图，和相交(延长线)交于，则有如下等量关系。； 模型之燕尾定理（共边定理）：两个有公共边的三角形和，与交于点，则三角形的面积与三角形的面积之比等于与的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立）【例1】 如图，长方形中，为中点，与、分别交于、，已知，求。 【分析】 注意三角形和三角形相似，利用三角形相似的性质可以得到 ，作垂直于，且交于点，又因为为中点，则有，所以，所以。【例2】 如右图，已知，三角形的面积是30，求阴影部分面积.【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过
3、面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接，因为，三角形的面积是30，所以，。根据燕尾定理，, 所以，所以阴影部分面积是。 （法二）连接，有题目条件可得到，所以， ， 而。所以阴影部分的面积为。经典精讲模型运用【例3】 （08年清华附中入学考试）如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为_。 【分析】连接，则可根据格点面积公式，可以得到的面积=，的面积=，所以=，所以。拓展如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积。拓展因为，且，所以，。【例4】 如下图，、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果
4、四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积。 【分析】 设三角形以为底的高为,； 三角形以为底的高是； 又三角形以为底的高是, 三角形的面积:三角形的面积 所以三角形的面积(平方厘米) 而三角形的面积占三角形的，所以三角形的面积是（平方厘米）。【例5】 如图，长方形中，、分别为、边上的点，求。【分析】作，；， 则； 。【例6】 如图所示，在四边形中，分别是各边的中点，求阴影部分四边形的面积之比。【分析】 （法一）设,。连接知，；所以；同理。于是；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积。（法二）特殊值（只用于填空选择）将四边形画
5、成正方形，就如【例11】，结论很容易得到【例7】 如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【分析】 如图，分层次来考虑：（1），所以又因为,所以；。（2）已知，；所以；所以,即是三等分点；同理，可知、都是三等分点；所以再次应用（1）的结论，可知，。图形变换【例8】 如图，在四边形中，厘米，求四边形的面积。【分析】 将沿剪下，翻转，再贴在边上，如图。即、三点共线即是直角三角形四边形面积等于的面积即112.5平方厘米。【例9】 如图，在三角形中，当和的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程。【分析】 因为,于是可以将三角形的边
6、边与边对齐，如图。因为，所以，于是；即，结合只是移动的变化，所以可得到是一个等腰梯形。于是,（如果学生无法理解这一步，可以延长和，构造等腰梯形,再并说明也是等腰三角形）。【例10】 一张边长为20厘米的正方形纸片，从顶点起5厘米处，沿45度角下剪(如右图)，中间形成一个小正方形。小正方形的面积是多少平方厘米?【分析】 如下图，延长和，相交于点。是等腰直角三角形，(厘米)。是等腰直角三角形，（平方厘米）大正方形的面积是的4倍。 又因为大正方形面积等于的4倍加上小正方形的面积。小正方形的面积是三角形的4倍，等于(平方厘米)。【例11】 在正方形中，、分别是、边的中点(如图)，连接线段、，由这四条线
7、段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的_分之_。 【分析】 如图，通过操作，三角形的面积=正方形的面积同理，其它相应部分的三角形面积都可转化为一个小正方形的面积，也即，大正方形是由五个小正方形组成的。所以，阴影部分的面积为大正方形面积的。【点评】这样的解法比较巧妙，应用全等三角形的知识。一般地，还可以如下解：因为是中点，所以，；所以三角形的面积=三角形=三角形=正方形,又根据三角形+三角形+三角形+三角形=正方形所以，重复加了4个类似于的三角形，少加了中间的阴影部分，都能等于大正方形，可知，四边形的面积=4个三角形的面积之和=正方形A=正方形。【拓展】若、分别是四边的三等分点(如图)
8、，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的_分之_。【分析】思路同上，但要注意，四个三角形之和=正方形=正方形。因为，又可以计算出，三角形的面积=正方形=正方形。所以空白部分的面积为（正方形的面积）,所以阴影部分的面积为。【例12】 （08年迎春杯决赛）如图，已知， ， ，则_。【分析】 将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然的，所以是正方形。三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：；。所以。图形变换方法技巧归纳总结：主要方法：1.割补 2.翻转 3.旋转. 4.平移主要技巧：1. 尽量将图形转化为基本图形（正方形、等腰直角三角形、等
9、边三角形等）处理；2. 图形若出现相等的边，考虑通过图形转化将这两条边对应部分的图形缝合；3. 图形中出现互补（两个角和为）、互余（两个角和为）角，考虑将对应部分的图形缝合。附加题目【例1】 如图所示，梯形中，平行于,又,试求梯形的面积。 【分析】 如下图，将沿平移至,连接,在三角形中，有，有，所以三角形为直角三角形。梯形面积为。【例2】 如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、。求三角形的面积。【分析】 如图，设上底为，下底为,三角形与三角形的高相差为,。即。又。【例3】 如图，在正方形中，、分别在与上，且，连接，相交于点，过作，得到两个正方
10、形和正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，则_。【分析】 连接、。设正方形边长为3，则，所以，=+=8，=+=18。因为，=818=144=，所以，=12。由梯形蝴蝶定理，得 所以， =。因为=332=，=222=，所以，=-=，所以， =。因为正方形的边长等于底边对应的高，所以，=21=，=3=。因为=，=，所以，=94。巩固精练1. 三角形的面积为平方厘米，为中点，为中点，为中点，求阴影部分的面积。【分析】 设交于 交于 ， 所以阴影面积平方厘米。2. 如右图，长方形中，求的长。【分析】 ， 又， 即，。3. 如图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一点，其中，求四边形的面积。【分析
11、】 因为和都是直角，和为，所以和的和为，旋转三角形，使和重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形，面积为平方厘米。4. 如下图，六边形中，且有平行于，平行，平行，对角线垂直于，已知厘米，厘米，试求六边形的面积是多少平方厘米。【分析】 如图，我们将平移使得与重合，平移使得与重合，这样就组成一个长方形，显然有面积平方厘米，即的面积为平方厘米。 羽毛球于年起源于英格兰格拉斯哥郡的巴德明顿（），年被列为汉城奥运会表演项目，后于年开始成为奥运会正式比赛项目，共设男、女单打和双打块金牌。年亚特兰大奥运会又增设了混合双打，使奥运会羽毛球项目的金牌总数增至枚。年北京奥运会羽毛球比赛将于年月日至日在北京工业大学
12、体育馆举行。国际奥委会把参加奥运会羽毛球比赛的选手限定在人之内，每个项目根据世界排名选出单打前名、双打和混合双打各对选手直接参赛。但每个项目中至少包括五大洲的各名选手或对选手参加。这些选手必须在该洲世界排名领先。如果在世界排名中仍没有某洲的选手，则由在积分期间最近一次该洲锦标赛冠军参加。 奥运会东道主拥有不少于两名选手参赛的权利。每个国家或地区在个项目中最多有个席位，多出的席位依次让给排名列后的国家和地区选手。羽毛球场地呈长方形，长米，单打场地宽米，双打场地宽米。奥运会羽毛球赛用球需经过世界羽联批准。奥运会羽毛球赛馆需将个适合比赛的三种速度的球储存于安全的仓库中。球拍由参赛运动员自备，由于不符
13、合规定的球拍并未给球员带来明显的有利，因而裁判员对运动员的球拍并不做严格检查。 年月，羽毛球世界联合会在日本东京举行的年度代表大会上决定实行分的新赛制，北京奥运会也将采用这一赛制。分赛制对于调动运动员积极性、减少运动员受伤，以及改进电视转播效率等比原来的分制有更大优势。牧人把羊群赶到牧场去放牧，看见有几只野山羊混杂在羊群里。傍晚，他将所有的羊都赶进羊圈。第二天，暴风雨大作，牧人不能到牧场去放牧，只好在羊圈里饲养。他丢给自己的羊一点点草料，仅限于它们不被饿死，而为了想把外来的那几只野山羊留下，成为自己的，他却给它们很多草料。 雨停后，牧人把所有的羊都赶向牧场。来到山下时，那些野山羊全都逃跑了。牧人指责它们忘恩负义，得到了特殊照顾，却仍要逃走。野山羊回过头来说：“正因如此，我们更要小心谨慎了。因为你特殊照顾我们这些昨天刚来的，而过于冷淡你以前一直饲养的。显而易见，今后再有其他的野山羊来，你一定又会冷落我们去偏爱它们。” 牧人喜新厌旧，野山羊识破了他的圈套逃走了。试问，如果牧人不背弃原先的羊，野山羊还会逃走吗?交朋友一样，喜新厌旧的人最终交不到一个朋友。不善待旧朋友，又怎能令新朋友信服呢?1、交朋友不要喜新厌旧。2、喜新厌旧的人交不到朋友。-