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1、-.优选-中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、【例 1】.某商店准备购进甲、乙两种商品已知甲商品每件进价15 元，售价20 元；乙商品每件进价35 元，售价45元(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890 元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润售价进价)解：(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意，得xy 100，15x35y
2、2 700，解得：x40，y60.答：商店购进甲种商品40 件，购进乙种商品60 件(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100a)件，根据题意列，得15a35100a 3 100，5a10100a 890，解得 20a 22.总利润W 5a10(100a)5a1 000，W是关于x的一次函数，W随x的增大而减小，当x20 时，W有最大值，此时W900，且 1002080，答：应购进甲种商品20 件，乙种商品80 件，才能使总利润最大，最大利润为900 元【例 2】今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制
3、定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：-.优选-月用水量(单位：吨)单价(单位：元/吨)不大于 10吨部分1.5 大于 10 吨，且不大于m吨部分(20 m 50)2 大于m吨部分3(1)若某用户六月份的用水量为18吨，求其应缴纳的水费；(2)记该用户六月份的用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；(3)若该用户六月份的用水量为40 吨，缴纳水费y元的取值范围为70y 90，试求m的取值范围解：(1)应缴纳水费：10 1.5(18 10)231(元)(2)当 0 x 10时，y1.5x；当 10m时，y15 2(m 10)3(xm)3xm5.y1.5x0 x 10
4、，2x 5 10m.(3)当 40m 50时，y 2 40 575(元)，满足当 20m40 时，y 3 40m5115m，则 70 115m 90，25m 45，即25m 40.综上得，25m 50.【例 3】潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A，B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户种植A类蔬菜面积(单位：亩)种植B类蔬菜面积(单位：亩)总收入(单位：元)甲3112 500 乙2316 500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等；亩为土地面积单位(1)求A，B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；-.优选-(2)某种植户准备租20亩地用
5、来种植A，B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案解：(1)设A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元由题意，得3xy12 500，2x3y16 500.解得x3 000，y3 500.答：A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000 元，3 500 元(2)设用来种植A类蔬菜的面积为a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20a)亩由题意，得3 000a3 50020a 63 000，a 20a.解得 10a 14.a取整数，为：11,12,13,14.租地方案为：类别种植面积(亩)A 1112
6、1314 B 9876【例 4】.某学校计划将校园内形状为锐角ABC 的空地（如图）进行改造，将它分割成AHG、BHE、CGF 和矩形 EFGH 四部分，且矩形 EFGH 作为停车场，经测量 BC=120m，高 AD=80m，（1）若学校计划在AHG 上种草，在 BHE、CGF 上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？（2）若种草的投资是每平方米6 元，种花的投资是每平方米10 元，停车场铺地砖投资是每平方米4 元，又如何设计矩形的长、宽，使得ABC 空地改造投资最小？最小为多少 解、（1）设 FG=x 米，则 AK=(80 x)米由 AHG ABCBC=120，AD=
7、80 可得：-.优选-8080120 xHGxHG23120BE+FC=120）（x23120=x23xxxx2321802312021）（）（解得 x=40 当 FG 的长为 40米时，种草的面积和种花的面积相等。（2）设改造后的总投资为W 元W=2880024064)23120(1023216 8023120212xxxxxxxx）（）（=6(x20)2+26400 当 x=20 时,W最小=36400 答:当矩形 EFGH 的边 FG 长为 20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。【例 5】.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织2
8、1 辆汽车装运这三种土特产共120 吨，参加全国农产品博览会.现有 A 型、B型、C 型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2 种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题.苦荞茶青花椒野生蘑菇每辆汽车运载量（吨）A 型2 2 B 型4 2 C 型1 6（1）设 A 型汽车安排x辆，B 型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式.（2）如果三种型号的汽车都不少于4 辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案.（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费.车型A B C 每辆车运费（元）1500 1800 2000 特产车型-.优选-解：（1）法根据题意得467 21120
9、xyxy化简得：327yx（2）由44214xyxy得43274213274xxxx，解得2573x.x为正整数，5,6,7x.故车辆安排有三种方案，即：方案一：A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆方案二：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆方案三：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆（3）设总运费为W元，则150018003272000 21327Wxxxx10036600 xW随x的增大而增大，且5,6,7x当5x时，37100W最小元答：为节约运费，应采用中方案一，最少运费为37100元。【例 6】.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池
10、、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在 60 天内完成工程现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25 天，甲、乙两队合作完成工程需要30 天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天根据题意得：303015xx+2方程两边同乘以x（x+25），得 30（x+25）+30 x=x（x+25），即 x235x750=0解之，
11、得-.优选-x1=50，x2=15经检验，x1=50，x2=15 都是原方程的解但 x2=15 不符合题意，应舍去当x=50 时，x+25=75答：甲工程队单独完成该工程需50 天，则乙工程队单独完成该工程需75 天（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可方案一：由甲工程队单独完成所需费用为：2500 50=125000（元）方案二：由甲乙两队合作完成所需费用为：（2500+2000）30=135000（元）【例 7】.“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：类别彩电冰箱洗衣机进价2000 1600 1000 售价220
12、0 1800 1100（1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台(2)、若在现有资金160000 元允许的范围内，购买上表中三类家电共100 台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。（利润=售价-进价）解：（1）设商店购买彩电x 台，则购买洗衣机（100 x）台由题意，得2000 x+1000（100 x）=160000，解得 x=60，则 100 x=40（台），所以，商店可以购买彩电60 台，洗衣机40 台（2）设购买彩电和
13、冰箱各a台，则购买洗衣机为（1002a）台根据题意，得200016001000(100-2)1600001002aaaaa解得5.373133a因为 a是整数，所以a=34、35、36、37-.优选-因此，共有四种进货方案设商店销售完毕后获得的利润为w 元，则 w=（22002000）a+（18001600）a+（1100 1000）（1002a）=200a+10000，200 0，w 随 a的增大而增大，当 a=37 时，W最大值=200 37+10000=17400，所以，商店获得的最大利润为17400元【例 8】.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C 三地的垃圾50 立方米
14、、40 立方米、50 立方米全部运往垃圾处理场D、E 两地进行处理已知运往D 地的数量比运往 E 地的数量的2 倍少 10 立方米（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若 A 地运往 D 地 a立方米（a为整数），B 地运往 D 地 30 立方米，C 地运往 D 地的数量小于 A 地运往 D 地的 2 倍其余全部运往E 地，且 C 地运往 E 地不超过12 立方米，则A、C 两地运往D、E 两地哪几种方案？（3）已知从A、B、C 三地把垃圾运往D、E 两地处理所需费用如下表：A 地B 地C 地运往 D 地（元/立方米）22 20 20 运往 E 地（元/立方米）20 22 21 在（2）
15、的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？解：（1）设运往E 地 x 立方米，由题意得，x+2x 10=140，解得：x=50，2x 10=90，答：共运往D 地 90 立方米，运往E 地 50 立方米；（2）由题意可得，12)30(90502)30(90aaA，解得：20 a 22，a是整数，a=21 或 22，有如下两种方案：第一种：A 地运往 D 地 21 立方米，运往E 地 29 立方米；C 地运往 D 地 39 立方米，运往E-.优选-地 11 立方米；第二种：A 地运往 D 地 22 立方米，运往E 地 28 立方米；C 地运往 D 地 38 立方米，运往E地 12 立方米；（3）第一
16、种方案共需费用：22 21+20 29+39 20+11 21=2053（元），第二种方案共需费用：22 22+28 20+38 20+12 21=2056（元），所以，第一种方案的总费用最少【例 9】.我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C 三种化学物资共200吨到某地按计划20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A 种物资的车辆数为x，装运 B 种物资的车辆数为y求 y 与 x 的函数关系式；（2）如果装运A 种物资的车辆数不少于5 辆，装运 B 种物资的车辆数不少于4 辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安
17、排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费物资种类A B C 每辆汽车运载量（吨）12 10 8 每吨所需运费（元/吨）240 320 200 解：（1）根据题意，得：12x+10y+8（20 xy）=200，12x+10y+1608x 8y=2002x+y=20，y=20 2x，（2）根据题意，得：52024xx解之得：5 x8x取正整数，x=5，6，7，8，共有 4 种方案，即A B C 方案一5 10 5 方案二6 8 6-.优选-方案三7 6 7 方案四8 4 8（3）设总运费为M 元，则 M=12 240 x+10 320（202x）+8
18、200（20 x+2x20）即：M=1920 x+64000 M是 x 的一次函数，且M 随 x 增大而减小，当x=8 时，M 最小，最少为48640元【例 10】.为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知 5 个文具盒、2 支钢笔共需100元；4 个文具盒、7 支钢笔共需161元.（1）每个文具盒、每支钢笔个多少元？（2）时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔 10 支以上超出部分“八折”优惠.若买 x 个文具盒需要1y元，买 x 支钢笔需要2y元；求1y、2y关于 x 的函数关系式；（3）若购买同一种奖品，
19、并且该奖品的数量超过10 件，请你分析买哪种奖品省钱.解：（1）设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，可列方程组得1617410025yxyx，解之得1514yx答：每个文具盒14元，每支钢笔15 元.（2）由题意知，y1 关于 x 的函数关系式为y1=14 90%x，即 y1=12.6x.由题意知，买钢笔10 以下（含10 支）没有优惠，故此时的函数关系式为y2=15x.当买 10 支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y2=1510+1580%（x10）即 y2=12x+30（3）当 y1 y2 即 12.6x12x+30 时，解得x y2 即 12.6x12x+30 时，解得x50.
20、综上所述，当购买奖品超过10 件但少于50 件时，买文具盒省钱；当购买奖品超过50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱.【例 11】为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24 垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低
21、于10 垄，又不超过14 垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：占地面积（m2/垄）产量（千克/垄）利润（元/千克）西红柿30 160 1.1 草莓15 50 1.6（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）根据题意西红柿种了（24-x）垄15x+30(24-x)540 解得x 12 x 14，且x是正整数x=12，13，14 共有三种种植方案，分别是：方案一：草莓种植12 垄，西红柿种植12 垄方案二：草莓种植13 垄，西红柿种植11 垄方案三：草莓种植14 垄，西红柿种植10 垄（2）解法一：方案一获得的利润：12 501.6+12 1601.1=3072（元）方案二获得的利润：13 501.6+11 1601.1=2976（元）方案三获得的利润：14 501.6+10 1601.1=2880（元）-.优选-由计算知，种植西红柿和草莓各12 垄，获得的利润最大，最大利润是3072 元解法二：若草莓种了x垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润y元，则422496)24(1601.1506.1xxxyk-96 0 y随x的增大而减小又 12x 14，且x是正整数当x=12 时，最大y=3072（元）