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1、24 反函数例题解析【例 1】求下列函数的反函数：(1)y(x)(2)yx2x3x(02，352112xx(3)y(x0)(4)yx+1(1x0)(0 x1)112xx解 (1)y(x)yy(2y3)xy5xy(x)，由 得 ，所求反函数为35211232352153253232xxxxyyyy解(2)y(x1)22，x(，0其值域为y2，)，由，得，即 反函数为，y(x1)2(x0)x1x1f(x)1(x2)21yyx222解 (3)y(x0)0y1yxf(x)(0 x1)1，它的值域为 ，由 得，反函数为 11111122xxyyxx解 (4)y(1x0)0y1f(x)x1(0 x1)y(
2、0 x1)12由 ，得值域 ，反函数 由 ，xx1得值域 ，反函数 ，故所求反函数为 1y0f(x)(1x0)yx1(0 x1)x(1x0)1222x【例 2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像(1)y1(2)y3x2(x0)2x1解(1)已知函数的定义域是x1，值域为y 1，由 ，得反函数 函数 与它的反函数 的图像如图 所示y1y(x1)1(x1)y1y(x1)124122xx11解(2)由 y 3x22(x0)得值域 y 2，反函数f(x)(x2)1x23它们的图像如图242 所示【例3】已知函数，f(x)(xaa)3113xxa(1)求它的反函数；(2)求使 f-1(x
3、)f(x)的实数 a 的值解(1)yxay(xa)3x1(y3)x1ayy3设，这里，31xxa若 ，则这与已知矛盾，即反函数y3aaxf(x)113131313ayyaxx(2)f(x)f(x)x1若，即对定义域内一切的值恒成立，3113xxaaxx令 x0，a 3或解由 f(x)f-1(x)，那么函数f(x)与 f-1(x)的定义域和值域相同，定义域是 x|x a，xR，值域 yy|y 3，y R，a3 即 a 3【例4】已知函数中，、均不为零，yf(x)abcdaxbcxd试求 a、b、c、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身解 f(x)bcad0f(x)x1，常数函数没有反函数，又，
4、要使，对定义域内一切值恒成立，acbcadc cxddxbcxadxbcxaaxbcxd()令 x0，得 ad，即 ad0事实上，当ad0 时，必有f-1(x)f(x)，因此所求的条件是bcad0，且 ad0【例 5】设点 M(1，2)既在函数f(x)ax2 b(x0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求 f-1(x)，(2)证明 f-1(x)在其定义域内是减函数解证(1)2ab 14ababf(x)x(x0)(2)yx(x0)f(x)(x)221由 得，由 得反函数1373137313737373x设，即，故在，上是减函数xx73x73x0f(x)f(x)f(x)(12121112173
5、7337312xxx【例6】解法 一若函数，求的值先求函数的反函数，于是 f(x)f(2)()f(x)f(x)f(2)53 2xxxxxx121212112 212111解法(二)由函数 yf(x)与其反函数y f-1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求时对应的的值，令，得，即f(2)f(x)2x2x53 2f(2)53 211xx12【例7】已知，且，设函数且，证明的图像关于直线 对称aa0a1f(x)(xx)yf(x)yxRRxaxa111证ya0a1(ay1)xy1ay10ya1a1由，得 ，如果 ，则，得 ，这与已知 矛盾，xaxaaxax111111 ，故，即证得的反函数就是它本身ay10 xf(x)f(x)1yayxaxxax111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线yx 对称，函数 yf(x)的图像关于直线yx 对称