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1、目 录本内容合适八年级学生竞赛拔高运用。重点落实在奥赛方面的根底学问和根本技能培训和进步。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解及练习同步，重在进步学生的数学分析实力及解题实力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以依据学生的详细状况由任课教师适当的调整依次和增删内容。其中因式分解为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进展详细解读。注：有(*) 标注的为选做内容。本次培训详细支配如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形及勾股定理第八讲 株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装
2、订在内，另发）第九讲 竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程及应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【学问梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的肯定值是非负数，即|a|0在数轴上，表示实数a的点到原点的间隔 叫做实数a的肯定值，用|a|来表示设a为实数，则肯定值的性质：肯定值最小的实数是0若a及b互为相反数，则|a|b|；若|a|b|，则ab对随意实数a，则|a|a， |a|a|ab|a|b|，(b0)|a|b|ab|a|b|（2）实数的偶次幂是非负数假如a为随意实数，则0（n为自然数），当
3、n1时，0（3）算术平方根是非负数，即 0，其中a0. 算术平方根的性质： （a0） 2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必需为非负数；4、推广到的化简；5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。【例题精讲】 专题一：利用非负数的性质解题：【例1】已知实数x、y、z满意，求xyz的平方根。【稳固】1、已知，则的值为_；2、若，的值【拓展】设a、b、c是实数，若，求a、b、c的值专题二：对于 的应用【例2】已知x、y是
4、实数，且 ；【例3】已知、合适关系式：，求的值。【稳固】1、已知b，且的算术平方根是，的立方根是，试求的平方根和立方根。2、已知，则 ；【拓展】在实数范围内，设，求的个位数字。专题三：，的化简及应用常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【例4】化简：【例5】若实数x满意方程 ，那么 ；【稳固】1、若，且，则 ；2、已知实数a满意a0，那么 ；3、设（1）求y的最小值（2）求使6y7的x的取值范围。【拓展】若，求的值。【课后练习】1、假如a 0 ，那么 。2、已知和是数的平方根，则求的值 。3、设a、b、c是ABC的三边的长，则 。4、已知x、y是实数，且则 。5、若0 a 0）
5、 D、S30t（t4）ABCDyx图12、图1是韩教师早晨出门漫步时，离家的间隔 刚好间之间的函数图象若用黑点表示韩教师家的位置，则韩教师漫步行走的路途可能是（）3、函数自变量的取值范围为_；4、如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积一样）注入下图的四种底面积一样的容器中，htOhtOhtOhtO甲乙丙丁（1）（2）（3）（4）下面那种方案能精确表达各容器所对应的水高度和时间的函数关系图象：A（1）甲，（2）乙，（3）丁，（4）丙 B（1）乙，（2）甲，（3）丁，（4）丙C（1）乙，（2）甲，（3）丙，（4）丁 D（1）丁，（2）甲，（3）乙，（4）丙5、平面直角坐标系内，点A（n，1n）肯
6、定不在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、若P(ab，5)及Q(1，3ab)关于原点对称，则（ab）(ab)的值为 ；6、已知点P（3p15，3p）在第三象限，假如其坐标为整数点，求点M的坐标。第4讲 一次函数（一） 姓名： 【学问梳理】一、一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成ykxb（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特殊地，当b0时，称y是x的正比例函数.二、一次函数的图象：由于一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数ykxb的图象也称为直线ykxb由于两点确定一条直线，因此在
7、今后作一次函数图象时，只要描出合适关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线及y轴的交点（0，b），直线及x轴的交点（，0）.但也不必肯定选取这两个特殊点.画正比例函数ykx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的性质：（1）k的正负确定直线的倾斜方向；k0时，y的值随x值的增大而增大；kO时，y的值随x值的增大而减小（2）|k|大小确定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线及x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线及x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负确定直线及y轴交点的位置；当b0时，直线及y轴交于正半轴上
8、；当b0时，直线及y轴交于负半轴上；当b0时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图1118（1）所示，当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图1118（2）所示，当k0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图1118（3）所示，当kO，b0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图1118（4）所示，当kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|确定直线及x轴相交的锐角的大小，k一样，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平
9、移的角度也可以分析，例如：直线yx1可以看作是正比例函数yx向上平移一个单位得到的四、正比例函数ykx（k0）的性质：（1）正比例函数ykx的图象必经过原点；（2）当k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（3）当k0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小五、用函数的观点看方程及不等式：（1）方程2x200及函数y2x20视察思索、二者之间有什么联络？从数上看：方程2x200的解，是函数y2x20的值为0时，对应自变量的值从形上看：函数y2x20及x轴交点的横坐标即为方程2x200的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kxb0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以
10、转化为、当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线ykxb确定它及x轴交点的横坐标值（2）解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线ykxb及ymxn的交点坐标。两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。（3）解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围解关于x的不等式kxbmxn可以转化为：当自变量x取何值时，直线y（km）xbn上的点在x轴的上方，或（2）求当x取何值时，直线ykxb上
11、的点在直线ymxn上相应的点的上方（不等号为“0（k0）的解集是x3，则直线ykx2及x轴的交点是_2、如右图，直线及直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 例5：一个一次函数的图像及直线平行，及轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（1，25），则线段AB上（包括端点A、B），横坐标、纵坐标都是整数的点有几个？【稳固】如图一次函数的图象经过点和，则的值为 。例6：如图，直线的解析式为，且及轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C。（1）求直线的解析式。（2）求ADC的面积；（3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得ADP及ADC的 面积相等，请干脆写出点P的坐标。【
12、课后练习】1、点A为直线上的一点，点A到两坐标轴的间隔 相等，则点A的坐标为_。xy022、直线经过一、二、四象限，那么直线经过 象限。3、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）ABCD4、如图始终线L经过不同三点A（a，b），B(b，a)，C，那么直线L经过（ ）A第二、四象限 B第一、三象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限5、设直线(为自然数)及两坐标轴围成的三角形面积为(1，2，3，2000).则1232000的值为 ( )A. B. C. D. 6、如图直线及轴、轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC90，假如在第二象限
13、内有一点P，且ABP的面积及ABC的面积相等，求a的值。 第5讲 一次函数（二）【学问梳理】一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系，构建一次函数模型，再利用一次函数的性质求出问题的解。【例题精讲】例1：我市一种商品的需求量y1（万件）、供给量y2（万件）及价格x（元件）分别近似满意下列函数关系式：y1x60，y22x36；需求量为时，即停顿供给。当y1 y2时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量（1）求该商品的稳定价格及稳定需求量；（2）价格在什么范围，该商品的需求量低于供给量？yxO（第22题图）（3）当需求量高于供给量时，政府常通过对供给方供给价格补贴来进步供货价格，以
14、进步供给量，现若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品供给多少元补贴，才能使供给量等于需求量？【稳固】图1130表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）改变的图象（全程），依据图象答复下列问题（1）当竞赛开场多少分时，两人第一次相遇？（2）这次竞赛全程是多少千米？甲乙（3）当竞赛开场多少分时，两人第二次相遇？例2：在购置某场足球赛门票时，设购置门票数为（张），总费用为（元）现有两种购置方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；1000014000100150Ox(张)y(元)（总费用广告赞助费门票费）方案二：购置门票方式如图
15、所示解答下列问题：（1）方案一中，及的函数关系式为 ；方案二中，当时，及的函数关系式为 ；当时，及的函数关系式为 ；（2）假如购置本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；（3）甲、乙两单位分别采纳方案一、方案二购置本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购置门票多少张【稳固】我国是世界上严峻缺水的国家之一为了增加居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采纳以户为单位分段计费方法收费。即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的局部，按每吨元（）收费。设一户居民月用水
16、吨，应收水费元，及之间的函数关系如图13所示：（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，及之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？例3：抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的平安，确定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）（1）若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费（元
17、）及（吨）的函数关系式；（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【稳固】我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元（1）请填写下表，并求出及之间的函数关系式；收地运地总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨（2）试探讨两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到村的经济承受实力，村的柑桔运费不得超过4830元在
18、这种状况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值例4：我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车已知每隔1h有一列速度一样的动车组列车从甲城开往乙城如图所示，OA是第一列动车组列车分开甲城的路程s(单位在：km)及运行时间t(单位：h)的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的一般快车距甲城的路程s(单位：km)及运行时间t(单位：h)的函数图象请依据图中信息，解答下列问题：（1）点B的横坐标0.5的意义是一般快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_h，点B的纵坐标300的意义是_； （2）请你在原图中干脆画出第二列动车组列车分开甲城的路程s刚好间t的函数图象；（
19、3）若一般快车的速度为100 km/h，求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； 求第二列动车组列车动身后多长时间及一般列车相遇； 0.5ABCO123100200300s/kmt/h干脆写出这列一般列车在行驶途中及迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间【稳固】某物流公司的快递车和货车每天来回于A、B两地，快递车比货车多来回一趟。图中表示快递车间隔 A地的路程y(单位：千米)及所用时间x(单位：时)的函数图象已知货车比快递车早1小时动身，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最终一次返回A地晚1小时（1）请在图中画出货车间隔 A地的路程y(千米)及所用时间x(时)
20、的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数(干脆写出答案)；（3）求两车最终一次相遇时，间隔 A地的路程和货车从A地动身了几小时？ 【课后练习】1、某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发觉，每天开场售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数（人）及售票时间（分）的函数关系如图所示；每个售票窗口票数（人）及售票时间（分）的函数关系如图所示某天售票厅排队等候购票的人数（人）及售票时间（分）的函数关系如图所示，已知售票的前分钟开放了两个售票窗口（1）求的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；1431240300
21、78ax/分y/人OOO（图）（图）（图）x/分y/人x/分y/人（3）该车站在学习理论科学开展观的活动中，本着“以人为本，便利旅客”的宗旨，确定增设售票窗口若要在开场售票后半小时内让全部排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你扶植计算，至少需同时开放几个售票窗口？2、如图，工地上有A、B两个土墩，凹地E和河滨F，两个土墩的土方数分别是781方，1584方，凹地E填上1025方，河滨F可填上1390方，要求挖掉两个土墩，把这些土先填平凹地E，余下的图填入河滨F（填入F实际只有1340方），如何支配运土方案，才能使劳力最省？（提示：把土方米作为运土花费劳力的单位）第6讲：全等
22、三角形【学问梳理】1、全等三角形：全等三角形、可以完全重合的两个三角形。2、全等三角形的断定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”3、 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。4、全等三角形常见协助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维形式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段及原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维形式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用
23、的思维形式是三角形全等变换中的“对折”，所考学问点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维形式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法及补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段及特定线段相等，或是将某条线段延长，是之及特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的学问解答【例题精讲】例1：已知，如图ABC中，AB5，AC3，则中线AD的取值范围是_.【稳固】如图所示，已知在ABC中
24、，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证: AFEF.例2：已知等腰直角三角形ABC中，ACBC，BD平分ABC，求证：ABBCCD【稳固】1、已知ABC中，AD平分BAC，ABAC，求证：ABACBDDC2、如图所示，已知四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120，求证: BCDCAC. 例3：如图，已知在ABC中，B60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O求证：OEOD例4：如图，在ABC中，BAC的平分线及BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PNAB于N，PM AC于点M求证：BNCM例5：AD为ABC的角平分线，直
25、线MNAD于A，E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为。求证.【拓展】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数.【课后练习】1、如图，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：ABBPBQAQ2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BECF及EF的大小.3、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BECF的理由；（2）假如AB，AC，求AE、BE的长.第7讲：直角三角形及勾股定理【学问梳理】一、直角三角形的断定：1、有两个角互余
26、的三角形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余2、直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c25.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在ABC中，(1)若c2a2b2，则C90；(2)若c2a2b2，则C90；(3)若c2a2b2，则C90勾股定理及广勾股定理深入地提醒了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用5、勾股定理
27、逆定理：假如三角形三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2那么这个三角形是直角三角形6、勾股数的定义：假如三个正整数a、b、c满意等式a2b2c2，那么这三个正整数a、b、c叫做一组勾股数。简洁的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。【典例精析】例1：在ABC中，BAD90，AB3，BC5，现将它们折叠，使B点及C点重合，求折痕DE的长。【稳固】1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B及点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm2、四边形ABC
28、D中，DAB60，BD90，BC1，CD2；求对角线AC的长？例2：如图所示已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，作EFAC于F，作FGAB于G求证：AB22FG2【稳固】已知ABC中，A90，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC上，MEMF求证：EF2BE2CF2例3：已知正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH求：的值例4：已知：P为ABC内一点，且PA3，PB4，PC5，求APB的度数【稳固】如图，四边形ABCD中，ACBD，AC及BD交于O点，AB15，BC40，CD50，则AD_.例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的
29、一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_种可能，其中最大的值是_.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长及面积的数值相等？若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。【课外练习】ADBEC1、如图，在RtABC中，ACB90BC3,AC4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）A B CD22、如图，等腰中，是底边上的高，若，ACDB则 cm3、已知ABCD，ABD，BCE都是等腰三角形，CD8，BE3，则AC的长等于（ ）A.8 B.5 C.3 D. 4、如图是一株漂亮的勾股树，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角
30、形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A13 B26 C47 D945、如图，在矩形ABCD中，在DC上存在一点E，沿直线AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，那么折叠的AED的面积为_. 第9讲 竞赛中整数性质的运用【学问梳理】1、完全平方数的末位数若a是整数，则称为完全平方数。定理1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。推论：凡末位数是2，3，7，8的自然数肯定不是完全平方数。定理2：奇数的平方的十位数字必是偶数。推论：十位数字是奇数的完全平方数肯定是偶数。定理3：连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。2、连续自然数乘积的末位数定理4：两个连续自然数乘积的末位数只能是0，2，6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。3、末位数的运算性质定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即其中a和b都是自然数利用末位数的性质，可以使一些