2022年高一反函数_典型例题精析 2.pdf

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1、反函数例题解析【例 1】求下列函数的反函数:(1)y(x)(2)yx2x3x(02 , ,352112xx(3)y(x0)(4)yx +1 (1x0) (0 x1) 112xx解 (1)y(x)yy(2y3)xy5xy(x) ,由 得 , 所求反函数为35211232352153253232xxxxyyyy解(2)y(x1)22,x(, 0其值域为y2, ),由 ,得 ,即 反函数为 ,y(x1)2(x0)x1x1f(x)1(x2)21yyx222解 (3)y(x0)0y1yxf(x)(0 x1)1 ,它的值域为 ,由 得 ,反函数为 11111122xxyyxx解 (4)y(1x0)0y1f

2、(x)x1(0 x1)y(0 x1)12由 ,得值域 ,反函数 由 ,xx1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 得值域 ,反函数 ,故所求反函数为 1y0f(x)(1x0)yx1 (0 x1) x(1x0)1222x【例 2】求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像(1)y1(2)y3x2(x0)2x1解(1)已知函数的定义域是x1,值域为y 1,由 ,得反函数 函数 与它的反函数 的图像如图 所示y1y(

3、x1)1(x1)y1y(x1)124122xx11解(2)由 y3x22(x0)得值域 y 2,反函数f(x)(x2)1x23它们的图像如图242 所示【例3】 已知函数, f(x)(xaa)3113xxa(1)求它的反函数;(2)求使 f-1(x)f(x) 的实数 a 的值解(1)yxay(xa)3x1(y3)x1ayy3设 , , , ,这里 ,31xxa若 ,则这与已知矛盾, ,即反函数y3aaxf(x)113131313ayyaxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

4、第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - (2)f(x)f(x)x1若,即对定义域内一切的值恒成立,3113xxaaxx令 x0, a 3或解由 f(x) f-1(x) ,那么函数f(x) 与 f-1(x) 的定义域和值域相同,定义域是 x|x a,xR,值域 yy|y 3,y R, a3 即 a 3【例4】 已知函数中,、 、 、 均不为零,yf(x)abcdaxbcxd试求 a、b、c、d 满足什么条件时,它的反函数仍是自身解 f(x)bcad0f(x)x1,常数函数没有反函数, 又,要使,对定义域内一切值恒成立,acbcadc cxddxbcxadxbcxaaxbcxd

5、()令 x0,得 ad,即 ad0事实上,当ad0 时,必有 f-1(x)f(x) ,因此所求的条件是bcad0,且 ad0【例 5】设点 M(1 ,2)既在函数 f(x) ax2 b(x0)的图像上,又在它的反函数图像上, (1)求 f-1(x),(2)证明 f-1(x) 在其定义域内是减函数解证(1)2ab 14ababf(x)x(x0)(2)yx(x0)f(x)(x)221由 得,由 得反函数1373137313737373x设, ,即,故在 ,上是减函数xx73x73x0f(x )f(x )f(x)(121211121737337312xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - 【例6】解法 一若函数,求的值先求函数的反函数,于是 f(x)f( 2)()f(x)f(x)f( 2)53 2xxxxxx121212112 212111解法 (二) 由函数 yf(x) 与其反函数y f-1(x)之间的一一对应关系,求的值,就是求时对应的的值,令,得 ,即f( 2)f(x)2x2x53 2f(2)53 211xx12【例7】已知 ,且 , 设函数且 ,证明的图像关于直线 对称aa0a1f(x)(xx)yf(x)yxRRxaxa111证ya0a1(ay1)xy1ay10ya1a1由 , , ,得 ,如果 ,则 ,得 ,这与已知 矛盾,xaxaaxax111111 ,故 ,即证得的反函数就是它本身ay10 xf(x)f(x)1yayxaxxax111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线yx 对称,函数 yf(x)的图像关于直线yx 对称名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -

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