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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第7讲.竞赛123班.教师版(1)第7讲.竞赛123班.教师版(1)数论综合第七讲教学目标被世人誉为数学王子的德国数学家高斯曾经说过“如果说数学是科学的皇后,那么数论是数学皇后的皇冠。” 大家熟知的“费马大定理”，“哥德巴赫猜想”就是这个皇冠上璀璨的明珠。有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，
2、就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。1. 回顾数论知识体系；2. 精讲数论经典范例。专题回顾【例1】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成个零件,第二道工序每名工人每小时可完成个零件,第三道工序每名工人每小时可完成个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有、个工人,有,那么的最小值为,的最小公倍数,即。所以,，则三道工序最少共需要名工人【例2】 甲、乙两数的最小公倍数是，乙、丙两数的最小公
3、倍数是，甲、丙两数的最小公倍数是，那么甲数是多少? 【分析】对分解质因数:。 因为,所以,即甲中不含因数,于是乙必含因数。 因为,所以,即乙中不含因数,于是甲必含。 因为,所以,即乙最多含有一个因数，甲必含。综上所述，甲为的倍数，所以只能是。注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值如,，则、的最小公倍数含有质因子,并且它们的个数为、中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有个,个,个,个,个,即。经典精讲枚举法枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分
4、类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。【例3】 求这样的三位数，它除以所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】三位数只有个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为，。由于任何数除以11所得余数都不大于，所以。从而，。所求三位数必在以下数中：不难验证只有，两个数符合要求。【例4】 写出个都是合数的连续自然数。【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出以内最多可以写出个连续的合数：，。我们把筛选法继续运用下去，
5、把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在与之间共有个都是合数的连续自然数：，。 （法二）如果设这个数分别是，如果能被到中任意一个数整除，那么，能分别被、,整除，所以，只要取即可得到符合条件的个数。 （法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算非常困难，所以应该选取折中的方法，设这个数分别是，。所以只要使能被到的所有整数整除，并且保证和都是合数即可，通过试验可得到即是符合条件的值。【例5】 如图，有三张卡片，在它们上面分别写着，。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）【分析】 因为这三个数字的和为，能被整除，所以用这
6、三个数字任意排成的三位数都能被整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为，根据同样的道理，用，组成的两位数也能被整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有，这四个了。其中，都是素数。最后一位数素数只有，。【拓展】、和都是两位数，、的个位分别是和，的十位是,如果它们满足等式，则。【分析】既然和的个位分别是与，的个位是，可知的个位一定是，而且。已知的十位是，所以.，既然、的个位分别是与，可知，所以。代数表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：1. 十进制表示形式：；2. 二进制表示形式：；3. 带余形式：；（奇数可
7、以表示为，偶数表示为，其中为整数）4. 标准分解式：；5. 的乘方与奇数之积式：；（其中为奇数）。6. 最大公约数与系数之积式：，其中，。7.【例6】 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方【分析】设所求的四位数为，则，其中，。可见平方数被整除，从而被整除因此，数能被整除，于是能被整除但，以于是，由此可知是某个自然数的平方对，逐一检验，易知仅时，为平方数，故所求的四位数是。【前铺】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小，则满足条件的两位数共有_个。【分析】原两位数为，则交换个位与十位以后，新两位数为，两者之差为，即，、为一位自然数
8、，即，满足条件。【例7】 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）。【分析】设 满足条件，令，其中。于是，即。因此，由此得，所以。 经验算，仅当时，满足条件。若则。因此，满足条件的最大的完全平方数为。【例8】 从自然数，中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？【分析】设，是所取出的数中的任意个数，则，其中，是自然数。于是。上式说明所取出的数中任意个数之差是的倍数，即所取出的每个数除以所得的余数均相同。设这个余数为，则，其中，是整数。于是。因为，所以，即，推知，。因为，所以，从，中可取，共个数，它们中的任意个数
9、之和能被整除。【例9】 如果被除余数为2，被除所得的余数为，求证：能被整除。（、都是自然数）【分析】（法一）设， 解方程组得到，所以能被整除。 （法二）由题目条件能被整除，即能被整除，继而得到能被整除，所以能被整除。【前铺】如果是的倍数,证明：也是的倍数。（、都是自然数）【分析】（法一）是的倍数，所以是的倍数。（法二）设，那么，则，是的倍数。【前铺】如果是的倍数，求证也是的倍数。（、都是自然数）【分析】（法一）是的倍数，所以也是的倍数，所以也是也是的倍数。（法二）设，那么，所以也是的倍数。【拓展】如果是的倍数，也是的倍数，求证是的倍数。（、都是自然数）【分析】=，所以能被整除。【例10】 有一
10、个自然数，它除以、所得到的商()与余数()之和都相等，这样的数最小可能是多少。【分析】至少为，至少为，至少为，最小为1081。如何计算一个自然数的约数个数：a 将该自然数用标准分解式表达：；b 将该自然数的约数用标准分解式表达：，则，；c 对于任意的可以取值到这个整数；d 根据乘法原理不同的约数有个。【例11】 在到中，恰好有个约数的数有几个？【分析】只能表示为，所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个，且该质因数有个，注意到有个约数的数一定是质数的完全平方，这个数的平方数在到之间，共有个符合要求。【拓展】在到中，恰好有个约数的数有多少个？【分析】只能表示为或，所以恰好有个约数的数要么能表示成
11、某个质数的次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，以内符合前者的只有，符合后者的数枚举如下：所以符合条件的自然数一共有种。【例12】 两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如，就是一个“智慧数”在自然数列中从开始数起，试问第个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由。【分析】显然不是“智慧数”，而大于的奇数，都是“智慧数”。，可见大于且能被整除的数都是“智慧数”而不是“智慧数”，由于=（其中、），当，奇偶性相同时，被整除。当，奇偶性相异时，为奇数，所以形如的数不是“智慧数”，在自然数列中前四个自然数中只有是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智慧数”，由于，所以是第个“智慧数”。
12、【拓展】如果自然数使得和都恰好是平方数，试问能否是一个素数？【分析】如果，则因为，所以（否则）。从而是合数。【拓展】将表示成两个自然数的倒数之和，有多少中表示方法？请给出所有的答案。【分析】设有，化简有，所以是的约数，一共有个答案。分别是： ； ；。附加题目1. 假设n是自然数，是的正约数证明：不是完全平方。【分析】设，是正整数，如果是整数的平方，那么但这是不可能的，因为与都是完全平方，而由得出不是平方数。2. （1986国际数学奥林匹克）设正整数 不等于、。求证：、这三个数中至少有一个不是完全平方数。【分析】、这三个数中至少有一个不是完全平方数即可 用反证法，设 其中、是正整数由式知，是奇数
13、，不妨设。代入有 即 式说明也是奇数于是由、知、是偶数，设，代入、相减后除以有 。因是偶数，即是偶数，所以、同为偶数或同为奇数，从而和都是偶数，即是的倍数，因此是偶数这与是奇数相矛盾，故命题正确。3. 将写成若干个（至少两个）连续自然数的和，有多少种不同的写法？给出全部可能的答案。【分析】设这个自然数可以表示为个连续自然数和的形式，如果是奇数，那么一定存在中间数，即为，则这个连续自然数的和为，即为一个奇数和一个自然数的乘积形式，如果是偶数，那么存在两个中间的数，即为，则这个联系自然数的和为，是奇数，为偶数，所以为整数，也是奇数与一个自然数的乘积形式。，其大于的奇约数有，这三个，如果有奇数个连续
14、自然数相加：当时，即个连续的自然数，中间数为，有，；当或时，在在自然数范围内没有符合条件的连续数。如果有偶数个连续自然数相加：当时，即个自然数相加，中间两个数中较小的数是，有，；当时，即个自然数相加，中间两数中较小的是，有，；当或时，自然数范围内不存在符合条件的连续数。 所以符合条件的自然数一共有种。巩固精练1. 自然数的数字和用来表示。是否存在一个自然数，使得；【分析】，表明那么：从而：；。当时，。2. 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的差。【分析】设原三位数是,交换后是，有：，或者因为差的个位数字是，所以，或者。即差是。3. 如果被除
15、余的倍数，被除余，求证：是的倍数。（、都是自然数）【分析】设，那么可以得到方程组:,解得，所以是的倍数。4. 红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字。小明将这4张卡片如下图放置，使它们组成一个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是5544。那么红、黄、蓝三张卡上的数字分别是_、_、_。【分析】设红、黄、白、蓝卡片上的数字分别是，则有1000+100+10+-10(+)=5544，110+10-=616。由上式可得=5，=7，=4。 “体操”（）一词，来源于希腊文，最早由古希腊语演变而来。年首届雅典奥运会设立了鞍马、吊环、跳
16、马、双杠、单杠、爬绳项目，只设男子项目。年洛杉矶第届奥运会上，增设了自由体操。年的柏林第届奥运会上，体操比赛才真正形成目前的男子项比赛，这届奥运会还开设了女子项目，但女子项目的完善与定型直到年的罗马奥运会才完成。年，第届洛杉矶奥运会，艺术体操被列为正式比赛项目。在年悉尼奥运会上，蹦床被列为正式比赛项目。按照教科书的分类，体操包括竞技体操、艺术体操、蹦床、健美操、技巧个竞技性项目。目前，竞技体操、艺术体操、蹦床同属奥运会体操项目。北京奥运会的竞技体操设项有：男子自由体操、鞍马、吊环、跳马、单杠和双杠；女子有跳马、自由体操、平衡木和高低杠。艺术体操包括集体项目和个人项目，集体项目分为相同器械和不同
17、器械；个人项目包括绳、圈、球、棒、带操。蹦床分男子网上个人和女子网上个人项目。早年，尼泊尔的喜马拉雅山南麓很少有外国人涉足。后来，许多日本人到这里观光旅游，据说这是源于一位少年的诚信。一天，几位日本摄影师请当地一位少年代买啤酒，这位少年为之跑了3个多小时。 第二天，那个少年又自告奋勇地再替他们买啤酒。这次摄影师们给了他很多钱，但直到第三天下午那个少年还没回来。于是，摄影师们议论纷纷，都认为那个少年把钱骗走了。第三天夜里，那个少年却敲开了摄影师的门。 原来，他只购得4瓶啤酒，尔后，他又翻了一座山，蹬过一条河才购得另外6瓶，返回时摔坏了3瓶。他哭着拿着碎玻璃片，向摄影师交回零钱，在场的人无不动容。这个故事使许多外国人深受感动。 后来，到这儿的游客就越来越多少年的举动赢得了大家一致的感动和无言的赞美。于是看似微不足道的事情流传为美谈。很显然，今天像这样的人已经很稀少了。正因为如此，诚信更加宝贵，我们也更需要诚信。只要还有一个人能坚持诚信，世界和我们就有希望。诚信像金子一样闪闪发光。-