中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析.pdf

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1、数学专题之【方案设计型】精品解析 1 中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析 考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、【例 1】。某商店准备购进甲、乙两种商品已知甲商品每件进价 15 元，售价 20 元;乙商品每件进价 35 元,售价 45 元(1）若该商店同时购进甲、乙两种商品共 100 件，恰好用去 2 700 元，求购进甲、乙两种商品各多少件?（2)若该商店准备用不超过 3 100 元购进甲、乙两种商品共 100 件，且这两种商品全部售出后获利不少于 890 元,问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少（利润售价进价）?解：(1)设购进甲种商品

2、x 件，购进乙种商品 y 件,根据题意，得 错误!解得:错误!答：商店购进甲种商品 40 件，购进乙种商品 60 件（2)设商店购进甲种商品 a 件，则购进乙种商品（100a）件，根据题意列，得 15a35100a3 100，5a10100a890解得 20a22。总利润 W5a10（100a)5a1 000，W 是关于 x 的一次函数,W 随 x 的增大而减小，当 x20 时,W 有最大值，此时 W900，且 1002080,答：应购进甲种商品 20 件,乙种商品 80 件,才能使总利润最大，最大利润为 900 元【例 2】今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识,节约用水

3、，某校数学教师编造了一道应用题:为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定:月用水量（单位：吨)单价(单位：元/吨）不大于 10 吨部分 1。5 大于 10 吨,且不大于 m 吨部分(20m50）2 大于 m 吨部分 3（1)若某用户六月份的用水量为 18 吨，求其应缴纳的水费;（2）记该用户六月份的用水量为 x 吨,缴纳水费 y 元，试列出 y 关于 x 的函数式；（3)若该用户六月份的用水量为 40 吨，缴纳水费 y 元的取值范围为 70y90，试求 m数学专题之【方案设计型】精品解析 2 的取值范围 解:（1）应缴纳水费：101。5(1810）231（元

4、)（2）当 0 x10 时，y1。5x；当 10 xm 时,y101。52（x10)2x5；当 xm 时，y152（m10)3（xm）3xm5。y错误!(3)当 40m50 时，y240575（元），满足 当 20m40 时，y340m5115m,则 70115m90，25m45,即 25m40。综上得，25m50。【例 3】潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了 A,B 两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:种植户 种植 A 类蔬菜面积（单位：亩)种植 B 类蔬菜面积(单位：亩)总收入（单位：元)甲 3 1 12 500 乙 2 3 16 500 说明：不同种

5、植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等;亩为土地面积单位（1)求 A,B 两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；(2）某种植户准备租 20 亩地用来种植 A，B 两类蔬菜，为了使总收入不低于 63 000 元,且种植 A 类蔬菜的面积多于种植 B 类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有的租地方案 解：（1)设 A，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 x 元，y 元 由题意,得错误!解得错误!答：A，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 3 000 元，3 500 元(2）设用来种植 A 类蔬菜的面积为 a 亩，则用来种植 B 类蔬菜的面积为（20a)亩 由题意，得错误!解得 10a14。a

6、 取整数，为：11,12,13，14.租地方案为：类别 种植面积（亩）A 11 12 13 14 B 9 8 7 6【例 4】.某学校计划将校园内形状为锐角ABC 的空地（如图）进行改造，将它分割成AHG、BHE、CGF 和矩形 EFGH 四部分,且矩形 EFGH 作为停车场，经测量 BC=120m,高数学专题之【方案设计型】精品解析 3 AD=80m，(1）若学校计划在AHG 上种草，在BHE、CGF 上都种花,如何设计矩形的长、宽,使得种草的面积与种花的面积相等？（2）若种草的投资是每平方米 6 元，种花的投资是每平方米 10 元,停车场铺地砖投资是每平方米 4 元，又如何设计矩形的长、宽

7、，使得ABC 空地改造投资最小？最小为多少？解、（1)设 FG=x 米，则 AK=（80 x）米 由AHGABCBC=120，AD=80 可得：BE+FC=120=解得 x=40 当 FG 的长为 40 米时，种草的面积和种花的面积相等。(2）设改造后的总投资为 W 元 W=6（x20）2+26400 当 x=20 时，W最小=36400 答：当矩形 EFGH 的边 FG 长为 20 米时，空地改造的总投资最小，最小值为 26400 元。【例 5】。我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织 21 辆汽车装运这三种土特产共 120 吨,参加全国农产品博览会

8、。现有 A 型、B型、C 型三种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运 2 种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题.苦荞茶 青花椒 野生蘑菇 每辆汽车运载量（吨）A 型 2 2 B 型 4 2 C 型 1 6（1）设 A 型汽车安排辆，B 型汽车安排辆，求与之间的函数关系式。（2)如果三种型号的汽车都不少于 4 辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案.车型 A B C 每辆车运费（元）1500 1800 2000 特产 车型 数学专题之【方案设计型】精品解析 4（3）为节约运费,应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费.解：（1）法根据题意得化简得：(2）由 得，解得。为正整数,.

9、故车辆安排有三种方案,即：方案一:型车辆，型车辆，型车辆 方案二:型车辆，型车辆，型车辆 方案三：型车辆,型车辆,型车辆 (3)设总运费为元，则 随的增大而增大，且 当时，元 答：为节约运费,应采用 中方案一,最少运费为 37100 元.【例 6】。为创建“国家卫生城市，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要,须在60 天内完成工程现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程经调查知道:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用 25 天，甲、乙两队合作完成工程需要 30 天，甲队每天的工程费用 2500 元，乙队每

10、天的工程费用 2000 元（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用 解：（1）设甲工程队单独完成该工程需 x 天，则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天 根据题意得：方程两边同乘以 x（x+25)，得 30(x+25)+30 x=x(x+25）,即 x235x750=0解之，得 x1=50，x2=15 经检验，x1=50,x2=15 都是原方程的解 但 x2=15 不符合题意，应舍去 当 x=50 时，x+25=75 答:甲工程队单独完成该工程需 50 天,则乙工程队单独完成该工程需 75 天（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案

11、即可 方案一:由甲工程队单独完成 所需费用为：250050=125000(元）方案二：由甲乙两队合作完成所需费用为：（2500+2000）30=135000(元)【例 7】。“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用 160000 元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：数学专题之【方案设计型】精品解析 5 类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价 2000 1600 1000 售价 2200 1800 1100(1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共 100 台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台？（2）、若在现有资金 160000 元允许的范围内，购买上表中三类家电共 100 台，其

12、中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大?并求出最大利润。(利润=售价-进价）解：（1）设商店购买彩电 x 台，则购买洗衣机（100 x）台 由题意,得 2000 x+1000（100 x）=160000，解得 x=60，则 100 x=40（台），所以，商店可以购买彩电 60 台，洗衣机 40 台（2)设购买彩电和冰箱各 a 台,则购买洗衣机为（1002a）台 根据题意，得 解得 因为 a 是整数，所以 a=34、35、36、37 因此，共有四种进货方案 设商店销售完毕后获得的利润为 w 元

13、，则 w=(22002000）a+（18001600）a+（11001000）（1002a)=200a+10000，2000，w 随 a 的增大而增大，当 a=37 时,=20037+10000=17400，所以，商店获得的最大利润为 17400 元【例 8】。在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将 A、B、C 三地的垃圾 50 立方米、40 立方米、50 立方米全部运往垃圾处理场 D、E 两地进行处理已知运往 D 地的数量比运往 E 地的数量的 2 倍少 10 立方米(1)求运往两地的数量各是多少立方米？（2)若 A 地运往 D 地 a 立方米(a 为整数),B 地运往 D 地 30 立方

14、米，C 地运往 D 地的数量小于A 地运往 D 地的 2 倍其余全部运往 E 地，且 C 地运往 E 地不超过 12 立方米,则 A、C 两地运往 D、E 两地哪几种方案？（3）已知从 A、B、C 三地把垃圾运往 D、E 两地处理所需费用如下表：数学专题之【方案设计型】精品解析 6 A 地 B 地 C 地 运往 D 地（元/立方米）22 20 20 运往 E 地（元/立方米）20 22 21 在（2)的条件下，请说明哪种方案的总费用最少?解：(1)设运往 E 地 x 立方米，由题意得,x+2x10=140，解得：x=50，2x10=90，答:共运往 D 地 90 立方米,运往 E 地 50 立

15、方米;（2)由题意可得，解得：20a22,a 是整数,a=21 或 22，有如下两种方案：第一种：A 地运往 D 地 21 立方米,运往 E 地 29 立方米;C 地运往 D 地 39 立方米,运往 E 地 11立方米；第二种：A 地运往 D 地 22 立方米,运往 E 地 28 立方米;C 地运往 D 地 38 立方米,运往 E 地 12立方米；(3）第一种方案共需费用：2221+2029+3920+1121=2053（元），第二种方案共需费用:2222+2820+3820+1221=2056(元），所以，第一种方案的总费用最少【例 9】。我市化工园区一化工厂，组织 20 辆汽车装运 A、B

16、、C 三种化学物资共 200 吨到某地按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满请结合表中提供的信息，解答下列问题：(1）设装运 A 种物资的车辆数为 x，装运 B 种物资的车辆数为 y求 y 与 x 的函数关系式；(2）如果装运 A 种物资的车辆数不少于 5 辆,装运 B 种物资的车辆数不少于 4 辆，那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；（3）在（2)的条件下,若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费 物资种类 A B C 每辆汽车运载量（吨）12 10 8 每吨所需运费（元/吨）240 320 200 解：(1）根据题意，得：12x+10y+

17、8（20 xy)=200,12x+10y+1608x8y=2002x+y=20,数学专题之【方案设计型】精品解析 7 y=202x，（2）根据题意，得:解之得：5x8 x 取正整数，x=5,6，7,8，共有 4 种方案，即 A B C 方案一 5 10 5 方案二 6 8 6 方案三 7 6 7 方案四 8 4 8（3)设总运费为 M 元，则 M=12240 x+10320（202x）+8200（20 x+2x20）即：M=1920 x+64000 M 是 x 的一次函数，且 M 随 x 增大而减小，当 x=8 时，M 最小，最少为 48640 元【例 10】。为表彰在“缔造完美教室”活动中表

18、现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知 5 个文具盒、2 支钢笔共需 100 元;4 个文具盒、7 支钢笔共需 161 元.（1)每个文具盒、每支钢笔个多少元？(2）时逢“五一,商店举行“优惠促销活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10 支以上超出部分“八折”优惠。若买 x 个文具盒需要元，买 x 支钢笔需要元;求、关于 x的函数关系式；(3）若购买同一种奖品,并且该奖品的数量超过 10 件,请你分析买哪种奖品省钱。解:（1)设每个文具盒 x 元，每支钢笔 y 元，可列方程组得，解之得 答：每个文具盒 14 元,每支钢笔 15 元。(2)由题意知，y1 关于 x 的函数关

19、系式为 y1=1490%x，即 y1=12。6x。由题意知，买钢笔 10 以下(含 10 支）没有优惠,故此时的函数关系式为 y2=15x。当买 10 支以上时，超出部分有优惠,故此时函数关系式为 y2=1510+1580%(x10)即 y2=12x+30 （3）当 y1 y2 即 12.6x12x+30 时，解得 x50；数学专题之【方案设计型】精品解析 8 当 y1=y2 即 12。6x=12x+30 时，解得 x=50;当 y1 y2 即 12。6x12x+30 时，解得 x50。综上所述，当购买奖品超过 10 件但少于 50 件时，买文具盒省钱；当购买奖品超过 50 件时,买文具盒和买

20、钢笔钱数相等；当购买奖品超过 50 件时，买钢笔省钱。【例 11】为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果(同一种紧挨在一起种植不超过两垄)，可增加它们的光合作用,提高单位面积的产量和经济效益 现有一个种植总面积为540m的矩形塑料温棚,分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄,种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于 10 垄，又不超过 14 垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下:占地面积（m

21、/垄)产量(千克/垄）利润（元/千克）西红柿 30 160 1.1 草莓 15 50 1.6(1)若设草莓共种植了垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？(2)在这几种种植方案中,哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1)根据题意西红柿种了（24）垄 15+30（24）540 解得 12 14，且是正整数 =12，13，14 共有三种种植方案,分别是:方案一:草莓种植 12 垄，西红柿种植 12 垄 方案二:草莓种植 13 垄，西红柿种植 11 垄 方案三：草莓种植 14 垄,西红柿种植 10 垄 （2）解法一:方案一获得的利润：12501.6+121601。1=3072(元)方案二获得的利润:13501.6+111601.1=2976（元）方案三获得的利润：14501。6+101601.1=2880（元）由计算知，种植西红柿和草莓各 12 垄,获得的利润最大，最大利润是 3072 元 解法二：若草莓种了垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润元，则 960 随的增大而减小 数学专题之【方案设计型】精品解析 9 又 1214，且是正整数 当=12 时,=3072(元）