《初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义.pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、初二年级秋季数学竞赛讲义第 1 页 共 53 页目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中因式分解为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。注：有(*)标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾
2、股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评初二年级秋季数学竞赛讲义第 2 页 共 53 页第 1 讲实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|0 在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a|来表示设 a 为实数，则0)0(0)0(|aaaaaa绝对值的性质：绝对值最小的实数是0 若 a 与 b 互为相反数，则|a|b|；若|a|b|，则 a b对任意实数
3、a，则|a|a，|a|a|a2 b|a|2|b|，|baba(b0)|a|b|ab|a|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果 a 为任意实数，则na20（n 为自然数），当 n1 时，2a0（3）算术平方根是非负数，即a 0，其中 a0.算术平方根的性质：aa2（a0）|2aa0)0(0)0(aaaaa2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如a的式子，被开方数必须为非负数；4、33aa推广到nna的化简；5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完
4、全立方。初二年级秋季数学竞赛讲义第 3 页 共 53 页【例题精讲】专题一：利用非负数的性质解题：【例 1】已知实数x、y、z满足0241|212zyzzyx，求 xyz 的平方根。【巩固】1、已知222(6)440 xyxxyy，则xy的值为 _；2、若0)2(12aba，)2007)(2007(1)2)(2(1)1)(1(11bababaab求的值【拓展】设 a、b、c 是实数，若14261412cbacba，求 a、b、c 的值初二年级秋季数学竞赛讲义第 4 页 共 53 页专题二：对于(0)a a的应用【例 2】已知 x、y 是实数，且yxxxy则,32112；【例 3】已知x、y、z
5、适合关系式：yxyxzyxzyx20022002223，求xyz的值。【巩固】1、已知b31315153aa，且11a的算术平方根是m，14b的立方根是n，试求)43)(2(mnmn的平方根和立方根。2、已知141122xxxy，则yx）（32；【拓展】在实数范围内，设a20102241()12xxxxx，求a的个位数字。初二年级秋季数学竞赛讲义第 5 页 共 53 页专题三：2aa，33aa的化简及应用常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【例 4】化简：961222xxxxy【例 5】若实数x 满足方程11xx，那么21)x（；【巩固】1、若92a，42b，且abba2)(
6、，则2)(ba；2、已知实数a 满足 a332aa0，那么11aa；3、设449612222xxxxxxy（1）求 y 的最小值（2）求使 6y7 的 x 的取值范围。【拓展】若01)13(222xxaxx，求2)2(a的值。初二年级秋季数学竞赛讲义第 6 页 共 53 页【课后练习】1、如果 a 0，那么3a。2、已知32m和12m是数p的平方根，则求p的值。3、设 a、b、c 是 ABC 的三边的长，则22)()(cbacba。4、已知 x、y 是实数，且,111xxy则12112yyy。5、若 0 a 0）D、S 30t（t 4）2、图 1 是韩老师早晨出门散步时，离家的距离()y与时间
7、()x之间的函数图象若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）3、函数312xxy自变量x的取值范围为 _；4、如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下图的四种底面积相同的容器中，下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度h和时间t的函数关系图象：A（1）甲，（2）乙，（3）丁，（4）丙B（1）乙，（2）甲，（3）丁，（4）丙C（1）乙，（2）甲，（3）丙，（4）丁D（1）丁，（2）甲，（3）乙，（4）丙5、平面直角坐标系内，点A（n，1n）一定不在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6、若 P(ab，5)与 Q(1，3a b)关于原点对称，则（a
8、 b）(ab)的值为；6、已知点P（3p15，3p）在第三象限，如果其坐标为整数点，求点M 的坐标。A B C D y x 图 1 h t O h t O h t O h t O 甲乙丙丁（1）（2）（3）（4）初二年级秋季数学竞赛讲义第 17 页 共 53 页第 4 讲一次函数（一）姓名：【知识梳理】一、一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x，y 间的关系式可以表示成ykxb（k，b 为常数，k0）的形式，则称y 是 x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b0 时，称 y 是 x 的正比例函数.二、一次函数的图象：由于一次函数ykxb（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函
9、数ykx b 的图象也称为直线ykxb由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与y 轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数ykx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数ykxb（k，b为常数，k 0）的性质：（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与 x 轴相交
10、的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与y 轴交于正半轴上；当 b0 时，直线与y 轴交于负半轴上；当 b0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图 11 18（1）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图 11 18（2）所示，当 k 0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图 11 18（3）所示，当 k O，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图 11 18（4）所示，当kO，bO 时，直线经过第二、
11、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线yx1 可以看作是正初二年级秋季数学竞赛讲义第 18 页 共 53 页比例函数yx 向上平移一个单位得到的四、正比例函数ykx（k0）的性质：（1）正比例函数ykx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小五、用函数的观点看方程与不等式：（1）方程 2x200 与函数 y2x20 观察思考、二者
12、之间有什么联系？从数上看：方程2x200 的解，是函数y2x20 的值为 0 时，对应自变量的值从形上看：函数y2x20 与 x 轴交点的横坐标即为方程2x200 的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kx b0（k、b 为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为、当一次函数值为0 时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线ykxb 确定它与 x 轴交点的横坐标值（2）解关于 x、y 的方程组ykxbymxn，从“数”的角度看，?相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线ykxb 与 ymxn 的交点坐标。两条直线的交
13、点坐标，?就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。（3）解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0 时，求自变量相应的取值范围解关于 x 的不等式kxbmx n 可以转化为：当自变量x 取何值时，直线y（km）xbn 上的点在x 轴的上方，或（2）求当 x 取何值时，直线 ykx b 上的点在直线ymxn 上相应的点的上方（不等号为“”时是同样的道理）【例题精讲】例 1：已知一次函数,0ykxb kb=+0（k0）的解集是x3，则直线 y kx2 与 x 轴的交点是 _2、如右图，直线bxkyl11:与直线xkyl22:在同一平面直角坐标系中的图象如图所
14、示，则关于x 的不等式21k xk xb的解集为例 5：一个一次函数的图像与直线59544yx平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（1，25），则线段AB 上（包括端点A、B），横坐标、纵坐标都是整数的点有几个？【巩固】如图一次函数5yx的图象经过点(,)P a b和(,)Q c d，则()()a cdb cd的值为。例 6：如图，直线1l的解析式为33xy，且1l与x轴交于点D，直线2l经过点 A、B，直线1l、2l交于点 C。（1）求直线2l的解析式。（2）求 ADC 的面积；（3）在直线2l上存在异于点C 的另一点 P，使得 ADP 与 ADC面积相等，请直接写出点P的坐标。O
15、 xyl1l2-13(第12题图）xyO初二年级秋季数学竞赛讲义第 22 页 共 53 页【课后练习】1、点 A 为直线22xy上的一点，点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 的坐标为 _。2、直线bkxy经过一、二、四象限，那么直线kbxy经过象限。3、一次函数ykxb（kb，是常数，0k）的图象如图所示，则不等式0kxb的解集是（）A2xB0 xC2xD0 x4、如图一直线L 经过不同三点A（a，b），B(b，a)，C(,)ab ba，那么直线L 经过（）A第二、四象限B第一、三象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限5、设直线(1)2nxny+=(n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为
16、nS(n1，2，3，,，2000).则S1S2S3,S2000的值为()A.19992000B.1C.20002001D.200120026、如图直线313yx与x轴、y轴分别交于A、B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角 ABC，BAC 90，如果在第二象限内有一点P1(,)2a，且 ABP 的面积与 ABC 的面积相等，求a 的值。ykxbx y 0 2 2BPxyCAO初二年级秋季数学竞赛讲义第 23 页 共 53 页第 5 讲一次函数（二）【知识梳理】一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系，构建一次函数模型，再利用一次函数的性质求出问题的解。【例题精讲】例 1：我
17、市一种商品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元件）分别近似满足下列函数关系式：y1 x60，y22x36；需求量为0时，即停止供应。当y1 y2时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量（1）求该商品的稳定价格与稳定需求量；（2）价格在什么范围，该商品的需求量低于供应量？（3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量，现若要使稳定需求量增加4 万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？【巩固】图 11 30 表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列
18、问题（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？2236yx160yxy x O（第 22 题图）甲乙初二年级秋季数学竞赛讲义第 24 页 共 53 页例2：在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000 元，则该单位所购门票的价格为每张60 元；（总费用广告赞助费门票费）方案二：购买门票方式如图所示解答下列问题：（1）方案一中，y与x的函数关系式为；方案二中，当0160 x时，y与x的函数关系式为；当100 x时，y与x的函数关系式为；（2）如果购买本场
19、足球赛超过100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700 张，花去总费用计58000 元，求甲、乙两单位各购买门票多少张【巩固】我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费。即一月用水10 吨以内（包括10 吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10 吨的用户，10 吨水仍按每吨a元收费，超过10 吨的部分，按每吨b元（ba）收费。设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图13 所示：（1）求a的值；某户居民上月用水8 吨，应收水费多少
20、元？（2）求b的值，并写出当10 x时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4 吨，两家共收水费46 元，求他们上月分别用水多少吨？例3：抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部10000 14000 100 150 O x(张)y(元)初二年级秋季数学竞赛讲义第 25 页 共 53 页转移到具有较强抗震功能的A、B 两仓库。已知甲库有粮食100 吨，乙库有粮食80 吨，而 A 库的容量为 70 吨，B 库的容量为110 吨。从甲、乙两库到 A、B 两库的路程和运费如下表（表中“元/吨2 千米”表示每吨粮食运送1 千米所需人民币）甲库
21、乙库甲库乙库A库20151212B库2520108路程（千米)运费（元/吨2千米）（1）若甲库运往A 库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B 两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；（2）当甲、乙两库各运往A、B 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【巩固】我市某乡AB，两村盛产柑桔，A村有柑桔200 吨，B村有柑桔300 吨现将这些柑桔运到CD，两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240 吨，D仓库可储存260 吨；从A村运往CD，两处的费用分别为每吨20 元和 25 元，从B村运往CD，两处的费用分别为每吨15 元和 18 元设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，AB，两村运往两仓库
22、的柑桔运输费用分别为Ay元和By元（1）请填写下表，并求出AByy，与x之间的函数关系式；CD总计Ax吨200 吨B300 吨总计240 吨260 吨500 吨（2）试讨论AB，两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830 元在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值例 4：我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车已知每隔1h 有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城如图所示，OA 是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位收地运地初二年级秋季数学竞赛讲义第 26 页 共 53 页在：km)与运行时间t(单位
23、：h)的函数图象，BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象请根据图中信息，解答下列问题：（1）点 B的横坐标0.5 的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_h，点 B的纵坐标300 的意义是 _；（2）请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s 与时间 t 的函数图象；（3）若普通快车的速度为100 km/h，求 BC 的解析式，并写出自变量t 的取值范围；求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇；直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间【巩固】某物流公司的快递车和货车每天往
24、返于A、B 两地，快递车比货车多往返一趟。图中表示快递车距离A 地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象已知货车比快递车早1小时出发，到达B 地后用 2 小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚 1 小时（1）请在图中画出货车距离A 地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；（3）求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时？【课后练习】0.5A B CO123100200300s/kmt/h初二年级秋季数学竞赛讲义第 27 页 共 53 页1、某车站客流量大，旅客往往需长时间排
25、队等候购票经调查统计发现，每天开始售票时，约有300 名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图所示某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口（1）求a的值；（2）求售票到第60 分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请
26、你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？2、如图，工地上有A、B 两个土墩，洼地E 和河滨 F，两个土墩的土方数分别是781 方，1584 方，洼地 E 填上 1025 方，河滨F 可填上 1390 方，要求挖掉两个土墩，把这些土先填平洼地E，余下的图填入河滨F（填入 F实际只有1340 方），如何安排运土方案，才能使劳力最省？（提示：把土方米作为运土花费劳力的单位）第 6 讲：全等三角形1 4 3 1 240 300 78 a x/分y/人O O O（图）（图）（图）x/分y/人x/分y/人150米120米30米50米FEAB初二年级秋季数学竞赛讲义第 28 页 共 53 页DCBA【知识梳
27、理】1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。2、全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”3、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等
28、变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答【例题精讲】例 1：已知，如图 ABC 中，AB 5，AC3，则中线AD 的取值范围是 _.【巩固】如图所示，已知在ABC 中，AD 是
29、BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且BEAC，延长FA初二年级秋季数学竞赛讲义第 29 页 共 53 页BE 交 AC 于 F，求证:AFEF.例 2：已知等腰直角三角形ABC 中，AC BC，BD 平分 ABC，求证：ABBCCD【巩固】1、已知 ABC 中，AD 平分 BAC，AB AC，求证：AB AC BDDC 2、如图所示，已知四边形ABCD中，AB AD，BAD 60，BCD120，求证:BCDCAC.ABCDDABCABDC初二年级秋季数学竞赛讲义第 30 页 共 53 页例 3：如图，已知在ABC 中，B60，ABC 的角平分线AD，CE 相交于点O 求证：OEOD 例
30、4：如图，在 ABC 中，BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 的垂直平分线PQ 相交于点P，过点 P 分别作 PNAB 于 N，PM AC 于点 M 求证：BNCM 例 5：AD 为 ABC 的角平分线，直线MN AD 于 A，E 为 MN 上一点，ABC 周长记为AP，EBC 周长记为BP。求证BPAP.【拓展】正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BEDFEF，求 EAF 的度数.MNPQBACOEABDCFEDCBA初二年级秋季数学竞赛讲义第 31 页 共 53 页EDFCBA【课后练习】1、如图，BAC 60，C 40，AP 平分 BAC 交 BC
31、 于 P，BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求证：ABBPBQAQ 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较BECF 与 EF 的大小.3、如图，ABC 中，AD 平分 BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BECF 的理由；（2）如果 ABa，ACb，求 AE、BE 的长.第 7 讲：直角三角形与勾股定理OQABPCEDGFCBA初二年级秋季数学竞赛讲义第 32 页 共 53 页【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐
32、角互余2、直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a2b2c25.直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a2b2c2由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在ABC 中，(1)若 c2a2b2，则 C90；(2)若 c2a2b2，则 C90；(3)若 c2a2b2，则 C90勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c 有下面关系：a2b2
33、c2那么这个三角形是直角三角形6、勾股数的定义：如果三个正整数a、b、c 满足等式a2b2 c2，那么这三个正整数a、b、c 叫做一组勾股数。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。【典例精析】例 1：在 ABC 中，BAD 90，AB 3，BC5，现将它们折叠，使B 点与 C 点重合，求折痕 DE 的长。【巩固】1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将 ABC 折叠，使点B 与点ABCDEABDCE初二年级秋季数学竞赛讲义第 33 页 共 53 页A 重合，折痕为DE，则 BE 的长为（）A.4 cmB.5
34、cmC.6 cmD.10 cm2、四边形ABCD 中，DAB 60，B D90，BC 1，CD2；求对角线AC 的长？例 2：如图所示已知：在正方形ABCD 中，BAC 的平分线交BC 于 E，作 EFAC 于 F，作FGAB 于 G求证：AB22FG2【巩固】已知 ABC 中，A90，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，AC 上，ME MF求证：EF2BE2 CF2 例 3：已知正方形ABCD 的边长为1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AEa，AFb,且 SEFGH32求：ab的值ABCDGFAEBDCFECMBAHDAEF初二年级秋季数学竞赛讲义第 34 页 共 53 页例
35、4：已知：P 为 ABC 内一点，且PA3，PB 4，PC5，求 APB 的度数【巩固】如图，四边形ABCD 中，AC BD，AC 与 BD 交于 O 点，AB15，BC40，CD50，则 AD_.例 5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有 _种可能，其中最大的值是_.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等？若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。【课外练习】1、如图，在 RtABC 中，ACB 90BC 3,AC4,AB 的垂直平分线DE 交 BC 的延长线于点E，则 CE 的长为（）A D
36、 B E C ABCPABCDO初二年级秋季数学竞赛讲义第 35 页 共 53 页A32B76C256 D2 2、如图，等腰ABC中，ABAC，AD是底边上的高，若5cm6cmABBC，则ADcm3、已知 ABCD，ABD，BCE 都是等腰三角形，CD8，BE3，则 AC 的长等于（）A.8 B.5 C.3 D.344、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、C、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是A13 B 26 C47 D94 5、如图，在矩形ABCD 中，在 DC 上存在一点E，沿直线AE 折叠，使点D 恰好落在
37、 BC 边上，设此点为 F，若 ABF 的面积为30cm2，那么折叠的 AED 的面积为 _.第 9 讲竞赛中整数性质的运用【知识梳理】1、完全平方数的末位数A C D B ABCDEABCDEF初二年级秋季数学竞赛讲义第 36 页 共 53 页若 a 是整数，则称2a为完全平方数。定理 1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。推论：凡末位数是2，3，7，8 的自然数一定不是完全平方数。定理 2：奇数的平方的十位数字必是偶数。推论：十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。定理 3：连续的10 个自然数的平方和的末位数都是5。2、连续自然数乘积的末位数定理 4：两个连续自然数乘积的末位
38、数只能是0，2，6；3 个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4 个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5 个或 5 个以上连续自然数乘积的末位数都是0。3、末位数的运算性质定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即)()()(bPapPbaP，)()()(bPaPPbaP，其中 a 和 b 都是自然数利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。4、数的整除的判定法则（1）末两位数能被4（或 25）整除的整数能被4（或 25）整除。（2）末三位数能被8（或 125）整除的整数能被8（或 125）
39、整除。（3）一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11 整除，则这个数能被11 整除。（4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7 或 11 或 13 整除，则这个数能同时被7，11，13 整除。5、带余除法两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数，所得的商未必是整数。一般地，a、b为两个整数，0b则存在惟一的整数对q 和 r，使得 abqr。这里|0br，特别是当0r，则称ab|当0r，则称 b 不整除a，q 称为 a 被 b 除时所得的不完全商；r 称为 a 被 b 除时所得的余数。【例题精讲】例 1：求19951994的末位数。
40、初二年级秋季数学竞赛讲义第 37 页 共 53 页【巩固】求1003100210011373的末位数。例 2：n 为怎样的自然数时，nnnn4321能被 10 整除？【拓展】今天是星期六，从今天起200010天后的那一天是星期几？例 3：5 个连续自然数的平方和能否是完全平方数？请证明你的结论。【巩固】n 是自然数，如果n20 和 n21 都是完全平方数，求n 的值。例 4：1999 除以某自然数，其商为49，求除数和余数。初二年级秋季数学竞赛讲义第 38 页 共 53 页【巩固】甲、乙、丙三个数分别是312，270，211，用自然数A 分别去除这三个数，除甲所得余数是乙所得余数的2 倍，除乙
41、所得余数是除丙所得余数的2 倍，求这个自然数A。例 5：若 N782x是一个能被17 整除的四位数，求x。【巩固】已知一个七位自然数42762xy能被 99 整除，试求，324950yx例 6：试写出 5 个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除。(*)【课后练习】1、19995的末三位数是（）A、025 B、125 C、625 D、825 初二年级秋季数学竞赛讲义第 39 页 共 53 页2、小于 1000 既不能被5 整除，又不能被7 整除的自然数的个数为（）A、658 B、648 C、686 D、688 3、已知两个三位数abc，def和abcdef能被 37
42、整除，证明，六位数abcdef也能被 37 整除。4、设 N23x92y 为完全平方数，且N 不超过 2392，求满足上述条件的一切正整数对9（x，y）共有多少对？5、试找出由0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字组成的没有重复的七位数中，能被165 整除的最大数和最小数。(*)第 10 讲不定方程与应用【知识梳理】初二年级秋季数学竞赛讲义第 40 页 共 53 页1、整系数方程axbyc有整数解的充分而且必要条件是a 与 b 的最大公约数d 能整除 c。这个结论告诉我们，若dc,则原方程有整数解，若d 不 c，则原方程没有整数解。2、若（a,b）1（即 a 与 b 互质），0 x、0y为
43、二元一次整系数不定方程axbyc的一组整数解（也称为特解），则axbyc的所有解（也称通解）为0oxxbtyyat其中t 为任意整数。我们称这种解法为特解法。如13x 30y4（13、30）1 则13304yxyx,是整数，观察得整数解1,200yx，其全部解tytx131302其他某些不定方程可经过转化后根据上述定理求解3、递推法。【例题精讲】例 1：求方程3512xy的整数解。例 2：希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20 个，其总价值为330 元，这三种球的价格分别是足球每个60 元，篮球每个30 元，排球每个10 元，那么其中排球有个。【巩固】求方程13304xy的整数解。初二
44、年级秋季数学竞赛讲义第 41 页 共 53 页【拓展】1、三元一次方程3xyz的非负整数解的个数为个。2、某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位组成的数与后五位组成的数相加的16970，求此人家的电话号码。例 3：求方程xyxy的整数解。【巩固】方程22105xy的正整数解的组数有多少？例 4：有一个正整数，加上100，则为一完全平方数；如果加上168，则为另一个完全平方数，求此数。初二年级秋季数学竞赛讲义第 42 页 共 53 页【巩固】一个自然数减去45 后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，求这个自然数。例 5：方程
45、1111993xy的整数解的个数为（）A.0 个B.3 个C.5 个D.无数个【巩固】方程1114xy的整数解的组数是（）A.6 B.7 C.8 D.9【拓展】1、求方程22xyxxyy的整数解。2、求方程11156xyz的正整数解。【课后练习】1、已知,x y z满足5xy及29zxyy，则23xyz_ 初二年级秋季数学竞赛讲义第 43 页 共 53 页2、满足方程442214yxx y的所有整数解为（,x y）为 _.3、方程21000 xxy的正整数解的组数是（）A.1 组B.2 组C.3 组D.4 组4、三元方程1999xyz的非负整数解的个数是（）A.20001999 个B.1999
46、2000 个C.2001000 个D.2001999 个5、方程1113xy的整数解的组数是_.6、求除以7 余 5，除以 5 余 2，除以 3 余 1 的所有三位数中的最小正整数为_.7、求方程13304xy的整数解8、购买 5 种数学用品1,2,345,A A AAA的件数和用钱总数列成下表：件数1,A2A3A4A5A总钱数第一次购件数1 3 4 5 6 1992（元）第二次购件数1 5 7 9 11 2984（元）则 5 种数学用品各买一件共需多少元？9、求满足11112xy且使y最大的正整数x。第 11讲：因式分解的方法【知识梳理】品名初二年级秋季数学竞赛讲义第 44 页 共 53 页
47、一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。其中每一个整式叫做积的因式。二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间
48、的干扰，简化问题的结构。（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。配方法则是一种特殊的拆项、添项法。（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。（5）常用的公式：平方差公式：bababa22；完全平方公式：2222bababa；2222222cbacabcabcba；2222222cbacabcabcba；2222222cbacabcabcba；立方和（差）公式：2233babababa；2233
49、babababa；完全立方公式：3322333bababbaa；3322333bababbaa。初二年级秋季数学竞赛讲义第 45 页 共 53 页【例题精讲】例 1：（1）4x（ab）（b2a2）；（2）（a2 b2）24a2b2；（3）x42x23；（4）（xy）23（xy）2；（5）x32x23x；（6）4a2b26a3b；（7）a2c2+2ab+b2d22cd（8）a24b24c28bc例 2：分解因式：（1）10342424xxxx；（2）26321xxxxx；（3）199911999199922xx。【巩固】分解因式：1、122122xxxx；2、2222284384xxxxxx；初
50、二年级秋季数学竞赛讲义第 46 页 共 53 页3、21131216xxxxx；4、2723144yy【拓展】分解因式：2122xyyxxyyx；例 3：把下列各式分解因式：1、bacacbcba222；2、67222yxyxyx。【巩固】分解因式：1、122babaab；2、613622yxyxyx。例 4：分解因式：4323xx。初二年级秋季数学竞赛讲义第 47 页 共 53 页【巩固】分解因式：1、4224yyxx；2、4464ba；【拓展】分解因式：432234232babbabaa。例 5：已知多项式6823222yxyxyx的值恒等于两个因式Ayx2，Byx2乘积的值，则BA_。例